2023年上海市崇明区高考数学二模试卷+答案解析(附后)

2023年上海市崇明区高考数学二模试卷
1. 若不等式，则x的取值范围是______ .
2. 设复数z满足是虚数单位，则______ .
3. 已知集合，，若，则实数a的值为______.
4. 已知函数，的最小正周期为1，则______ .
5. 已知正实数a、b满足，则的最小值等于______ .
6. 在的展开式中常数项是____________用数字作答
7. 以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩单位：分，分数从低到高依次：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，则这15人成绩的第80百分位数是______ .
8. 某单位为了了解用电量y度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温.
气温141286
用电量度22263438
由表中数据所得回归直线方程为，据此预测当气温为时，用电量的度数约
为______
9.
已知抛物线上的两个不同的点A，B的横坐标恰好是方程的根，则直线AB的方程为______.
10. 在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为30秒，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道
路上能有多少汽车通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素，不同型号车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定.面对这些不同和不确定，需要作出假设.例如小明发现虽然通过路口的车
辆各种各样，但多数是小轿车，因此小明给出如下假设：通过路口的车辆长度都相等，请写出一个你认为合理的假设______ .
11. 设平面向量满足：，，，，则
的取值范围是______ .
12. 若函数的图像上点A与点B、点C与点D分别关于原点对称，除此
之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数a的取值范围是______ .
13. 下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为( )
A. B. C. D.
14. 设两个正态分布和的密度函数图像如图所示.则有( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
15. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面
的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四
棱锥称之为“阳马”；四个面
均为直角三角形的四面体称为“鳌臑”．如
图，在堑堵中，，且下
列说法错误的是( )
A. 四棱锥为“阳马”
B. 四面体为“鳖臑”
C. 四棱锥体积的最大值为
D. 过A点作于点E，过E点作于点F，则面AEF
16. 已知数列是各项为正数的等比数列，公比为q，在，之间插入1个数，使
这3个数成等差数列，记公差为，在，之间插入2个数，使这4个数成等差数列，
公差为，⋯，在，之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差为，则
( )
A. 当时，数列单调递减
B. 当时，数列单调递增
C. 当时，数列单调递减
D. 当时，数列单调递增
17. 如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为，，
求直线与平面ABP所成角的大小；
求点A到平面的距离.
18. 在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，
，
求角B大小；
设，当时，求的最小值及相应的
19. 某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：
从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；
从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为X，求X的分布列及数学期望；
如图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信
记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为
第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图不用说明理由20. 已知椭圆：，点A，B分别是椭圆与y轴的交点点
A在点B的上方，过点且斜率为k的直线l交椭圆于E，G两点.
若椭圆焦点在x轴上，且其离心率是，求实数m的值；
若，求的面积；
设直线AE与直线交于点H，证明：B，G，H三点共线.
21. 已知定义域为D的函数，其导函数为，满足对任意的都有
若，，求实数a的取值范围；
证明：方程至多只有一个实根；
若，是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数，，都有
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，则，
解得，
的取值范围是
故答案为：
根据绝对值的几何意义解不等式．
本题考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
故答案为：
把给出的等式变形后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
3.【答案】0
【解析】解：集合，，，
或，
当时，，，不成立；
当时，，，，成立．
故实数a的值为
故答案为：
由集合，，，得或，由此能出实数a的值．
本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．
4.【答案】
【解析】解：，依题意，
；
故答案为：
根据三角函数周期与角频率的关系求解．
本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题．
5.【答案】4
【解析】解：，当，即，时等号成立，
故的最小值为
故答案为：
直接利用基本不等式计算得到答案．
本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．
6.【答案】45
【解析】解：要求常数项，
即，
可得代入通项公式可得
故答案为：
利用二项式的通项公式让次数为0，求出就可求出答案．
二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
7.【答案】
【解析】解：因为，
故这15人成绩的第80百分位数为
故答案为：
计算，即可确定这15人成绩的第80百分位数为第12和第13个数据的平均数，由此可得答案．
本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
8.【答案】40
【解析】解：根据表格数据可得，，
，
则样本中心点为
根据回归直线性质，经过样本点中心，
则有，得，
故回归直线为，当，
故答案为：
利用回归直线经过样本点的中心，先算出，然后令代入回归直线进行求解．
本题主要考查线性回归方程，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：由题意，直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为，，，
因为点A，B的横坐标恰好是方程的根，
所以，，
联立，消y得，
则，，
所以，，所以，，
经检验，符合题意，
所以直线AB的方程为
故答案为：
设直线AB的方程为，，，根据题意结合韦达定理可得，
，联立方程，再次里由韦达定理求得，，从而可求出k，b，即可得解．
本题考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】等待时，前后相邻两辆车的车距都相等答案不唯一
【解析】解：根据题意和相关因素的分析，可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设，例如①等待时，前后相邻两辆车的车距都相等；
②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；
③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；
④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等．
故答案为：等待时，前后相邻两辆车的车距都相等答案不唯一
利用数学建模，根据题意这次建模就只考虑小轿车的情况，根据小轿车的长度差距不大，对相关因素进行分析，从而可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设即可．
本题主要考查简单的合情推理，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：依题意，设，，
根据，即，即，整理得
显然，否则，，与已知矛盾，
故，可得
由，即，则有，
故，解得
故
故答案为：
根据题设条件，设出的坐标，利用坐标运算进行求解．
本题考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：若有两组点关于原点对称，则在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点，
由时，；得其关于原点对称后的解析式为，
问题转化为与在上有两个交点，即方程有两根，
化简得，即与在上有两个交点．
对于，求导，令，解得，
即：当时，单调递增；
令，解得：
即：当时，单调递减，
为其极大值点，，时，；画出其大致图像：
欲使与在时有两个交点，则，即
故答案为：
由题意将问题转化为在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点，即转
化为方程在上有两根，孤立参数为在上有两根，求导确定函数的单调性与取值情况，作出大致图象，即可求得实数a的取值范围．
本题主要考查分段函数的应用，考查转化能力，属于中档题．
13.【答案】D
【解析】解：A项中，，
则是奇函数，但在定义域内不单调，不符合；
B项中，，是奇函数，但在定义域内不单调，不符合；
C项中，，则为非奇非偶函数，不符合；D项中，，是奇函数，
又在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递增，符合．
故选：
根据奇函数定义判断奇偶性，根据函数的图象判断单调性，但要注意单调区间是定义域的子集．本题考查函数的奇偶性，单调性，属于基础题．
14.【答案】A
【解析】解：根据正态分布函数的性质：
是正态分布曲线的对称轴；
反应的正态分布的离散程度，越大，越分散，曲线越“矮胖”，越小，越集中，曲线越“瘦
高”，
由图象可得，
故选：
根据正态分布的性质即可得解．
本题主要考查正态分布曲线的特点，属于基础题．
15.【答案】C
【解析】解：底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，
在堑堵中，，侧棱平面ABC，
A
选项，，又，且，则平面，
四棱锥为“阳马”，故A正确；
B 选项，由，即，又且，，
平面，，则为直角三角形，
又由平面，得为直角三角形，由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形，
四面体为“鳌臑”，故B正确；
C 选项，在底面有，即，当且仅当时取等号，
，最大值为，故C错误；D
选项，因为，，，所以平面AEF，故D正确；
故选：
根据“阳马”和“鳌臑”的定义，可判断A，B的正误；当且仅当时，四棱锥
体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意可证平面AEF，进而判断D的正误．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
16.【答案】D
【解析】解：数列是各项为正数的等比数列，公比为q，
由题意，，
，
对于，，这个数列是单调递增的数列，最小的一项即第一项为，
则是否大于1，不确定，A，B错误，
当时，，则此时必有，则数列单调递增，则D 项正确，C项错误．
故选：
将表示出来，由于数列各项为正数，若，才是递增数列，围绕条件进行讨
论是否大于
本题考查递推式，考查递增数列需满足的条件，属于中档题．
17.
【答案】解：由题意知，直线与平面ABP的夹角，即
为，
易知，，
又，
故，进而有，，
由圆柱的表面积为，
可得，
故，
故直线与平面ABP的夹角为
设点A到平面的距离为h，
则，，，
因为平面ABP，，
所以平面，即，
在中，，
故，
所以，即点A到平面的距离为
【解析】根据圆柱的特征可得直线与平面ABP的夹角，即为，然后利用圆柱的
表面积为求出，求出，进而求解；
利用等体积转化法即可求解．
本题考查线面角的定义及其求解，考查点到平面的距离以及等体积法的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：由已知条件得，
由正弦定理得，
即，
，
则，
，，
又，
；
，
，
，
则的最小值，其中，
即当时，有最小值
【解析】本题考查了三角函数中的恒等变换，正余弦定理以及三角函数的性质，属于中档题．利用向量垂直的充要条件和正弦定理即可求解；
先利用两角和的正弦公式及余弦的二倍角公式化简，再用辅助角公式化为
，最后利用三角函数的性质求出最小值及其取得最小值时的x值．
19.【答案】解：设“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”为事件A…分
从3月1日至3月7日这七天中，3月2日，3月5日，3月7日这三天职工甲和职工乙微信记
步数都不低于10000，所以；…分
的所有可能取值为0，1，2，…分，，
分
X的分布列为
X012
P
…分；…分
月3日…分
由直方图知，微信记步数落在，单位：千步区间内的人数
依次为，，，，
据折线图知，这只有3月2日、3月3日和3月7日；而由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000---10000之间，根据折线图知，这只有3月3日和3月6日．所以只有3月3日符合要求．
【解析】分别根据微信记步数信息计算出甲乙步数都不低于10000的概率，再用分布原理处理．
服从超几何分布，确定X的取值为0，1，2，代入超几何分布概率公式即可．
由直方图知，微信记步数落在各区间的频率，再根据甲和乙的名次情况分析即可．
本题考查了频率分布直方图，折线图等识图能力，考查了古典概率模型的概率计算，超几何分布等的计算，还考查了推理能力．属于中档题．
20.【答案】解：若椭圆焦点在x轴上，且其离心率是，
则，解得
若，则过点且斜率为k的直线l的方程为：，椭圆的方程为：
设，，联立，消去y整理得，
解得，则，故，
于是
依题意知，，
则点B到的距离为，
故
证明：设，，
联立，得到，
由，得到直线AE方程为：，
令，解得，即，
又，，为说明B，G，H三点共线，
只用证，即证：，下用作差法说明它们相等：
，
而，，，
，
于是上式变为：，
由韦达定理，，于是，
故，命题得证．
【解析】根据离心率的定义计算即可；
联立直线和椭圆方程，根据弦长公式算出，用点到直线的距离公式算出三角形的高后即可；
联立直线和椭圆方程，先表示出H坐标，将共线问题转化成证明，结合韦达定理进行化简计算．
本题主要考查椭圆的性质，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．
21.【答案】解：因为，，所以，
由题意知，在上恒成立，即在上恒成立，
所以，即在上恒成立，
令，易知，在
上，函数和均单调递增，
所以
，即实数a 的取值范围是
证明：令，故
，
所以函数
是严格减函数，故
至多只有一个实根；
证明：设
的最大值为M ，最小值为m ，
在一个周期内，函数值必能取到最大值与最小值，设，
，
因为函数是周期为2，取一个周期
，且
，
则有，
若，则成立，
若，设
，即
，故
，且
，则，
所以成立，
综上，对任意实数
，
都成立，所以原式得证．
【解析】
根据题意，将问题转化成恒成立问题，即
在
上恒成立，
再利用函数的单调性即可求出结果；
构造函数
，由题易知
在定义域上严格单调，从而得到证明；利用函数是定义域为R 的周期函数，知函数在一个周期上必有最大值和最小值，再利用
条件
，得到
，再对
与1的大小关系进
行分类讨论，即可得出结论．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．。