不同函数增长的差异

二、提出问题 1．如何比较函数 y＝2x 与 y＝2x 的增长差异？它们的增长速度有什么不 同？从中你能得到什么结论？ 2．如何比较函数 y＝lg x 与 y＝110x 的增长差异？它们的增长速度有什么 不同？从中你能得到什么结论？ [学习目标] 1.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函 数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异．(直观想象) 2.理解“对 数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．(数学抽象)
三种常见函数模型的增长差异
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝kx(k>0)
在(0，＋∞) 上的增减性
__增__函__数____
__增__函__数____
__增__函__数____
图象的变化
随 x 的增大，图象越 来越“陡”
随 x 的增大，图象逐 渐趋于稳定
增长速度不变
形象描述
指数爆炸
对数增长
下面对函数 f(x)＝log21x，g(x)＝12x 与 h(x)＝x 在区间(0，＋∞)上的递减 情况说法正确的是( C ) A.f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢 B.f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快 C.f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越慢 D.f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快
解析：观察函数 f(x)＝log12x，g(x)＝12x 与 h(x)＝x 在区间(0，＋∞)上的 图象(如图)可知，函数 f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐 渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢．同样，函数 g(x) 的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢．函数 h(x) 的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞) 上，递减较慢，且越来越慢．
一、导入新课 一张纸对折一次，厚度变成原来的 2 倍．再对折第二次，变为原来的 2 的 2 次方倍即 4 倍．以此类推，假设纸的厚度为 0.1 mm，则对折 24 次以 后，长度超过 1 千米；对折 39 次达 55 000 千米，超过地球赤道长度；对 折 42 次达 44 万千米，超过地球至月球的距离；对折 51 次达 2.25 亿千米， 超过地球至太阳的距离；对折 82 次为 51 113 光年，超过银河系半径的长 度．不过，以上只是一些不符合实际的数学理论推理数字．为什么会出 现这样的现象呢？带着问题进入我们今天的学习．
＝3 时，排除 A 项．故选 C．
第四章
指数函数与对数函数
4.4.3 不同函数增长的差异
本节课是在学习了一次函数、指数函数和对数函数之后对函数学习的一 次梳理和总结．本节课提出了函数增长快慢的问题，通过函数图象及三 个函数的性质，完成函数增长快慢的认知．既是对三种函数学习的复习， 也是后续学习的基础，对培养和发展学生直观想象、数学抽象、数学建 模和数学推理的核心素养有很大的帮助．
由于本节课是在学习了一次函数、指数函数和对数函数后来讨论函数的 增长差异，所以在教学中首先对这三种基本初等函数进行复习，了解三 种基本初等函数的一些基本知识．研究函数的有关性质，一般都是通过 图象，所以本节课要多利用多媒体教学平台，先画出一些特殊类函数的 图象，让学生直观观察不同类函数的图象上升或下降情况，再将问题推 广到一般，得出不同函数增长的差异．
题型 2◆函数模型的选择问题 典例 有一组实验数据如下表所示：
x1 2 3 4 5 y 1.5 5.9 13.4 24.1 37 下列所给函数模型较适合的是( C ) A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1) C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1)
解析：通过所给数据可知 y 随 x 的增大而增大，其增长速度越来越快， 而 A，D 中的函数增长速度越来越慢，B 中的函数增长速度保持不变，都 不正确．故选 C．
某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分
别为 0.2 万公顷、0.4 万公顷和 0.76 万公顷，则沙漠增加数 y(万公顷)关于
年数 x(年)的函数关系较为近似的是( C )
A．y＝0.2x
B．y＝110(x2＋2x)
C．y＝120x
பைடு நூலகம்D．y＝0.2＋log16x
解析：用排除法．当 x＝1 时，排除 B 项；当 x＝2 时，排除 D 项；当 x
直线上升
y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过 y＝kx(k>0) 的增 增长速度 长速度；总存在一个 x0，当 x>x0 时，恒有 logax<kx
增长结果 存在一个 x0，当 x>x0 时， ax>kx>logax
题型 1◆几类函数模型的增长差异 典例 下列函数中，增长速度最快的是( B ) A．y＝2 022x B．y＝2 022x C．y＝log2 022x D．y＝2 022
解析：指数函数的增长速度最快．
常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型：线性函数模型 y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升， 其增长速度不变． (2)指数函数模型：指数函数模型 y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增 大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数 爆炸”． (3)对数函数模型：对数函数模型 y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量 的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．