[推荐学习]高三数学上学期期初试卷(艺术班,含解析)

2015-2016学年江苏省宿迁市沭阳国际学校艺术班高三（上）期初数
学试卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）
1．﹣885°化成2kπ+α（0≤α≤2π，k∈Z）的形式是．
2．已知角α是第一象限角，且是其终边上一点，若，则a的值为．
3．已知α是第四象限角，，则sinα= ．
4．已知cos110°=k，则tan80°=．
5．已知= ．
6．若函数的最小正周期为π，则正数k的值为．
7．函数的定义域为．
8．函数的单调增区间为．
9．若cos（α﹣）=，则sin（2α﹣）的值是．
10．若sinα+sinβ=，则cos（α+β）的值为．
11．在△ABC中，已知tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个实根，则tanC= ．
12．将函数y=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为．
13．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，则
•= ．
14．已知α，β均为锐角，且cos（α+β）=，则tanα的最大值是．二．解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．已知，求值：
（1）tanα；
（2）．
16．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．
17．设f（x）=6cos2x﹣sin2x，
（1）求f（x）的最大值及最小正周期；
（2）若锐角α满足f（α）=3﹣2，求tanα的值．
18．已知，，求sinα及．
19．已知函数（其中ω＞0）
（I）求函数f（x）的值域；
（II）若对任意的a∈R，函数y=f（x），x∈（a，a+π]的图象与直线y=﹣1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数y=f（x），x∈R的单调增区间．
20．如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心，半径为10米的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB（不计B离河岸的距离），且OB的连线恰好与
河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为E．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45°，30°和60°．
（1）求烟囱AB的高度；
（2）如果要在CE间修一条直路，求CE的长．
2015-2016学年江苏省宿迁市沭阳国际学校艺术班高三（上）期初数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）
1．﹣885°化成2kπ+α（0≤α≤2π，k∈Z）的形式是﹣6π+．
【考点】任意角的概念．
【专题】计算题；三角函数的求值．
【分析】利用360°=2π，把﹣885°转化为﹣6π+α的形式即可．
【解答】解：﹣885°=﹣1080°+195°=﹣6π+．
故答案为：﹣6π+．
【点评】本题是基础题，考查角度与弧度的转化，注意题目0≤α≤2π的条件的应用．
2．已知角α是第一象限角，且是其终边上一点，若，则a的值
为．
【考点】任意角的三角函数的定义；三角函数值的符号．
【专题】计算题．
【分析】由题意求出OP，利用三角函数的定义，求出cosα，结合，求出a的值．
【解答】解：角α是第一象限角，且是其终边上一点，所以OP=，
所以，
解得a=，
故答案为：．
【点评】本题是基础题，考查三角函数的定义的应用，求出OP是解题的关键，考查计算能力．
3．已知α是第四象限角，，则sinα= ．
【考点】同角三角函数间的基本关系．
【专题】计算题．
【分析】tanα==，即cosα=，利用sin2α+cos2α=1求解即可．
【解答】解：tanα==∴cosα=，∵sin2α+cos2α=1，∴sin2α=，
又α是第四象限角，sinα＜0，sinα=
故答案为：
【点评】本题考查同角三角函数基本关系式，三角函数值在各象限的符号．要做到牢记公式，并熟练应用．
4．已知cos110°=k，则tan80°=．
【考点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．
【专题】三角函数的求值．
【分析】由题意可得sin20°=﹣k，cos20°=，化简tan80°为，再利用半角公式求出它的值．
【解答】解：∵cos110°=﹣cos70°=﹣sin20°=k，则sin20°=﹣k，
∴cos20°==，
∴tan80°=cot10°=====
=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换以及化简求值，属于中档题．
5．已知= ．
【考点】两角和与差的正弦函数．
【分析】观察题中角之间的关系，x+与是互补的关系，x+与是互余关系，这是解题的突破口，用诱导公式求出结论中要用的结果，题目得解．
【解答】解：∵，
∴，
∴
=
=
=，
故答案为：
【点评】在三角函数中除了诱导公式和作八个基本恒等式之外，还有两角和与差公式、倍角公式、半角公式、积化和差公式、和差化化积，此外，还有万能公式，在一般的求值或证明三角函数的题中，只要熟练的掌握以上公式，用一般常用的方法都能解决我们的问题．
6．若函数的最小正周期为π，则正数k的值为 3 ．
【考点】余弦函数的图象．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，得出结论．
【解答】解：函数的最小正周期为=π，则正数k=3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查余弦函数的周期性，利用了函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，属于基础题．
7．函数的定义域为{x|x≠+，k∈Z} ．
【考点】正切函数的定义域．
【专题】三角函数的求值．
【分析】要使正切有意义，则3x﹣≠kπ+，解不等式可得定义域．
【解答】解：要使正切有意义，则3x﹣≠kπ+，
解得x≠+，k∈Z，
∴所求定义域为：{x|x≠+，k∈Z}
故答案为：{x|x≠+，k∈Z}
【点评】本题考查正切函数的定义域，属基础题．
8．函数的单调增区间为[0，]，[，π] ．【考点】正弦函数的图象．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由条件利用正弦函数的单调性求得函数
的单调增区间．
【解答】解：对于函数，令2kπ﹣
≤2x+≤2kπ+，
求得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，再结合x∈[0，π]，可得函数的增区间为[0，]，[，π]，
故答案为：[0，]，[，π]．
【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．
9．若cos（α﹣）=，则sin（2α﹣）的值是．
【考点】二倍角的余弦；三角函数的化简求值．
【专题】三角函数的求值．
【分析】直接利用诱导公式化简所求表达式，通过二倍角的余弦函数，结合已知条件求解即可．
【解答】解：∵cos（α﹣）=，
∴sin（2α﹣）=cos（﹣2α+）=cos（2α﹣）=2cos2（α﹣）﹣
1=2×=﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了诱导公式和二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．
10．若sinα+sinβ=，则cos（α+β）的值为．
【考点】两角和与差的余弦函数．
【专题】计算题；三角函数的求值．
【分析】由已知条件，不易求得sinα，sinβ，cosα，cosβ．可将两式平方，整体构造出cos（α+β）求解．
【解答】解：由已知可得
sin2α+sin2β+2sinαsinβ=（）2，
cos2α+cos2β﹣2cosαcosβ=（）2，
两式相加，2+2sinαsinβ﹣2cosαcosβ=，
移向2sinαsinβ﹣2cosαcosβ=﹣，
即﹣2cos（α+β）=﹣，
所以cos（α+β）=
故答案为：．
【点评】本题考查两角和与差的余弦函数，整体代换的方法．属于基础题．
11．在△ABC中，已知tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个实根，则tanC= ﹣7 ．【考点】两角和与差的正切函数．
【专题】计算题．
【分析】首先根据韦达定理表示出两根之和tanA+tanB与两根之积tanAtanB，然后根据三角形的内角和为π，把角C变形为π﹣（A+B），利用诱导公式化简后，然后再利用两角和的正切函数公式化简，把tanA+tanB与tanAtanB代入即可求出值．
【解答】解：∵tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个根，
则tanA+tanB=，tanAtanB=，
∴tanC=tan[π﹣（A+B）]=﹣tan（A+B）=﹣=﹣7
故答案为：﹣7
【点评】此题考查学生灵活运用韦达定理、诱导公式及两角和的正切函数公式化简求值，本题解题的关键是利用三角形本身的隐含条件，即三角形内角和是180°
12．将函数y=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为 2 ．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由三角函数的图象平移得到平移后的两个函数的解析式，再由两函数的对称轴重合
得到ωx+=ωx﹣或ωx+=ωx﹣+kπ，k∈Z．由此求得最小正数ω的值．
【解答】解：把函数y=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为：
y=2sin[ω（x+）﹣]=2sin（ωx+），
向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为：y=2sin[ω（x﹣）﹣]=2sin
（ωx﹣）．
∵所得的两个图象对称轴重合，
∴ωx+=ωx﹣①，或ωx+=ωx﹣+kπ，k∈Z ②．解①得ω=0，不合题意；
解②得ω=2k，k∈Z．
∴ω的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查三角函数的平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，考查了三角函数的对称性，是中档题．
13．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，则•=
．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】压轴题．
【分析】法一：选定基向量，将两向量，用基向量表示出来，再进行数量积运算，求出的值．
法二：由余弦定理得可得分别求得，
又夹角大小为∠ADB，
，
所以=．
【解答】解：法一：选定基向量，，由图及题意得，
=
∴=（）（）
=+==
法二：由题意可得
BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+1+2=7，
∴BC=，
∴cosB===
AD==，
∵，
∴=．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查余弦定理和向量数量积的应用．向量和三角函数的综合题是高考热点，要给予重视．
14．已知α，β均为锐角，且cos（α+β）=，则tanα的最大值是．
【考点】两角和与差的正弦函数．
【专题】函数的性质及应用；三角函数的求值．
【分析】直接对三角函数关系式中的角进行恒等变换，再利用弦化切建立一元二次不等式，最后求出结果．
【解答】解：知α，β均为锐角，且cos（α+β）=，
则cos（α+β）sinβ=sinα=sin[（α+β）﹣β]，
化简为：cos（α+β）sinβ=sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ，
转化为：tan（α+β）=2tanβ，
即，
则：2tanαtan2β﹣tanβ+tanα=0，
所以：△≥0，
即：1﹣8tan2α≥0，
解得：．
由于：α为锐角，
所以：，
则tanα的最大值为．
故答案为：
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式中角的恒等变换，弦化切在做题中得应用，一元二次不等式有解得情况讨论．
二．解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．已知，求值：
（1）tanα；
（2）．
【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系；二倍角的余弦．
【专题】计算题．
【分析】（1）由题意，可由正切的和角公式展开得，由此方程解出tanα；
（2）由正弦与余弦的二倍角公式将这形为，
再由同角三角关系，将其变为将正切值代入即可求出代数式的值．
【解答】解：（1）由题意，可得，解得tanα=﹣
（2）==
由（1）tanα=﹣，
∴==﹣
【点评】本题考查了两角的和的正切公式，正弦、余弦的二倍角公式，同角三角函数的基本关系，解题的关键是牢固记忆公式，能根据这些公式灵活变形，求出代数式的值，三角函数由于公式多，可选择的方法多，故解题时要注意选取最合适的方法解题
16．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．
【考点】正弦定理；正弦函数的定义域和值域．
【专题】计算题．
【分析】（1）先利用正弦定理求得sinB的值，进而求得B．
（2）把（1）中求得B代入cosA+sinC中利用两角和公式化简整理，进而根据A的范围和正弦函数的性质求得cosA+sinC的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，
所以，
由△ABC为锐角三角形得．
（Ⅱ）
==
=．
由△ABC为锐角三角形知，0＜A＜，，
所以．
由此有≤，
所以，cosA+sinC的取值范围为（，]．
【点评】本题主要考查了正弦定理得应用和三角函数中两角和公式的运用．涉及了正弦函数的性质，考查了学生对三角函数知识的把握．
17．设f（x）=6cos2x﹣sin2x，
（1）求f（x）的最大值及最小正周期；
（2）若锐角α满足f（α）=3﹣2，求tanα的值．
【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法．
【专题】计算题．
【分析】（I）利用三角函数的二倍角公式及公式化简为只含一个角一个函数名的三角函数，利用有界性及周期公式求出最大值最小正周期．（II）列出关于α的三角方程，求出α，求出正切值．
【解答】解：（Ⅰ）
=
=
=
故f（x）的最大值为；最小正周期
（Ⅱ）由得，故
又由得，故，解得．
从而．
【点评】本题考查三角函数的二倍角公式、公式、三角函数的周期公式、解三角方程．
18．已知，，求sinα及．
【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的正切函数；二倍角的余弦．
【专题】计算题．
【分析】把题目中所给的两个条件展开，一个使用两角差的正弦公式，一个使用二倍角公式，得到关于角的正弦和余弦的二元一次方程，解方程，求出角的正弦和余弦，得到结果．【解答】解：由题设条件，应用两角差的正弦公式得
，
即①
由题设条件，应用二倍角余弦公式得
故②
由①和②式得，
因此，，由两角和的正切公式
【点评】本题考查两角的三角函数关系和同角的三角函数关系，解题过程中用到方程的思想，已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解．
19．已知函数（其中ω＞0）
（I）求函数f（x）的值域；
（II）若对任意的a∈R，函数y=f（x），x∈（a，a+π]的图象与直线y=﹣1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数y=f（x），x∈R的单调增区间．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．
【专题】计算题．
【分析】（I）化简函数为一个角的一个三角函数的形式，根据正弦函数的有界性求出函数f（x）的值域；
（II）对任意的a∈R，函数y=f（x），x∈（a，a+π]的图象与直线y=﹣1有且仅有两个不同的交点，确定函数的周期，再确定ω的值，然后求函数y=f（x），x∈R的单调增区间．【解答】解：（I）解：
==
由，得可知函数f（x）的值域为[﹣3，1]．
（II）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，y=f（x）的周期为π，
又由ω＞0，得，即得ω=2．
于是有，再由
，
解得．
B1所以y=f（x）的单调增区间为
【点评】本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力．
20．如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心，半径为10米的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB（不计B离河岸的距离），且OB的连线恰好与
河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为E．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45°，30°和60°．
（1）求烟囱AB的高度；
（2）如果要在CE间修一条直路，求CE的长．
【考点】解三角形的实际应用．
【专题】综合题；解三角形．
【分析】（1）求出OB=h，EB=h，可得h﹣h=10，即可求烟囱AB的高度；（2）求出cos∠COB，利用余弦定理求CE的长．
【解答】解：（1）设AB的高为h，则
在△CAB中，∵∠ACB=45°，∴CB=h，
在△OAB中，∵∠AOB=30°，∠AEB=60°，
∴OB=h，EB=h，
∴h﹣h=10，
∴h=15m；
（2）在△OBC中，cos∠COB==，
所以在△OCE中， =10m．
【点评】本题考查解三角形的运用，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．。