一元二次方程根的分布练习及答案

一元二次方程根的分布
一．一元二次方程根的基本分布——零分布
所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。

比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一元二次方程02
=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。

【定理1】01>x ，02>x (两个正根)⇔
2
1212400
0b ac b x x a c x x a ⎧∆=-≥⎪⎪⎪
+=->⎨⎪
⎪
=>⎪⎩
， 推论：01>x ，02>x ⇔
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧<>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=<≥-=∆0
0)0(0
42b c f a ac b 上述推论结合二次函数图象不难得到。

【例1】 若一元二次方程0)1(2)1(2
=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。

分析：依题意有24(1)4(1)02(1)0101
m m m m m m
m ⎧
⎪∆=++-≥⎪
+⎪->⎨
-⎪-⎪>⎪-⎩0<m <1。

【定理2】01<x ，02<x ⇔⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆0004212
12a c x x a b x x ac b ，
推论：01<x ，02<x ⇔
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧>>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≥-=∆0
0)0(0
42b c f a ac b 由二次函数图象易知它的正确性。

【例2】 若一元二次
方程
0332=-++k kx kx 的两根都是负数，求k 的
取值范围。

（5
12
-≤k 或k>3）
【定理3】210x x <<⇔
0<a
c
【例3】 k 在何范围内取值，一元二次方程0332
=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？ 分析：依题意有
3
k k
-<0=>0<k <3 【定理4】 ○101=x ，02
>x ⇔0=c 且0<a
b
； ○201<x ，02
=x ⇔0=c 且0>a
b。

【例4】 若一元二次方程03)12(2
=-+-+k x k kx 有一根为零，则另一根是正根还是负根？
分析：由已知k －3=0，∴k =3，代入原方程得32
x +5x =0，另一根为负。

二．一元二次方程的非零分布——k 分布
设一元二次方程02
=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤。

k 为常数。

则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以下若干定理。

【定理
1】21x x k ≤<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
>->≥-=∆k a
b k af a
c b 2
0)(0
42
【定理2】k
x x <≤21⇔⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
<->≥-=∆k a
b k af a
c b 20)(0
42。

【定理3】21x k x <<⇔0)(<k af 。

推论1 210x x <<⇔0<ac 。

推论2 211x x <<⇔0)(<++c b a a 。

【定理4】有且仅有11x k <（或2x ）2k <⇔0)()(21<k f k f
【定理5】221211p x p k x k <<≤<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧<>><<0
)(0
)(0)(0
)(021
21p f p f k f k f a
此定理可直接由定理4推出，请读者自证。

【定理6】2211k x x k <≤<⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<≥-=∆212
1220
)(0)(004k a b k k f k f a ac b
三、例题与练习
【例5】 已知方程02112
=-+-m x x 的两实根都大于1，求m 的取值范围。

（4
12912<<m ）
（2）若一元二次方程03)1(2
=++-x m mx 的两个实根都大于-1，求m 的取值范围。

（6252+>-<m m 或）
（3）若一元二次方程03)1(2
=++-x m mx 的两实根都小于2，求m 的取值范围。

（6252
1
+>-<m m 或）
【例6】 已知方程03222
2=-++m mx x 有一根大于2，另一根比2小，求m 的取值
范围。

（2
2
1221+
-<<-
-m ） （2）已知方程012)2(2
=-+-+m x m x 有一实根在0和1之间，求m 的取值范围。

（3
221<<m ） （3）已知方程012)2(2
=-+-+m x m x 的较大实根在0和1之间，求实数m 的取值范围。

变
式：改为较小实根 （不可能；
22
1
<<m ） （4）若方程0)2(2
=-++k x k x 的两实根均在区间（1-、1）内，求k 的取值范围。

（2
1324-
<<+-k ） （5）若方程012)2(2
=-+-+k x k x 的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，
求k 的取值范围。

（3
2
21<<k ）
（6）已知关于x 的方程062)1(2
2=-++--m m mx x m 的两根为βα、且满足
βα<<<10，求m 的取值范围。

（73-<<-m 或72<<m ）
【例7】 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围. 本题重点考查方程的根的分布问题，解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.
技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制.
解：(1)条件说明抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧>+=<+=>=-<+=65,
21,210
56)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ∴2165-<<-m . (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧<-<≥∆>>1
0,0,0)1(,
0)0(m f f
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧
<<--≤+≥->->⇒.01,2121,2
1,21m m m m m 或(这里0<－m <1是因为对称轴x =－m 应在区间(0，1)内通过) 练习：
1． 若方程4(3)20x
x
m m +-∙+=有两个不相同的实根，求m 的取值范围。

提示：令2x
=t 转化为关于t 的一元二次方程有两个不同的正实根。

答案：0<m <1 2． 若关于x 的方程2
lg(20)lg(863)0x x x a +---=有唯一的实根，求实数a 的取值范围。

提示：原方程等价于22200
20863x x x x x a ⎧+>⎪⎨+=--⎪⎩即2200 12630x x x x a <->⎧⎨+++=⎩或……①……②
令()f x =2
x +12x +6a +3
(1) 若抛物线y =()f x 与x 轴相切，有△=144－4(6a +3)=0即a =11
2。

将a =112代入式②有x =－6不满足式①，∴a ≠112。

(2) 若抛物线y =()f x 与x 轴相交，注意到其对称轴
为x =－6，故交点的横坐标有且仅有一个满足式
①的充要条件是
(20)0(0)0f f -≥⎧⎨
<⎩
解得1631
62a -≤<-。

∴当1631
62
a -≤<-时原方程有唯一解。

另法：原方程等价于2
x +20
x =8x －6a －3(x <－20或x >0)……③ 问题转化为：求实数a 的取值范围，使直线y =8x －
6a －3与抛物线y =2
x +20x (x <－20或x >0)有且只
有一个公共点。

虽然两个函数图像都明确，但在什么条件下它们有且只有一个公共点却不明显，可将③变形为2
x +12x +3=－6a (x <－20或x >0)，再在同一坐标系中分别也作出
O
x
y －20
－6
O
x
y
－20
－6
163 3
抛物线y =2
x +12x +3和直线y =－6a ，如图，显然当3<－6a ≤163即1631
62
a -
≤<-时直线y =－6a 与抛物线有且只有一个公共点。

3． 已知()f x =(x －a )(x －b )－2(a <b )，并且α，β是方程()f x =0的两根
(α<β)，则实数a ，b ，α、β的大小关系是( )
A 、α<a <b <β
B 、a <α<β<b
C 、a <α<b <β
D 、
α<a <β<b
4． 方程()f x =2
ax bx c ++=0(a >0)的两个根都大于1的充要条件是(
)
A 、 △≥0且f (1)>0
B 、 f (1)>0且－a
b >2
C 、 △≥0且－a b >2，c
a
>1
D 、 △≥0且f (1)>0，－a
b
>2。