导数21 大题(其他、中档、中上、未)-2022年全国一卷新高考数学题型细分汇编

导数——大题——其他中下：1.
（2022年湖北宜昌夷陵中学J39）青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率．曲线的曲率定义如下：若()f x ¢是()f x 的导函数，()f x ''是()
f x ¢的导
函数，则曲线()y f x =在点()()
,x f x 处的曲率
()
()()
322
1f x K f x ''=
⎡⎤⎦'+⎣．已知函数
()()()ln cos 10,0x f x ae x b x a b =---≥>，若0a =，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的曲率
为
22
．（1）求b ；
（2）若函数()f x 存在零点，求a 的取值范围；（①
）
（3）已知1.098ln 3 1.099<<，0.048 1.050e <，0.0450.956e -<，证明：1.14ln π 1.15<<．（求导，中下；第二问，未；）
导数——大题——其他中档：1.
（2022年广东肇庆J36）已知函数()()ax f x axe a b x =++，()(1)ln g x x x =+.
（1）当1a b =-=时，证明：当,()0x ∈+∞时，()()f x g x >；（②）
（2）若对(0,)∀∈+∞x ，都[1,0]b ∃∈-，使()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.（切线放缩，比较大小，中档；第二问，未；）
导数——大题——中档、中上、未：1.
（2022年河北演练二J40）已知函数(1)ln (),()|ln |1
x x
f x
g x x x -=
=+.
（1）若()()(1,1)f m g n m n =>>，证明：m n >；（③
）
（2）设函数()(1)ln (1)F x x x a x =--+，若()0F x =有两个不同的实数根12,x x ，且12x x <，
证明：221e
a
x x >⋅.（中档，未；第二问，未；）
2.（2022年湖北荆州中学J19）已知函数f （x ）=e x -e -x -a sin x ，其中e 是自然对数的底数．
（1）当x ＞0，f （x ）＞0，求a 的取值范围；（④
）（2）当x ＞1时，求证：
1
2
x x e e x x ---+
＞sin sin(ln )x x -.
（中档，未；第二问，未；）
3.
（2022年湖北荆门四校J21）已知函数3
()ln()4f x ax x ax
=++（其中实数0a >）的最小值为5，（1）求实数a 的值；（⑤
）
（2）若不等式()(4)5f x k x ≥++恒成立，求实数k 的取值范围．（中上，未；第二问，未；）
4.（2022年湖北襄阳五中J23）已知函数()()e ln ln 1(0)x a
f x x a a x
-=-++>（e 是自然对数的底数）
．（1）当1a =时，试判断()f x 在()1,+∞上极值点的个数；（⑥
）
（2）当1e 1
a >
-时，求证：对任意1x >，()1
f x a >．
（中档，未；第二问，未；）
2.（2022年河北衡水中学J15）已知函数(),n f x nx x x R =-∈，其中*,2n N n ∈≥.
（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（⑦
）
（Ⅱ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（中上，未；第二问，未；）
（Ⅲ）若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证：21-21a
x x n
<
+-1.
（2022年湖南师大附中J11）已知函数()()()1ln 1f x x x a x =+--.（⑧
）
（1）若1a =，比较(log 10f 与()5log 9f 的大小；（2）讨论函数()f x 的零点个数.（中档，未；第二问，未；）
1.
（2022年江苏江阴J61）已知函数()e (1ln )x f x m x =+，其中m ＞0，f '(x )为f (x )的导函数，设
()
()e
x f x h x '=，且5()2h x ≥恒成立．
（1）求m 的取值范围；（⑨
）（中档，未；第二问，未；）
（2）设函数f (x )的零点为x 0，函数f '(x )的极小值点为x 1，求证：x 0＞x 1．
1.
（2022年山东枣庄一模J60）已知函数()()e sin x
f x x a x a =-∈R ．
（1）若[]0,πx ∀∈，()0f x ≥，求a 的取值范围；（⑩
）
（2）当59a ≥-时，试讨论()f x 在()0,2π内零点的个数，并说明理由．（中档，未；第二问，未；）
①
【答案】（1）1；（2）10,e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
；（3）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）将0a =代入并计算()1f ，()f x ''，根据曲率直接计算即可.（2）等价转化为()
ln cos 1x
x x a e
+-=
有根，然后令()()
ln cos 1x
x x g x e
+-=
并研究其性
质，最后进行判断可得结果.（3）依据（2）条件可知1
ln 1x x e
-+≤，然后根据π3
113π,π3
ln 1ln 13π
e e -+<+<判断即可.
【详解】（1）当0a =时，()()ln cos 1f x x b x =---，()1f b =-．
()()1sin 1f x b x x '=-+-，()()21
cos 1f x b x x
''=+-．
∴()f x 在()1,b -处的曲率为3
2
12
12
2
b k b +=
=
⇒=．（2）()()()
ln cos 1ln cos 10x x
x x f x ae x x a e +-=---=⇒=令()ln 1h x x x =+-，则()111x h x x x
-'=
-=当()0,1∈x 时，()0h x '>，当()1,∈+∞x 时，()0h x '<所以函数()h x 在()0,1单调递增，在()
1,+¥单调递减，
所以()(1)0h x h ≤=，则ln 1x x +≤又令()x x m x e =
，则()1'x
x
m x e -=当()0,1∈x 时，()0m x '>，当()1,∈+∞x 时，()0m x '<所以函数()m x 在()
0,1单调递增，在()
1,+¥单调递减
所以()1
(1)m x m e
≤=令()()
ln cos 1x
x x g x e
+-=，
∴()ln 11
x x x x g x e e e
+≤
≤≤，
当且仅当1x =时取“=”，显然，当1
a e
>
时，()f x 无零点．当10a e ≤≤时，()11g a e =≥，111cos 110e
e g a e e ⎛⎫
-+- ⎪⎛⎫⎝⎭=<≤ ⎪⎝⎭
∴存在1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
使()0g x a =，符合题意．综上：实数a 的取值范围为10,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．
（3）由（2）知
ln 11
x
x e e
+≤，∴1ln 1x x e -+≤（当且仅当1x =时取“=”）∴π10.0483π
ln 13e e -+<<，∴0.048ln π1ln 3 1.0501 1.099 1.15
e <-+<-+<又∵310.045π3
ln 1π
e e -+<<，∴0.045ln πln 31 1.09810.956 1.14
e ->+->+->综上：1.14ln π 1.15<<．
【点睛】关键点点睛：第（1）问关键在于求导；第（2）问关键在于等价转化的使用以及常用不等式（ln 1x x +≤）的使用以及放缩法；第（3）问在于利用第（2）问的条件ln 11
x
x e e
+≤进行比较.
②
【答案】（1）证明见解析；
（2）1
,e
∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭
.
③
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析【解析】
【分析】(1)由()()(1,1)f m g n m n =>>，列出m 与n 的关系式，利用指数对数的运算性质进行化简与放缩即可证明；
(2)把()0F x =化成()f x a =的形式，根据导数确定()f x 的单调性与极值，画出简图，确定12,x x 与1的大小关系，利用(1)的结论，可以得到12,x x 与e a 的关系，进而可证得结论.【小问1详解】
证明：由()()(1,1)f m g n m n =>>，得
(1)ln |ln |ln 1
m m
n n m -==+，则有
(1)ln 1121ln 1
1
1
1
e
(e
)m m m m m m m m m n m
m
m ----++++====<，所以m n >；
【小问2详解】
证明：令()(1)ln (1)0(0)F x x x a x x =--+=>，化简可得
(1)ln 1
x x
a x -=+，即()f x a =，
22
1
2ln 2ln 1
()(1)(1)
(1)x x x x x f x x x x x +--'=+=
+++，令1
()2ln g x x x x
=+-，
221
()10x x x
g =
++>'，所以()g x 在()0,∞+上单调递增且(1)0g =，则()g x 即()0f x '<时()0,1x ∈，()0f x '>时()1,x ∈+∞，可得()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增，且有(1)0f =，由下图可知，1201x x <<<，0a >
，
又22
22(1)ln ()ln e ln e =(e )1
a a a x x f x a g x -=
===+，即22()=(e )(1,e 1)a a f x g x >>，由(1)
可得2e a
x >⋅⋅⋅①，又由1()f x a =得
11111111
11(
1)ln (1)ln 1
(()ln e ln e =(e )111a a a x x x x f f x a g x x x --======++，即
1111((e )(1,e 1)a a f g x x >>，由(1)可得11
e a x >⋅⋅⋅②，①②相乘可得221e a x x >，即221e a x x >⋅.
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
④
22.【答案】解：（1）由题意可知f '（x ）=e x +e -x -a cos x ，①当0＜a ≤2时，由-1≤cos x ≤1可知-2≤-a ≤a cos x ≤a ≤2，
又因为e x +e -x ≥2恒成立，所以f '（x ）=e x +e -x -a cos x ≥0恒成立，
所以y =f （x ）在[0，+∞）上恒为增函数．又f （0）=0，所以f （x ）＞0对x ＞0恒成立；
②当a ＞2
时，，
且可知y =e x +e -x 与y =a cos x 必有一个交点，不妨设为x 0，所以y =f （x ）在[0，x 0）上为减函数，在[x 0，+∞）为增函数，又f （0）=0，所以f （x 0）＜0，与题意不符，故舍去．综合可知a 的取值范围是（0，2]．（2）
，只需证
，
即证，即证e x -e -x -2sin x ＞e ln x -e -ln x -2sin （ln x ），
即证f （x ）＞f （ln x ）（此时a =2），由（1）问可知当0＜a ≤2时y =f （x ）在[0，+∞）上恒为增函数．所以即证x ＞ln x ，不妨令g （x ）=x -ln x ，
则
所以y =g （x ）在（0，1）递减，（1，+∞）递增．又因为g （x ）min =g （1）=1＞0所以g （x ）=x -ln x ＞0恒成立，即x ＞ln x ，所以原结论得证．
⑤
【答案】（1）2；
（2）(],4-∞-.【解析】
【分析】（1）对()f x 求导，构造2()43(0)g x ax ax x =+->并由二次函数性质判断其零点
0x 及区间符号，进而确定()f x 的单调性、极值，结合已知最值列方程得
003
ln
2(41)6041
x x ++-=+，再构造中间函数求零点，进而求a 的值；
（2）令2(0)t x t =>问题转化为()0F t ≥对(0,)t ∈+∞恒成立，构造中间函数研究()F t 的最值，并判断单调性，最后可求k 的范围．【小问1详解】
由题设，22
43
()(0)ax ax f x x ax +-'=>且0a >，
令2()43(0)g x ax ax x =+->，则()g x 在(0,)+∞上递增且(0)30=-<g ，所以()0g x =有唯一正实根，记为0x ，则2
00430ax ax +-=．当00x x <<时，()0g x <即()0f x '<，()f x 单调递减，
当0x x >时，()0>g x 即()0f x '>，()f x 单调递增，所以极小值也是最小值为0000
3
()ln()45f x ax x ax =+
+=．又2
00430ax ax +-=，可得00341
ax x =
+，故003
ln
2(41)6041
x x ++-=+，
令3()ln
26(1)h t t t t =+->，其中041t x =+，则121()20t h t t t
-'=-+=>，所以()h t 在(1,)+∞上单调递增且(3)0h =，而3t =，即01
2
x =，从而2a =．综上，实数a 的值为2.【小问2详解】由题意，3
ln(2)502x kx x
+
--≥恒成立，令2(0)t x t =>．令3()ln 5(0)2kt F t t t t =+-->，则22
26
()2kt t F t t
-+-'=，令2()26(0)t kt t t ϕ=-+->ⅰ、当0k ≥时，(1)202
k
F =-
-<，不合题意，舍去，ⅱ、当0k <时，()0t ϕ=有唯一的正实根，记为0t ，且2
00260t kt -=<，则0(0,3)t ∈且
0312
kt t -
=当00t t <<时，()0t ϕ<，即()0F t '<，当0t t >时，()0t ϕ>，即()0F t '>所以()F t 在0(0,)t 单调递减，在0(,)t +∞上单调递增，则极小值也是最小值为
000000
36
ln 5ln 62()kt t F t t t t +
--+==-．要使()0F t ≥对(0,)t ∈+∞恒成立，则0()0F t ≥．令6()ln 6(03)m x x x x =+
-<<，则26
()0x m x x
-'=<，即()m x 在(0,3)上递减，又(1)0m =，
所以不等式()0m x ≥的解集为(]0,1，故001t <≤，又(]0200
62
,0,1,k t t t -=
+∈则k 的取值范围是(],4-∞-．【点睛】关键点点睛：
（1）构造中间函数，并结合导数研究()f x 单调性、最值，根据已知求得参数间的函数关系及参数范围；
（2）令2(0)t x t =>，根据已知确定隐零点0t 与参数k 的关系，并求出0t 的范围，进而求k 的范围.
⑥
【答案】（1）()f x 在()1,+∞上只有一个极值点，即唯一极小值点；
（2）证明见解析【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，判断其正负，结合零点存在定理，判断函数的单调性，求得答案；
（2）求出函数的导数，构造函数()=e 1
x a
x
h x x --
-，判断其正负情况，确定函数单调性，进而确定函数的最小值()000ln ln 1
1(1
)x a f x x -++-=
，故可将原问题转化为对任意1x >，()001
ln ln 111x a x a
-++>-，再构造函数，利用其单调性即可证明结论.【小问1详解】
当1a =时，()1e ln ln2x f x x x
-=-+,
则
11
22
(1)(e )e (1)1
1()x x x
x x x f x x x x ----
--'=
-=，
设1
()=e
1x x x x ϕ--
-，则1
1()e 11
x x x ϕ-=---在()1,+∞上是增函数，当1x +→时，()x ϕ→-∞，(2)e 20ϕ=->，所以存在0(1,2)x ∈，使得0()0x ϕ=，
当0(1,)x x ∈时，()0x ϕ<，则()0f x '<，即()f x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ>，则()0f x '>，即()f x 在0(1,)x 上单调递增，所以()f x 在()1,+∞上只有一个极值点，即唯一极小值点；【小问2详解】证明：由
2
2
(1)(e )e (1)11()x a x a x
x x x f x x x
x ----
--'=-=，
设()=e
1x a
x h x x --
-，则1()e 11
x a
h x x -=---在()1,+∞上是增函数，当1x +→时，()h x →-∞，因为1e 1
a >
-，所以1
(1)e 10h a a +=-->，
所以存在0(1,1)x a ∈+，使得00
00()e
01
x a
x h x x -=-
=-，当0(1,)x x ∈时，()0h x <，则()0f x '<，即()f x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，()0h x >，则()0f x '>，即()f x 在0(1,)x 上单调递增，
故0x x =是函数()()e ln ln 1(0)x a
f x x a a x -=-++>的极小值点，也是最小值点，
则()0000
e ln l 1)n ()(x a
f x x f x a x --+=+≥，又因为000e
1x a
x x -=
-，所以()000ln ln 1
1(1
)x a f x x -++-=
，即证：对任意1x >，
()001
ln ln 111x a x a
-++>-，即证：对任意1x >，()0
01
ln ln 111x a x a
->-+-，设()ln 11g x x x =
--，则()ln 1
1g x x x =--在()1,+∞上单调递减，因为0(1,1)x a ∈+，所以0()(1)g x g a >+，故
()001
ln ln 111x a x a
->-+-，故对任意1x >，()1
f x a
>
.【点睛】本题考查了利用导数判断函数的极值点的个数以及证明不等式成立的问题，综合性较强，要能熟练求导，利用导数判断函数的单调性以及求函数最值，解答的关键是根据函数或导数的特点，构造函数，进而结合零点存在定理判断导数正负，求得函数的最值，利用函数最值进而证明不等式成立.
⑦
【答案】（Ⅰ）当n 为奇数时，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递
增；当n 为偶数时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减.（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.
【详解】（Ⅰ）由()n f x nx x =-，可得，其中*n N ∈且2n ≥，
下面分两种情况讨论：
（1）当n 为奇数时：
令()0f x '=，解得1x =或1x =-，
当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：x (,1)-∞-(1,1)-(1,)
+∞()f x '-+-
()f x
所以，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增.
（2）当n 为偶数时，
当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增；
当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.
所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减.
（Ⅱ）证明：设点P 的坐标为0(,0)x ，则1
10n x n -=，20()f x n n '=-，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()00()y f x x x =-'，即()00()()g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，即
，则0()()()
F x f x f x -'''=由于1()n f x nx n -'=-+在()0,+∞上单调递减，故()F x '在()0,+∞上单调递减，又因为0()0F x '=，所以当0(0,)x x ∈时，0()0F x '>，当0(,)x x ∈+∞时，0()0F x '<，所以()F x 在0(0,)x 内单调递增，在0(,)x +∞内单调递减，所以对任意的正实数x 都有0()()0F x F x ≤=，即对任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤.
（Ⅲ）证明：不妨设12x x ≤，由（Ⅱ）知()()20()g x n n
x x =--，设方程()g x a =的根为2x '，
可得
202.a x x n n '=+-，当2n ≥时，()g x 在(),-∞+∞上单调递减，又由（Ⅱ）知222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.
类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当(0,)x ∈+∞，()()0n f x h x x -=-<，即对任意(0,)x ∈+∞，()().
f x h x <
设方程()h x a =的根为1x '，可得1a x n
'=，因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增，且111()()()h x a f x h x '==<，因此11x x '<.由此可得212101a x x x x x n
''-<-=+-.因为2n ≥，所以11112
(11)111n n n C n n ---=+≥+=+-=，故1102n n x -≥=，所以2121a x x n
-<+-.【解析】1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式.
⑧【答案】（1）(()25log 10log 9f f >（2）当2a ≤时，()f x 有1个零点；当2a >时，()f x 有3个零点
【解析】
【分析】（1）利用导数判断函数()f x 在()1,+∞上的单调性，根据函数的单调性即可得出答案；
（2）求出函数的导函数()f x '，再利用导数可求得()min 2f x a '=-，再分20a -≥和20a -<两种情况讨论，结合零点的存在性定理，从而可得出结论.
【小问1详解】
解：当1a =时，()()()1ln 1f x x x x =+--，
()1ln 11ln x f x x x x x
+'=+-=+，当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，因为2445log 10log 10log 9log 91=>>>，所以(()25log 10log 9f f >；
【小问2详解】
解：()11ln ln 1x f x x a x a x x +'=+
-=++-，令()1ln 1g x x a x =++-，则()()221110-'=-=>x g x x x x x
，当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，
所以函数()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，
所以()()min 12g x g a ==-，
即()min 2f x a '=-，
①若20a -≥，即2a ≤，则()0f x '≥，()f x 在()0,∞+上递增，
因为()10f =，则1x =为()f x 的唯一零点；
②若20a -<，即2a >，则()()min 10f x f ''=<，
因为e 1a >，()1e 10e a
a
f '=+>，则()f x '在()1,+∞内仅有个零点，记为n ，因为0e 1a -<<，()
e e 21a a
f a -'=-+设()e 21a h a a =-+，则当2a >时，()e 20a
h a '=->，所以()h a 在()2,+∞内单调递增，
从而()()22e 30h a h >=->，即()
e 0a
f -'>，所以()f x 在()0,1内仅有一个零点，记为m ，
于是，当()0,x m ∈或(),x n ∈+∞时，()0f x '>，当(),x m n ∈时，()0f x '<，所以函数()f x 在(),n +∞和()0,m 上递增，在(),m n 上递减，
因为01m n <<<，()10f =，则()0f m >，()0f n <，
故()f x 在(),m n 内有唯一零点，
因为()()()e e 1e 12e 0a
a a a f a a a ----=-+--=-<，则()f x 在()0,m 内有唯一零点，因为()()()e e 1e 120a a a
f a a a =+--=>，则()f x 在(),m +∞内有唯一零点，
所以()f x 在()0,∞+内有3个零点.
综上所述，当2a ≤时，()f x 有1个零点；当2a >时，()f x 有3个零点.
【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间及最值问题，考查了利用导数研究函数的零点的问题，考查了二次求导，考查了学生的数据分析能力及分类讨论思想，属于难题.⑨【答案】（1）3
,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导可得()'f x 解析式，即可得()h x 解析式，利用导数求得()h x 的单调区间和最小值，结合题意，即可得m 的范围.
（2）求得()f x ''解析式，令22()1ln (0)m m t x m x x x x
=++->，利用导数可得()t x 的单调性，根据零点存在性定理，可得存在21,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，使得t (x 2)＝0，进而可得f '(x )在x ＝x 2处取得极小值，即x 1＝x 2，所以11211211ln 0,,12m m m x x x x ⎛⎫++
-=∈ ⎪⎝⎭，令()1ln s x m x =+，分析可得s (x 1)＜0，即可得证
【小问1详解】由题设知()e (1ln )x m f x m x x
'=++，则1ln (())0h m m x x x x ++
>=，所以22
(1)()m m m x h x x x x -'=-=当x ＞1时，h '(x )＞0，则h (x )在区间(1，＋∞)是增函数，
当0＜x ＜1时，h '(x )＜0，则h (x )在区间(0，1)是减函数，
所以h (x )min ＝h （1）＝512m +≥，解得32m ≥，所以m 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪
⎢⎣⎭
【小问2详解】222e 1ln e )n (1l x x m m m m m m x m x x x x x x f x ⎛⎫⎛⎫+++-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
'=⎭'令22()1ln (0)m m t x m x x x x
=++->则2322()m m m t x x x x '=-+＝2233
(1)1(22)0m x m x x x x ⎡⎤-+-+⎣⎦=>恒成立，所以t (x )在(0，＋∞)单调递增．又1(1)10,1l 3ln 20n 2122t m t m ⎛⎫=+>=-≤- ⎪⎝⎭
<，
所以存在21,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，使得t (x 2)＝0，当x ∈(0，x 2)时，t '(x )＜0，即f ''(x )＜0，则f '(x )在(0，x 2)单调递减；
当x ∈(x 2，＋∞)时，t '(x )＞0，即f ''(x )＞0，则f '(x )在(x 2，＋∞)单调递增；
所以f '(x )在x ＝x 2处取得极小值．即x 1＝x 2，
所以t (x 1)＝0，即11211211ln 0,,12m m m x x x x ⎛⎫++
-=∈ ⎪⎝⎭，所以1122
111(12)21ln 0m x m m m x x x x -+=-=<，令()1ln s x m x =+，则s (x )在(0，＋∞)单调递增；
所以s (x 1)＜0
因为f (x )的零点为x 0，则01ln 0m x +=，即s (x 0)＝0
所以s (x 1)＜s (x 0)，所以x 0＞x 1
【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数求函数单调区间，极（最）值的方法，并灵活应用，难点在于，需结合零点存在性定理，判断零点所在区间，再进行分析和求解，属中档题.⑩【答案】（1）(]
,1-∞（2）若591a -≤≤，()f x 在(0,2)π内无零点；若1a >，()f x 在(0,2)π内有且仅有1个零点，证明见解析.
【解析】
【分析】(1)求导，然后，分别讨论0a ≤，01a <≤和1a >时的单调性即可.
(2)根据(1)的结论，分别讨论590a -≤≤，01a <≤和1a >时零点的个数.
【小问1详解】
'()(1)e cos x f x x a x
=+-①若0a ≤，当[0,]x π∈时，0a -≥，sin 0x ≥，()e ()sin 0x f x x a x =+-≥，当且仅当0x =时取等号，可见，0a ≤符合题意.
②若01a <≤，当[0,]2x π∈时，0'()(1)e cos 10f x x a x a ≥+-≥-≥；当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦
时，cos 0x <，'()(1)e (cos )0x f x x a x =++⋅->.可见，当[]0,x π∈时，'()0f x ≥，当且仅当1a =，且0x =时取等号.
所以()f x 在[0,]π上单调递增，所以，()(0)0f x f ≥=.
所以01a <≤符合题意.
③若1a >，因为(1)e x y x =+在[]0,π上单调递增，cos y a x =-在[]0,π上单调递增，所以，'()(1)e cos x f x x a x =+-在[]0,π上单调递增，又'(0)10f a =-<，
2'((1)e 022
f πππ=+>，由零点存在定理及'()f x 的单调性，存在唯一的0(0,2x π∈，使得0'()0f x =.
当0(0,)x x ∈时，0'()'()0f x f x <=，()f x 单调递减，所以，()(0)0f x f <=.可见，1a >不符合题意.
综上，a 的取值范围是(]
,1-∞【小问2详解】
①若590a -≤≤，由(1)，(]0,x π∈时，()0f x >，()f x 在(]0,π内无零点.
当(),2x ∈ππ时，1sin 0x -≤<，0sin 1x <-≤，sin a x a -≥，又由e x y x =单调递增，则33()e sin e 3e 593 2.7590.0490x f x x a x a ππ=->+>->⨯-=>.
可见，若590a -≤≤，()f x 在(0,2)π内无零点.
②若01a <≤，由(1)，(]0,x π∈时，()0f x >，()f x 在(]0,π内无零点.
当(,2)x ππ∈时，sin 0x ->，()e (sin )0x x f x x a x xe =+->>.
可见，若01a <≤，()f x 在(0,2)π内无零点.
③若1a >，由(1)，存在唯一的00,2x π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
，当0(0,)x x ∈时，0'()'()0f x f x <=.()f x 单调递减；当0(,)x x π∈时，0'()'()0f x f x >=，()f x 单调递增.
又(0)0f =，所以0()(0)0f x f <=.
又()e 0f πππ=>，由零点存在定理及()f x 的单调性，存在唯一的10(,)x x π∈，使得1()0f x =.可见，()f x 在(]
0,π内存在唯一的零点.当(,2)x ππ∈时，sin 0,sin 0x a x <->，所以，()e sin e 0x x f x x a x x =->>，所以，()
f x 在(,2)ππ内没有零点，可见，()f x 在(0,2)π有且仅有1个零点.
综上所述，若591a -≤≤，()f x 在(0,2)π内无零点；若1a >，()f x 在(0,2)π内有且仅有1个零点.
【点睛】关键点睛：通过导数讨论含参函数的单调性时，要对参数进行分类讨论，分类讨论时，要注意做到不重不漏；讨论含参函数的零点个数时，要利用零点存在定理来讨论零点个数，利用零点存在定理讨论零点个数时，要注意结合单调性讨论，属于难题。