2020-2021学年高中数学北师大版必修二同步课件第一章-6-垂直关系

D．③
解析 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．①③都有可 能垂直的是平行直线，不能推出l⊥α.
6.1 垂直关系的判定 刷基础
题型1 线面垂直的判定定理的应用
4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，B1H⊥D1O，H为垂足，则B1H与平面AD1C 的位置关系是(A )
6.1 垂直关系的判定 刷基础
题型3 直线与平面所成的角
18．[山西运城中学、芮城中学2019高二期中联考]三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝2， VC＝1，则二面角V－AB－C等于( )
C
A．30° B．Байду номын сангаас5° C．60° D．90°
解析
6.1 垂直关系的判定 刷基础
题型3 直线与平面所成的角
题型1 线面垂直的判定定理的应用
5．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面( B ) A．有且只有一个 B．至多一个 C．有一个或无数个 D．不存在
解析 若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有且只有一个，否则不存在．
6.1 垂直关系的判定 刷基础
题型1 线面垂直的判定定理的应用
6.1 垂直关系的判定 刷基础
题型2 面面垂直的判定定理及其应用
11．[江苏南通2018第一次调研测试]如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥PC，CA＝CB，M是AB的中点，点 N在棱PC上，点D是BN的中点．求证： (1)MD∥平面PAC； (2)平面ABN⊥平面PMC.
证明 (1)在△ABN中，M是AB的中点，D是BN的中点， 所以MD∥AN. 又因为AN 平面PAC，MD 平面PAC， 所以MD∥平面PAC. (2)在△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点， 所以AB⊥MC. 又因为AB⊥PC，PC 平面PMC，MC 平面PMC，PC∩MC＝C， 所以AB⊥平面PMC. 又因为AB 平面ABN， 所以平面ABN⊥平面PMC.
6.1 垂直关系的判定 刷基础
题型1 线面垂直的判定定理的应用
1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出
m⊥β的是( B)
A．α⊥β，且m α
B．m∥n，且n⊥β
C．α⊥β，且m∥α
D．m⊥n，且n∥β
解析 α⊥β，且m α m β，或m∥β，或m与β相交，故A不符合； m∥n，且n⊥β m⊥β，故B符合； α⊥β，且m∥α m β，或m∥β，或m与β相交，故C不符合； 由m⊥n，且n∥β，知m⊥β不一定成立，故D不符合．
④若两条直线垂直，则过其中一条直线有唯一一个平面与另一条直线垂直．
A．①②
B．②③
C．②④
D．③④
解析 若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线时，这条直线可能在这个平面内、也可能与这个 平面斜交、也可能与这个平面垂直，所以①错误；若一条直线平行于一个平面，垂直于这条 直线的直线与这个平面可能相交、也可能平行、也可能在平面内，所以②错误；若一条直线 平行于一个平面，则平面内必有一条直线与之平行，另一条直线垂直于这个平面，则该直线 与平面内的那条直线垂直，从而这两条直线互相垂直，所以③正确；若两条直线垂直，在其 中一条直线上取一点，过该点作另一条直线的垂线，则这两条相交直线确定的平面与另一条 直线垂直，且平面唯一，所以④正确．
A．平行
B．垂直
C．相交但不垂直
D．不确定
6.1 垂直关系的判定 刷基础
题型2 面面垂直的判定定理及其应用
8．[湖南衡阳第一中学2019高一期末]如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AD＝AB＝
1 2
BC＝1，
将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD.在四面体ABCD中，下列说法正确的是( B )
A．平面ABD⊥平面ABC C．平面ABC⊥平面BCD
6.1 垂直关系的判定 刷基础
题型1 线面垂直的判定定理的应用
3．给出下列条件(其中l为直线，α为平面)：
①l垂直于α内一五边形的两条边；
②l垂直于α内三条不都平行的直线；
③l垂直于α内无数条直线；
④l垂直于α内正六边形的三条边．
其中能够推出l⊥α的所有条件的序号是( C )
A．②
B．①③
C．②④
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析
6.1 垂直关系的判定 刷基础
题型4 二面角
16．给出下列命题：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；
②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；
证明 (1)取AB的中点G，连接GF，GC. 因为EC∥AG，EC＝AG，所以四边形AECG为平行四边形， 所以AE∥GC. 在△ABP中，F，G分别为PB，AB的中点，所以GF∥AP， 因为GF∩GC＝G，AE∩AP＝A，所以平面APE∥平面FGC. 又因为CF 平面FGC，所以CF∥平面APE.
6．[河北唐山2019高二期末]如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是( B)
A．①② B．②④ C．①③ D．②③ 解析 对于①，易证AB与CE所成的角为45°，所以直线AB与平面CDE不垂直；
对于②，易证AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，所以AB⊥平面CDE； 对于③，易证AB与CE所成的角为60°，所以直线AB与平面CDE不垂直； 对于④，易证ED⊥平面ABC，得ED⊥AB，易证EC⊥AB，可得AB⊥平面CDE.故选B.
(2)取AE的中点O，连接PO，又因为PA＝PE，所以PO⊥AE. 取BC的中点H，连接OH，PH，所以OH∥AB，所以OH⊥BC. 因为PB＝PC，所以BC⊥PH. 又因为PH∩OH＝H，所以BC⊥平面POH，所以BC⊥PO. 因为BC与AE相交，所以PO⊥平面ABCE. 又因为PO 平面APE，所以平面APE⊥平面ABCE.
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
其中正确的是( B )
A．①③
B．②④
C．③④
D．①②
解析 对于①，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对于②，由于a，b分别垂直于两个面， 所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补， 是正确的；对于③，因为所作射线不一定垂直于棱，所以是错误的；④是正确的，故选B.
6.1 垂直关系的判定 刷基础
题型1 线面垂直的判定定理的应用
7．[辽宁锦州2019高一检测]如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F. (1)求证：PC⊥平面AEF； (2)设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD.
解 (1)因为PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以PA⊥BC. 又因为AB⊥BC，PA∩AB＝A， 所以BC⊥平面PAB.又因为AE 平面PAB，所以AE⊥BC. 又AE⊥PB，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC. 又因为PC 平面PBC，所以AE⊥PC. 又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A， 所以PC⊥平面AEF. (2)由(1)知PC⊥平面AEF，因为AG 平面AEF， 所以PC⊥AG. 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD. 又因为CD⊥AD，AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD. 又因为AG 平面PAD，所以CD⊥AG. 又因为PC∩CD＝C，所以AG⊥平面PCD. 又因为PD 平面PCD，所以AG⊥PD.
6.1 垂直关系的判定 刷基础
题型3 直线与平面所成的角
17．从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足．若∠EPF＝ 60°，则二面角的平面角的大小是( )
C
A．60° C．60°或120°
B．120° D．不确定
解析 若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.
B．平面ACD⊥平面ABC D．平面ACD⊥平面BCD
解析
1
在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝2BC＝1，∠A＝90°，∴BD＝ 2，BC＝2，∠DBC＝45°. 由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BCcos∠DBC＝2，∴BD2＋CD2＝BC2，∴BD⊥CD.又平面 ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.又由AD⊥AB，CD∩AD ＝D，∴AB⊥平面ADC.又∵AB 平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.故选B.
题型3 直线与平面所成的角
13．[山西运城中学、芮城中学2019高二期中联考]如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC， CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O，在构成的四面体OAEF 中，下列结论错误的是( C )
A．AO⊥平面EOF
B．直线AH与平面EOF所成角的正切值为2 2
6.1 垂直关系的判定 刷基础
题型3 直线与平面所成的角
12．直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角等于( B )
A．40° B．50° C．90° D．150°
解析 根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与α所成的角也是50°.
6.1 垂直关系的判定 刷基础
解析 斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示，∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角．
因为AB＝2BO，所以cos∠ABO＝
所以∠ABO＝60°.
6.1 垂直关系的判定 刷基础
题型3 直线与平面所成的角
15．[福建南平2019高二期末]正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB1与平面ABC1D1所成的角为( A )
6.1 垂直关系的判定 刷基础
题型1 线面垂直的判定定理的应用
2．下列四个命题中，正确的是( D)
①若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；
②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；
③若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直；
6.1 垂直关系的判定 刷基础
题型2 面面垂直的判定定理及其应用
9．如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD， PC的中点．求证：平面EFG⊥平面EMN.
证明 ∵E，F分别为PB，AB的中点， ∴EF∥PA. ∵AB⊥PA，∴AB⊥EF. 同理，AB⊥FG. ∵EF∩FG＝F，EF 平面EFG，FG 平面EFG， ∴AB⊥平面EFG. ∵M，N分别为PD，PC的中点，∴MN∥CD. ∵AB∥CD，∴MN∥AB，∴MN⊥平面EFG. ∵MN 平面EMN，∴平面EFG⊥平面EMN.
C．四面体OAEF的内切球表面积为π D．异面直线OH与AE所成角的余弦值为 10
10
6.1 垂直关系的判定 刷基础
题型3 直线与平面所成的角
解析
6.1 垂直关系的判定 刷基础
题型3 直线与平面所成的角
14．若斜线段AB是它在平面α上的射影长的2倍，则AB与平面α所成的角是( A ) A．60° B．45° C．30° D．120°
6.1 垂直关系的判定 刷基础
题型2 面面垂直的判定定理及其应用
10.[辽宁葫芦岛一中2019高一月考]如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E是DC的中点，以AE为折痕 将△ADE向上折起，使点D到点P的位置，且PC＝PB. (1)若F是BP的中点，求证：CF∥平面APE； (2)求证：平面APE⊥平面ABCE.
A．垂直 C．斜交
B．平行 D．以上都不对
解析 连接B1D1，BD，∵几何体是正方体，底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又B1B⊥AC，∴AC⊥平面 BDD1B1.∵B1H 平面BDD1B1，∴AC⊥B1H.∵B1H⊥D1O，AC∩D1O＝O，∴B1H⊥平面AD1C.故选A.
6.1 垂直关系的判定 刷基础
19．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1－AB－C的大小为 ____4_5__°_．
解析 ∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC为二面角C1－AB－C的平面角，大小为45°.
6.1 垂直关系的判定 刷提升
1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( B )