苏科版七年级上册数学第6章平行与垂直复习讲义

初一数学平面图形的认识一垂直与平行复习
知识梳理
数学中最悲伤的一句话：无限接近，永不相交，相交之后，渐行渐远。

一、直线的位置关系
在同一平面内直线与直线的位置关系只有两种：相交与平行。

二、平行线及相关定理
概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

平行符号“//”。

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

推论：1.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
2.在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。

三、垂直及其性质
概念：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，他们的交点叫做垂足。

性质：1.在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直。

2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；简述：垂线段最短。

点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

四、相交线及其性质
相交线产生一组对顶角，对顶角相等；
注意：1.对顶角也是成对出现的
2.两条直线相交所构成的四个角中，有两组对顶角。

3.若两个角互为对顶角，那么这两个角一定相等。

反之若两个角相等，不一定是互为对顶角。

热身训练
1．如果l1∥l2，l2∥l3，l3∥l4，那么l1与l4的关系是 ( )
A．平行 B．相交
C．重合 D．不能确定
2．经过直线外的一点画已知直线的平行线可画（）
A.1条
B.2条
C.无数条
D.无法画
3．如图：已知PH⊥a,垂足为H，则下列说法错误的是（）
A 、过点P作a的垂线必过H点
B 、过点H作a的垂线必过P点
C 、若QH ⊥a，则点Q必在直线PH上
D 、垂直于PH的直线只有直线a 一条
4．下列四种说法，其中说法正确的个数有（）
（1）过一点有一条直线和已知直线垂直（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（3）直线的垂线和直线上的任一线段垂直（4）对顶角中有一个直角时，相邻的边互相垂直。

A 1
B 2
C 3
D 4
题型分类
题型一对顶角的性质
例1．如图所示，OC平分∠AOB，反向延长OC到D，反向延长OA到E，∠3=25°，求∠BOE 的度数。

巩固练习：1.如图，已知直线AB、CD、EF相交于点O，指出图中所有的对顶角，并指出其中有哪些角相等，哪些角互补。

2．如图，已知直线AB、DE相交于点O，∠AOC=160°，OC平分∠EOB，求∠AOD的度数。

3．如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，O为垂足，∠AOC＝60°，
求∠DOE的度数．（填空并添写理由）
解：因为AB，CD交于O点，∠AOC＝60°（已知），
所以∠BOD＝∠AOC＝_______度(_______)
因为OE⊥AB(_______)，
所以∠BOE＝_______度(_______)，
所以∠EOD＝∠BOE－∠BOD＝_______度．
题型二平行线及其性质
例2．仔细观察下列方格中的线段AB，CD，其中不平行的是( )
巩固练习：1．在同一平面内有三条互不重合的直线，如果要使其中有两条且只有两条直线平行，那么它们之间的交点只能有( )
A．0个B．1个C．2个D．3个
2．在同一平面内，如果直线AB与直线CD平行，直线CD与直线EF相交，那么直线AB 与EF的位置关系是( )
A．平行B．相交C．相交或平行D．不能确定
题型三垂直及其性质
例3．如下图所示，要把水渠中的水引到水池中，水池在C处，在渠岸AB的何处开挖才能使所挖水沟最短？
例4．P为直线a外一点，点A，B，C为直线a上的三点，已知PA＝2 cm，PB＝3 cm，PC ＝5 cm．则点P到直线a的距离( )
A．2 cm B．3 cm C．5 cm D．不大于2 cm
巩固练习：1.如图是一个3×3的正方形，则图中∠1+∠2+∠3+…+∠9的度数是多少？
2．如图所示，CD⊥OB于D，EF⊥OA于F，则C到OB的距离是______，E到OA的距离是______，O到CD的距离是______，Ｏ到EF的距离是______．
3．如图，OA⊥OC，∠1＝∠2，试判断OB与OD的位置关系，并说明理由．
题型四相交线
例5．我们知道，两条直线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多少个交点？一般地，n条直线相交，最多有多少个交点？请画图说明理由。

巩固练习：1.如图,已知∠AOB和∠ COD有公共顶点O,且AO⊥OC,BO⊥OD, ∠ AOB :∠COD=7:29,求∠ AOB, ∠ COD的度数
2．如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OF⊥CD，∠AOD＝50°，求∠DOP的度数．
课堂练习
1.已知C是线段AB的中点，线段BC=5，则线段AB的长为________。

2.如图，C为线段AB的中点，点D在线段CB上。

⑴图中共有_____条线段；
⑵图中AD=AC+CD，BC=AB-AC。

类似的，请你再写出两个有关线段的和与差的关系式：①__________;②__________。

⑶若AB=8，DB=1.5，求线段CD的长。

3.如图所示，某同学的家在A处，书店在B处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线（）
A.A→C→D→B
B.A→C→F→B
C.A→C→E→F→B
D.A→C→M→B
4.建筑工人在砌墙时，总是在墙角的地方立两根标志杆，并在两根杆之间拉一根准线，这样做的道理是______________________。

5．AB⊥CD，垂足为O，EF为过点D的一条直线，则∠EOB与∠DOF的关系一定成立的是( )
A．相等B．互余C．互补D．互为对顶角
课后作业
1.平面上有任意三点，过其中两点画直线，共可以画（）
A.1条
B.3条
C.1条或3条
D.无数条
2.点A、B、C在同一条数轴上，其中点A,B表示的数分别为-3,1.若BC=2，则AC等于（）
A.3
B.2
C.3或5
D.2或6
3.平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线，若平面内的不同的n 个点最多可以确定15条直线，则n的值为___________。

4.为了探究n条直线能把平面内最多分成几部分，我们从最简单的情形入手：
①一条直线把平面分成2部分；
②两条直线最多可把平面分成4部分；
③三条直线最多可把平面分成7部分；
……
把上述探究的结果进行整理，列表分析：
⑴当直线条数为5时，把平面最多分成______部分，写成和的形式为______；
⑵当直线条数为10时，把平面最多分成____部分；
⑶当直线条数为n时，把平面最多分成_____部分。

参考答案
热身训练：1.A 2.A 3.D 4.C
例1.130°巩固练习：1.略 2.40° 3.60 对顶角相等已知90 垂直的定义30例2.C 巩固练习：1.C 2.B
例3.过点C作AB的垂线最短
例4.D 巩固练习：1.405° 2.CD EF OD OF 3.垂直
例5.6个
(1)
2
n n-
巩固练习：1.35°145° 2.155°
课堂作业：1.10 2.（1）6；（2）CD=AB-AC-DB；（3）2.5 3.B
4.两点确定一条直线
5.B
课后作业：1.C 2.D 3.5 4.（1）16 1+1+2+3+4+5=16；（2）56；（3）
(1)
1
2
n n+
+。