高中数学之对数函数的图像和性质 教学设计

高中数学之对数函数的图像和性质教学设计
教材分析
本节课在已学对数函数的概念，接着研究对数函数的图像和性质，从而深化学生对对数函数的理解，并且了解较为全面的研究函数的方法，为以后在研究函数增长类型打下基础。

另外，我们日常生活中的很多方面都涉及到了对数函数的知识，例如溶液酸碱度的测量，所以学习这一节具有很大的现实价值。

课程目标
1、掌握对数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力；
2、通过观察图象，分析、归纳、总结对数函数的性质；
3、在对数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯.
重点：对数函数的图象和性质；
难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳对数函数的性质．
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程
一、 情景导入
请学生用三点画图法画212
log ,log y x y x ==图像，观察两个函数图像猜测对数函数有哪些性质？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.
二、 预习课本，引入新课
阅读课本132-133页，思考并完成以下问题
1. 对数函数的图象是什么，通过图象可观察到对数函数具有哪些性质？
2. 反函数的概念是什么？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究
1．
a
的范围0＜a＜1a＞1
图象
a的范围0＜a＜1a＞1
性质
定义域(0，＋∞)
值域R
定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
单调性在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数
“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．
2．反函数
指数函数y＝a x和对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)互为反函数．
四、典例分析、举一反三
题型一对数函数的图象
例1函数y=log2x,y=log5x,y=lg x的图象如图所示.
(1)说明哪个函数对应于哪个图象,并说明理由;
(2)在如图的平面直角坐标系中分别画出y=lo g1
2
x,y=lo g1
5
x,y=lo g1
10
x的图象;
(3)从(2)的图中你发现了什么?
【答案】见解析
【解析】(1)①对应函数y=lg x,②对应函数y=log5x,③对应函数y=log2x.这是因为当底数全大于1时,在x=1的右侧,底数越大的函数图象越靠近x轴.
(2)在题图中的平面直角坐标系中分别画出y=lo g1
2
x,y=lo g1
5
x,y=lo g1
10
x的图象如图所示.
(3)从(2)的图中可以发现:y=lg x与y=lo g1
10
x,y=log5x与y=lo g1
5
x,y=log2x与y=lo g1
2
x的图象分别关于x 轴对称.
解题技巧：（对数函数图象的变化规律）
1.对于几个底数都大于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越接近x轴;对于几个底数都大于0且小于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越远离x轴.以上规律可总结成x>1时“底大图低”.实际上,作出直线y=1,它与各图象交点的横坐标即为各函数的底数的大小,如图所示.
2. 牢记特殊点:对数函数y=log a x (a>0,且a ≠1)的图象经过(1,0),(a ,1),(1
a ,-1).
跟踪训练一
1、作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间.
【答案】其定义域为(1,+∞),值域为[0,+∞),单调递减区间为(1,2],单调递增区间为(2,+∞).
【解析】先画出函数y=lg x 的图象(如图①).
再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图②).
图① 图② 图③ 最后把y=lg(x-1)的图象在x 轴下方的部分对称翻折到x 轴上方(原来在x 轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图③).
由图易知其定义域为(1,+∞),值域为[0,+∞),单调递减区间为(1,2],单调递增区间为(2,+∞). 题型二 比较对数值的大小
例2 比较下列各组数中两个值的大小：
(1)log 23.4，log 28.5；
(2)log 0.31.8，log 0.32.7；
(3)log a 5.1，log a 5.9(a ＞0，且a ≠1)．
【答案】(1) log 23.4＜log 28.5 (2) log 0.31.8＞log 0.32.7 （3）当a ＞1时，log a 5.1＜log a 5.9；当0＜a ＜1时，log a 5.1＞log a 5.9.
【解析】(1)考察对数函数y ＝log 2x ，因为它的底数2＞1，所以它在(0，＋∞)上是增函数，于是log 23.4＜log 28.5.
(2)考察对数函数y ＝log 0.3x ，因为它的底数0＜0.3＜1，所以它在(0，＋∞)上是减函数，于是log 0.31.8＞log 0.32.7.
(3)当a ＞1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，于是log a 5.1＜log a 5.9；
当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，于是log a 5.1＞log a 5.9.
解题技巧：（比较对数值大小时常用的4种方法）
(1)同底的利用对数函数的单调性．
(2) 同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3) 底数和真数都不同，找中间量．
(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
跟踪训练二
1．比较下列各题中两个值的大小：
(1)lg 6，lg 8； (2)log 0.56，log 0.54；
(3)log 132与log 15
2; (4)log 23与log 54.
【答案】（1）lg 6＜lg 8（2）log 0.56＜log 0.54（3）log 132<log 15
2（4）log 23＞log 54.
【解析】(1)因为函数y ＝lg x 在(0，＋∞)上是增函数，且6＜8，所以lg 6＜lg 8.
(2)因为函数y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上是减函数，且6＞4，所以log 0.56＜log 0.54.
(3)由于log 132＝1log 213，log 152＝1log 215
. 又∵对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且13＞15
，
∴0＞log 2 13＞log 2 15，∴1log 213＜1log 215
. ∴log 132<log 15
2.
(4)取中间值1，
∵log 23＞log 22＝1＝log 55＞log 54，∴log 23＞log 54.
题型三 比较对数值的大小
例3 (1)已知log a 12
＞1，求a 的取值范围； (2)已知log 0.7(2x )＜log 0.7(x －1)，求x 的取值范围．
【答案】(1)⎝⎛⎭⎫12，1； (2) (1，＋∞).
【解析】(1)由log a 12＞1得log a 12
＞log a a . ①当a ＞1时，有a ＜12，此时无解．②当0＜a ＜1时，有12＜a ，从而12
＜a ＜1. ∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1.
(2)∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数，∴由log 0.72x ＜log 0.7(x －1)
得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＞0，x －1＞0，2x ＞x －1，
解得x ＞1.∴x 的取值范围是(1，＋∞)．
解题技巧：（常见对数不等式的2种解法）
(1)形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．
(2)形如log a x ＞b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解. 跟踪训练三
1．已知log a (3a －1)恒为正，求a 的取值范围．
【答案】⎝⎛⎭⎫13，23∪(1，＋∞)
【解析】由题意知log a (3a －1)＞0＝log a 1.
当a ＞1时，y ＝log a x 是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧
3a －1＞1，3a －1＞0，解得a ＞23，∴a ＞1； 当0＜a ＜1时，y ＝log a x 是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧
3a －1＜1，3a －1＞0，
解得13＜a ＜23.∴13＜a ＜23. 综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，23∪(1，＋∞).
题型四 有关对数型函数的值域与最值问题
例4 求下列函数的值域．
(1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝log 12 (3＋2x －x 2)．
【答案】(1) [2，＋∞)； (2)[－2，＋∞)．
【解析】(1)y ＝log 2(x 2＋4)的定义域是R.因为x 2＋4≥4，所以log 2(x 2＋4)≥log 24＝2，
所以y ＝log 2(x 2＋4)的值域为[2，＋∞)．
(2)设u ＝3＋2x －x 2＝－(x －1)2＋4≤4.因为u ＞0，所以0＜u ≤4.
又y ＝log 12
u 在(0，＋∞)上为减函数，所以log 12u ≥log 12
4＝－2，
所以y ＝log 12
(3＋2x －x 2)的值域为[－2，＋∞)． 解题技巧：（对数型函数的值域与最值）
(1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解．
(2)求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，结合函数的单调性求解，当函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值．
跟踪训练四
1．已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及此时x 的值．
【答案】当x ＝3时，y 取得最大值，为13.
【解析】y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(2＋log 3x )2＋log 3x 2＋2＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.
∵f (x )的定义域为[1,9]，
∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)中，x 必须满足⎩
⎪⎨⎪⎧
1≤x ≤9，1≤x 2≤9， ∴1≤x ≤3，∴0≤log 3x ≤1，∴6≤y ≤13.∴当x ＝3时，y 取得最大值，为13.
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
七、作业
课本140页习题4.4
教学反思:
本节通过运用对数函数的图像及应用解决相关问题，侧重用实操，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养.。