重庆市2017届中考数学复习几何初步第5节直角三角形与勾股定理试题

第五节直角三角形与勾股定理
课标呈现指引方向
1．了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。

2．探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。

考点梳理夯实基础
1．直角三角形的性质：
（1）直角三角形的两个锐角；
【答案】互余
（2）勾股定理：若直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么；
【答案】a2＋b2＝c2
（3）直角三角形斜边上的中线等于；
【答案】斜边的一半
（4）直角三角形中，30°角所对的直角边等于．
【答案】斜边的一半
2．直角三角形的判定：
（1）勾股定理逆定理：如果三角形的三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；
（2）如果三角形一边上的中线等于这边的，那么这个三角形是直角三角形．
【答案】一半
3．勾股数：可以构成直角三角形三边的一组正整数．常见的勾股数有：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（8，15，17）…以及（3n，4n，5n）、（5n，12n，13n）、（7n，24n，25n）、（8n，15n，17n）…（n为正整数）
考点精析专项突破
考点一勾股定理和勾股定理的逆定理
【例1】（1）（2016临沂）如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG．若AB＝4，BC＝8，则△ABF的面积为_____________．
【答案】6
解题点拨：本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等，根据勾股定理列出方程是解题的关键．①先利用矩形的性质和折叠的性质得出∠B＝90°，AF＝FC；②然后利用勾股定理列方程求出BF的长；③再用三角形面积公式求出三角形的面积．
（2）（2016武汉）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝5
5，则BD的长为___________
【答案】
解题点拨：连接AC，过点D作BC边上的高，交BC延长线于点H．在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，又CD＝10，DA＝55，可知△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，易证△ABC∽△CHD．则CH＝6，DH＝8，从而在Rt△BHD中易求BD．
考点二性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的运用
【例3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E．连接AC交DE于点F，点G为AF的中点．∠ACD＝2∠ACB．若DG＝3，EC＝1．求DE的长．
解题点拨：综合考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD＝DG＝3．
鼹：∵AD∥BC，DE⊥BC，
∴DE⊥AD，∠CAD＝∠ACB
∵点G为AF的中点，
∴DG＝AG，∴∠GAD＝∠GDA，
∴∠CGD＝2∠CAD，
∵∠ACD＝2∠ACB，
∴∠ACD＝∠CGD，
∴CD＝DG＝3，
在Rt△CED中，DE．
考点三性质“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”的运用
【例4】(2016西宁)如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝．
【答案】2
解题点拨：作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质可得PE＝PD．根据平行线的性质可得∠BCP＝∠AOB＝30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．
课堂训练
当堂检测
1．(2016南京)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 ( )
A．3，4，4 B．3，4，5
C．3，4，6 D．3，4，7
【答案】B
2．(2015滨州)如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A Bⅱ处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是 ( )
A．直线的一部分B．圆的一部分
C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分
第2题
【答案】B
3．(2016黄冈)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DC＝3DE＝3a，将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP＝．
【答案】
第3题
4．(2015重庆A)如图1，在△ABC中，∠ACB＝ 90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．
(1)如图1，若点H是AC的中点，AC＝AB，BD的长：
(2)如图1，求证：HF＝EF；
(3)如图2，连接CF，CE，猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由，
图1 图2
第4题
【答案】
解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝
∴AB＝
cos AC
BAC
Ð
2
∵AD⊥AB．∴∠DAH＝30°．
∵点H是AC的中点，∴AH＝1
2 AC
∴在△ADH中．AD＝
cos AH
CAH
Ð
＝2．
∴在△ADB中，根据勾股定理，得
BD
(2)如答图1，连接AF，
易证：△DAE≌△ADH(AAS)，∴DH＝AE．
∵∠FDH＝∠FDA－∠HDA＝∠FDA－60°＝(90°－∠FBA)－60°＝30°－∠FBA，∴∠EAF＝∠FDH．
又∵点F是BD的中点，即AF是Rt△ABD斜边上的中线，∴AF＝DF．
∴△DHF≌△AEF(SAS)．∴HF＝EF．
(3)△CEF为等边三角形，证明如下：
如答图2，取AB的中点M，连接CM、FM，
在Rt△ADE中，AD＝2AE，
∵FM是△ABD的中位线．
∴AD＝2FM．∴FM＝AE．
易证△ACM为等边三角形，
∴AC＝CM，∠ACM＝60°．
∵∠CAE＝1
2
∠CAB＝30°，
∠CMF＝∠AMF－∠AMC＝30°，
∴∠CAE＝∠CMF．
∴△ACE≌△MCF(SAS)．∴CE＝CF，∠ACE＝∠MCF．∴∠ECF＝∠ECM＋∠MCF＝∠ECM＋∠ACE＝60°．
∴△CEF为等边三角形．
图1 图2
第4题答案图
中考达标
模拟自测
A组基础训练
一、选择题
1．(2016连云港)如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6．其中S1＝16，S2＝45 ，S5＝11，S6＝14，则S3＋S4＝ ( ) A．8 B．64 C．54 D．48
图1 图2
第1题
【答案】C
2．(2016海南)如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C 落在点E的位置．如果BC＝6，那么线段BE的长度为 ( )
A．6 B．C．D．
第2题
【答案】D
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是 ( )
A．12
5
B．4 C．
24
5
D．5
第3题
【答案】C
4．(2015泰安)如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE．延
长BG交CD于点F．若AB＝6，BC＝，则FD的长为 ( )
A．2 B．4 C．B D．
第4题
【答案】B
二、填空题
5．(2016随州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至
点D，使CD＝1
3
BD，连接DM、DN、MN．若AB＝6，则DN＝．
第5题
【答案】3
6．(2016温州)七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板(如图1所示)中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形(如图2所示)，则该凸六边形的周长是cm．
图1 图2
第6题
【答案】16)
7．(2016连云港)如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M．EM交AB于N．若AD＝2．
则MN＝
图1 图2
第7题
【答案】1 3
三、解答题
8．已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB中点，连接CD．点E为边AC上一点，过点E作EF∥AB，交CD于点F，连接EB，取EB的中点G，连接DG、FG．．
(1)求证：EF＝CF；
(2)求证：FG⊥DG．
第8题
【答案】证明：(1)∵在R△ACB中，D为AB中点
∴DA＝DC＝DB
∴∠A＝∠1
∵EF∥AB
∴∠2＝∠A
∴∠1＝∠2
∴CF＝EF．
(2)延长FG，交AB于点H
∵EF∥AB
∴∠FEG＝∠GBH
∵G为EB中点
∴EG＝GB
又∵∠FGE＝∠HGB
∴△EFG≌△BHG
∴FG＝GH，EF＝HB＝CF
∴DC－CF＝DB－HB
即DF＝DH
∴DG⊥FG．
第8题答案图
9．(2016黄石)在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2∠DAE＝ 90°．
(1)如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：DE2＝BD2＋CE2：
(2)如图2，点E在BC的延长线上，则等式DE2＝BD2＋CE2还能成立吗？请说明理由．
图1 图2
第9题
【答案】解：(1)∵点D关于直线AE的对称点为F，
∴EF＝DE，AF＝AD，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝90°－∠CAD，
∠CAF＝∠DAE＋∠EAF－∠CAD＝45°＋45°－∠CAD＝90°－∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△ABD和△ACF中，
AB AC
BAD CAF
AD AF ì=
ïï
??
í
ï
=
ïî
∴△ABD≌△ACF(SAS)，
∴CF＝BD，∠ACF＝∠B，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠ECF＝∠ACB＋∠ACF＝45°＋45°＝90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2＝CF2＋CE2，
所以，DE2＝BD2＋CE2；
(2) DE2＝BD2＋CE2还能成立．
理由如下：作点D关于AE的对称点F，连接EF、CF，
由轴对称的性质得，EF＝DE，AF＝AD，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝90°－∠CAD，
∠CAF＝∠DAE＋∠EAF－∠CAD＝45°＋45°－∠CAD＝90°－∠CAD，∴∠BAD＝∠CAF，
在△ABD和△ACF中，
AB AC
BAD CAF
AD AF ì=
ïï
??
í
ï
=
ïî
∴△ABD≌△ACF(SAS)，
∴CF＝BD，∠ACF＝∠B，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠ECF＝∠ACB＋∠ACF＝45°＋45°＝90°，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2＝CF2＋CE2，
所以，DE2＝BD2＋CE2．
第9题答案图
B组提高练习
10．(2016东营)在△ABC中，AB＝10，AC＝
BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于
( )
A．10 B．8 C．6或10 D．8或10
【答案】C(提示：在图①中，由勾股定理，得BD
＝＝8；CD＝
＝2；∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10．在图②中，由勾股定理，得
BD＝8；CD2；∴BC＝BD－CD＝8－2＝6．)
图①图②
11．(2016资阳)如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，CO⊥AB于点O，点D、E分别在边AC、BC上，且AD＝CE，连结DE交CO于点P，给出以下结论：
①△DOE是等腰直角三角形：②∠CDE＝∠COE;③若AC＝1，则四边形CEOD的面积为1
4
，
其中所有正确结论的序号是．
【答案】①②③(提示：①如图，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CO⊥AB，∴AO＝OB＝OC，∠A＝∠B＝∠ACO＝∠BCO＝45°，∴△ADO≌△CEO，∴DO＝OE，∠AOD＝∠COE，∴∠AOC＝∠DOE ＝90°，∴△DOE是等腰直角三角形．故①正确．②∵∠DCE＋∠DOE＝180°，∴D、C、E、
O四点共圆，∴∠CDE＝∠COE，故②正确．③∵AC＝BC＝1，∴S△ABC＝1
2
×1×1＝
1
2
，
S四边形DCEO＝S△DOC＋S△CEO＝S△CDO＋S△ADO＝S△AOC＝1
2
S△ABC＝
1
4
，故③正确．)
12．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF．连接CF．
(1)观察猜想
如图1．当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为：．
②BC，CD，CF之间的数量关系为：；(将结论直接写在横线上)
(2)数学思考
如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
(3)拓展延伸
如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB＝，
CD＝1
4
BC，请求出GE的长．
图1 图2 图3 第12题
【答案】解：(1)垂直，BC＝CD＋CF．
(2)不成立，BC＝CD－CF．
∵正方形ADEF中，AD＝AF，
∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，
∵AD＝AF，AB＝AC，
∴△DA B≌△FAC，∴∠ABD＝∠ACF，CF＝BD
∴∠ACF－∠ACB＝90°，即CF⊥BD;
∵BC＝CD－BD，∴BC＝CD－CF．
(3)过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴BC AB＝4，AH＝1
2
BC＝2，∴CD＝
1
4
BC＝1，CH＝
1
2
BC＝2，∴DH＝3．
由(2)证得BC⊥CF，CF＝BD＝5，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝DE，∠ADE＝90°，∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，∴四边形CMEN是矩形，∴NE＝CM，EM＝CN，
∵∠AHD＝∠ADE＝∠EMD＝90°，
∴∠ADH＋∠EDM＝∠EDM＋∠DEM＝90°，
∴∠ADH＝∠DEM，∴△ADH≌△DEM，
∴EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，∴CN＝EM＝3，EN＝CM＝3，∵∠ABC＝ 45°，∴∠BGC＝45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG＝BC＝4，∴GN＝1，
∴EG
第12题答案图。