第三节 等比数列及其前n项和

比数列,则a1=Aq+B,a2=Aq2-Aq,a3=Aq3-Aq2,由 aa32 = aa12 ,得A=-B.故选B.
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2-2 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N*),若bn=an+1-2an, 求证:{bn}是等比数列.
证明 因为an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-4an-2=4an+1-4an,
(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),

1 an
,{ an2},{an·bn},



an bn

仍是等比数列.
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5.等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn, 当q=1时,Sn=⑨ na1 ;
当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,{an}是递增数列; 当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,{an}是递减数列; 当q=1时,{an}是常数列; 当q=-1时,{an}是摆动数列.
2.与等比数列有关的结论
(1)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k, an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.
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等比数列的性质
命题方向一 等比数列项的Βιβλιοθήκη Baidu质
典例3 (1)已知等比数列{an},且a6+a8=4,则a8(a4+2a6+a8)的值为 ( D ) A.2 B.4 C.8 D.16 (2)一个等比数列的前三项的积为3,最后三项的积为9,且所有项的积为 729,则该数列的项数是 ( B ) A.13 B.12 C.11 D.10
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命题方向二 等比数列前n项和的性质
典例4 等比数列{an}中,前n项和为48,前2n项和为60,则其前3n项和
为
.
答案 63
解析 解法一:设数列{an}的前n项和为Sn. 因为S2n≠2Sn, 所以q≠1,由等比数列前n项和公式得


a1
(1 q 1 q
n
)

48, ①
a1(1 qn ) =a1 anq . 1q 1q
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1-1 (2019湖南湘东五校联考)在等比数列{an}中,a3=7,前3项之和S3=21,
则公比q的值为 ( C )
A.1
C.1或- 1
2
B.- 1
2
D.-1或 1
2
答案
C
根据已知条件得
a1q2 a1
q2=9,所以a5=9=a1·q4=81a1,得a1=19 .
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4.在等比数列{an}中,已知a7a12=5,则a8a9a10a11= ( B ) A.10 B.25 C.50 D.75 答案 B ∵a7a12=5,∴a8a9a10a11=(a8a11)(a9a10)=(a7a12)2=25.
a qn-1 1
.
3.等比中项
若⑥ G2=ab(ab≠0) ,则G叫做a与b的等比中项.
▶提醒 (1)只有当两个数同号且不为0时,才有等比中项.(2)两个数a,b
的等差中项只有一个,两个同号且不为0的数的等比中项有两个.
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4.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am·⑦ qn-m (n,m∈N*). (2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则⑧ akal=aman .
a1(1 qn)
当q≠1时,Sn=⑩ 1 q =
a1 anq 1q .
6.等比数列前n项和的性质
公比不为-1或q=-1且n为奇数的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn, S3n-S2n仍成等比数列,其公比为 qn .
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知识拓展 1.等比数列的单调性
② a1÷(11① qq,得2n ) 1+6q0,n②=5 ,
4
所以qn= 1 .③
4
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将③代入①,得 a1 =64.
1 q
所以S3n=
a1(1 1
q3n q
a4 18
又 a42
=a2a6,所以a6=
a42 a2
= 182
8
= 81.故选C.
2
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3.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( C )
A. 1 B.- 1 C. 1 D.- 1
3
3
9
9
答案 C 由已知条件及S3=a1+a2+a3,得a3=9a1,设数列{an}的公比为q,则
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5.在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=
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.
答案 6
解析
由已知得{an}为等比数列,公比q=2,由首项a1=2,Sn=126得 2(11
2n 2
)
=126,解得2n+1=128,∴n=6.
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6.在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数
(3)三个数a,b,c成等比数列的充要条件是b2=ac. ( ✕ )
(4)数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn= a(11
a a
n
)
.
(
✕
)
答案 (1)✕ (2)✕ (3)✕ (4)✕
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2.等比数列{an}中,a3=12,a4=18,则a6等于 ( C )
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1.等比数列的定义
如果一个数列从① 第二项 起,每一项与前一项的比等于② 同一个
常数 ,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的③
公比
,通常用字母④
q
表示,定义的表达式为
an1 an
=q(n∈N*).
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2.等比数列的通项公式
等比数列{an}的通项公式为an=⑤
(3)由(2)可得 an =2n-1,所以an=n·2n-1.
n
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方法技巧 等比数列的4种常用判定方法
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▶提醒 (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法,常用于证明;后两 种方法常用于选择题、填空题中的判定. (2)若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定存在连续三项不成等 比数列即可.
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解析 本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式. (1)设{an}的公比为q, 由题设得an=qn-1. 由已知得q4=4q2, 解得q=0(舍去)或q=-2或q=2. 故an=(-2)n-1或an=2n-1.
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(2)若an=(-2)n-1,则Sn= 1 (32)n .
为
.
答案 27,81
解析 设该数列的公比为q,由题意知, 243=9×q3,得q3=27,所以q=3. 所以插入的两个数分别为9×3=27,27×3=81.
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等比数列基本量的计算
典例1 (2018课标全国Ⅲ,17,12分)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3. (1)求{an}的通项公式; (2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m.
所以 bn1 = an2 2an1 = 4an1 4an 2an1 = 2an1 4an =2.
bn an1 2an
an1 2an
an1 2an
因为S2=a1+a2=4a1+2,
所以a2=5,
所以b1=a2-2a1=3.
所以数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.
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2-1 (2018湖南五市十校高三联考)已知数列{an}的前n项和Sn=Aqn+B(q
≠0),则“A=-B”是“数列{an}是等比数列”的 ( B )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B 若A=B=0,则Sn=0,故数列{an}不是等比数列;若数列{an}是等
由Sm=63得(-2)m=-188, 此方程没有正整数解. 若an=2n-1,则Sn=2n-1. 由Sm=63得2m=64, 解得m=6. 综上,m=6.
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方法技巧 解决等比数列有关问题的常用思想方法
(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”, 通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解. (2)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论, 当q=1时,数列{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,数列{an}的前n项和Sn=
7,① a1q a1q2

21.②
② 得 1 q q2 =3.
①
q2
整理得2q2-q-1=0,
解得q=1或q=- 1 .
2
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1-2 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1= -1,b1=1,a2+b2=2. (1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式; (2)若T3=21,求S3.
a1
1 q
.
(5)有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项的积相等,特别地,若项数
为奇数时,还等于中间项的平方.
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1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”)
(1)与等差数列类似,等比数列的各项可以是任意一个实数. ( ✕ )
(2)公比q是任意一个常数,它可以是任意实数. ( ✕ )
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(2)一个等比数列各项的k次幂,仍组成一个等比数列,新公比是原公比的
k次幂.
(3){an}为等比数列,若a1·a2·…·an=Tn,则Tn,
, T2,n…T成3n 等比数列.
Tn T2n
(4)当q≠0,q≠1时,Sn=k-k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件,此时k=
将n=1代入得,a2=4a1, 而a1=1,所以a2=4. 将n=2代入得,a3=3a2, 所以a3=12. 从而b1=1,b2=2,b3=4.
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(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列.
由条件可得
an1 n 1
=
2an n
,即bn+1=2bn,
又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.
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答案 (1)D (2)B
解析 (1)∵a6+a8=4,∴a8(a4+2a6+a8)=a8a4+2a8a6+ a82 =(a6+a8)2=16.故选D. (2)设该等比数列为{an},其前n项积为Tn,则由已知得a1·a2·a3=3,an-2·an-1·an =9,(a1·an)3=3×9=33,∴a1·an=3,又Tn=a1·a2·…·an-1·an=an·an-1·…·a2·a1,∴T n2 = (a1·an)n,即7292=3n,∴n=12.
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解析 设{an}的公差为d,{bn}的公比为q, 则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1. 由a2+b2=2得d+q=3.① (1)由a3+b3=5得2d+q2=6.②
联立①和②解得 dq
03,(舍去)或 dq
1, 2.
因此{bn}的通项公式为bn=2n-1.
(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0.解得q=-5或q=4. 当q=-5时,由①得d=8,则S3=21.当q=4时,由①得d=-1,则S3=-6.
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等比数列的判定与证明
典例2 (2018课标全国Ⅰ,17,12分)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.
设bn=a nn .
(1)求b1,b2,b3; (2)判断数列{bn}是不是为等比数列,并说明理由; (3)求{an}的通项公式.
解析 (1)由条件可得an+1= 2(nn1) an.
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第三节 等比数列及其前n项和
1.等比数列的定义
教 2.等比数列的通项公式 材 研 3.等比中项 读 4.等比数列的常用性质
5.等比数列的前n项和公式
6.等比数列的前n项和性质
总纲目录 栏目索引
总纲目录 栏目索引
考 考点一 等比数列基本量的计算
点 突
考点二 等比数列的判定与证明
破 考点三 等比数列的性质
A.27 答案
B.36 C. 81 D.54
2
C
解法一:由a3=12,a4=18,得aa11qq32

12, 18,
解得a1= 136 ,q= 32 ,所以a6=a1q5
=1 6 × 3

3 2
5= 821 .故选C.
解法二:由等比数列性质知, a32=a2a4,
所以a2= a32 = 122 =8,