一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)

a0
）
得
0
出 的
b0
结
2a
论
f0 0
综
合
结
0
论 （
b0
不
2a
讨
论
af 0 0
a
）
0 b0 2a f0 0
0 b0 2a af0 0
f0 0 a f0 0
1
分 布 情 况
大 致 图 象 （
a0
）
表二：（两根与 k 的大小比较）
两根都小于 k 即 x1 k, x2 k
两根都大于 k 即 x1 k, x2 k
例 3、已知二次函数 y m 2 x2 2m 4 x 3m 3 与 x 轴有两个交点，一个大于 1，一个小于 1，求实数 m
的取值范围。
解：由 m 2 f 1 0 即 m 2 2m 1 0
1 2 m 即为所求的范围。
2
例 4、已知二次方程 mx2 2m 3 x 4 0 只有一个正根且这个根小于 1，求实数 m 的取值范围。
解：对称轴 x0 2
（ 1）当 2 t 即 t 2 时， ymin f t t2 4t 3 ；（ 2）当 t 2 t 1 即 1 t 2 时， ymin f 2
1；
（ 3）当 2 t 1 即 t 1 时， ymin f t 1 t 2 2t
例 4、讨论函数 f x x2 x a 1的最小值。
解： f x
3
fm 0
（ 1） a 0时，
；
fn 0
fm 0 （ 2） a 0 时，
fn 0
对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：
（ 1）两根有且仅有一根在 m, n 内有以下特殊情况：
若 f m 0 或 f n 0 ，则此时 f m f n 0 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为
m 或 n ，可以
x 轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下
时，自变量的取值离开 x 轴越远，则对应的函数值越小。
二次函数在闭区间上的最值练习
二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题 各代表一种情况。
例 1、函数 f x ax2 2ax 2 b a 0 在 2,3 上有最大值 5 和最小值 2，求 a, b 的值。
求出另外一根，然后可以根据另一根在区间
m,n 内，从而可以求出参数的值。如方程 mx2 m 2 x 2 0 在区间
1,3 上有一根， 因为 f 1
即为所求；
0 ，所以 mx2
m 2x 2
x 1 mx 2 ，另一根为 2 ，由 1
2
2 3得
m
2
m
m
3
方程有且只有一根，且这个根在区间
m, n 内，即
0 ，此时由
表一：（两根与 0 的大小比较即根的正负情况）
分
两个负根即两根都小于 0
两个正根即两根都大于 0
一正根一负根即一个根小于 0，
布
情 况
x1 0, x2 0
x1 0, x2 0
一个大于 0 x1 0 x2
大 致 图 象 （
a0
）
得
0
出
b
的
0
结
2a
论
f0 0
0 b
0 2a f0 0
f0 0
大 致 图 象 （
解：由题意有方程在区间 0,1 上只有一个正根， 则 f 0 f 1
（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在
0
4 3m 1 0
1
m
即为所求范围。
3
0,1 内，由
0 计算检验，均不复合题意，计
算量稍大）
例 1、当关于 x 的方程的根满足下列条件时，求实数 a 的取值范围：
（ 1）方程 x2 ax a2 7 0 的两个根一个大于 2，另一个小于 2； （ 2）方程 7 x2 (a 13)x a2 a 2 0 的一个根在区间 (0,1) 上，另一根在区间 (1,2) 上； （ 3）方程 x2 ax 2 0 的两根都小于 0；
变题：方程 x2 ax 2 0 的两根都小于 1． （ 4）方程 x2 ( a 4) x 2a2 5a 3 0 的两根都在区间 [ 1,3] 上； （ 5）方程 x2 ax 4 0 在区间（ 1， 1）上有且只有一解； 例 2、已知方程 x2 mx 4 0 在区间 [ 1， 1]上有解，求实数 m 的取值范围． 例 3、已知函数 f (x) mx2 (m 3) x 1的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数
10
6a ， f
x min
fa
1 a2 ；
（ 3）当 2 a 3 时， f x max f 1 2 2a ， f x min f a 1 a2 ；
（ 4）当 a 3时， f x max
f1
2
2a ， f
x min
f3
10 6a 。
例 3、求函数 y x2 4x 3 在区间 t ,t 1 上的最小值。
1 2
a
1
时， f 2
x min
fa
a2 1；
7
（ 3）当 a
1 时， f 2
x min
f1 2
3a 4
8
大 致 图 象 （
a0
）
0
得
fm 0
出
的
fn 0
结
论
b
m
n
2a
fm fn 0
fm 0 f n 0 fmfn 0
或
f p 0 f pfq 0 fq 0
综
合
结
论
（ 不
——————
讨
论
a
）
fm fn 0
fmfn 0 f pf q 0
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间 足的条件是
m, n 外，即在区间两侧 x1 m, x2 n ，（图形分别如下）需满
_．
4．对于关于 x 的方程 x2+(2m 1)x+4 2m=0 求满足下列条件的 m 的取值范围：
（ 1）有两个负根
（ 2） 两个根都小于 1
（ 3）一个根大于 2，一个根小于 2
（ 4） 两个根都在（ 0 ， 2）内
（ 5）一个根在 ( 2， 0)内，另一个根在 (1，3) 内
（ 6）一个根小于 2，一个根大于 4
一个根小于 k ，一个大于 k 即 x1 k x2
k
k
k
得
0
出
b
的
k
结
2a
论
fk 0
0 bk 2a fk 0
fk 0
大 致 图 象 （
a0
）
得
0
出
b
的
k
结
2a
论
fk 0
综
合 结
0
论 （
bk
不
2a
讨
论
af k 0
a
）
0 b
k 2a fk 0
0 bk 2a afk 0
fk 0 a fk 0
2
表三：（根在区间上的分布）
mn
b
2a
m
b n 即 b m,n
2a
2a
b mn 2a
图 象
最
大
f x max f m
、
最
小 值
f x min f n
f x max max f n , f m
b
f x min
f
2a
对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：
f x max f n f x min f m
分
布 情
两根都在 m, n 内
两根有且仅有一根在 m, n 内
一根在 m, n 内，另一根在 p, q
况
（图象有两种情况，只画了一种） 内， m n p q
大 致 图 象 （
a0
）
0
得
fm 0
出
的
fn 0
结
论
b
m
n
2a
fm fn 0
fm 0
f n 0 fmfn 0
或
f p 0 f pfq 0
fq 0
（ 1）若 b 2a
m, n ，则 f x max max f m , f
b
,f n 2a
， f x min
min f m , f
b ,f n ；
2a
b
（ 2）若
2a
m, n ，则 f x max
max f m , f n ， f x min
min f m , f n
另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开
2m 1 m 1
0，从而得
1 m 1 即为所求的范围。
2
例 2、已知方程 2x2 m 1 x m 0 有两个不等正实根，求实数 m 的取值范围。
解：由
0 m1
0 22 f0 0
2
m 1 8m 0 m1 m0
m 3 2 2或 m 3 2 2 m0
4
0 m 3 2 2 或 m 3 2 2 即为所求的范围。
x2 x a 1
x2 x a 1, x a
，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为直线
x2 x a 1, x a
1
1
11
1
1
x
， x ，当 a
，
a ， a 时原函数的图象分别如下（ 1），（ 2），（ 3）
2
2
22Βιβλιοθήκη 22因此，（ 1）当 a
1
时， f 2
x min
f
1 2
3 4
a ； （ 2）当
1或 m
3
，当
m
2
1时，根 x
3
时，根
x
3
2
3,0 ，故 m
3
不满足题意；综上分析，得出
2
3m
2 3,0 ，即 m 15 或 m 1 14
3m
15
；
14
1 满足题意；
根的分布练习题
例 1、已知二次方程 2m 1 x2 2mx m 1 0 有一正根和一负根，求实数 m 的取值范围。
解：由 2m 1 f 0 0 即
m 的取值范围．
检测反馈：
1．若二次函数 f ( x) x2 ( a 1)x 5 在区间 ( 1 ,1) 上是增函数，则 2
2．若 、 是关于 x 的方程 x 2 2kx k 6 0 的两个实根 , 则 (
f (2) 的取值范围是 ___________．
1) 2 ( 1) 2 的最小值为
．
3．若关于 x 的方程 x2 (m 2) x 2m 1 0 只有一根在 (0,1) 内，则 m _
解：对称轴 x0 1 2,3 ，故函数 f x 在区间 2,3 上单调。
（ 1）当 a 0 时，函数 f x 在区间 2,3 上是增函数，故
f x max f x min
f3 f2
（ 2）当 a 0 时，函数 f x 在区间 2,3 上是减函数，故 f x max f 2 f x min f 3
例 2、求函数 f x x2 2ax 1, x 1,3 的最小值。
3a b 2 5 2b 2
b25 3a b 2 2
a1
；
b0
a1 b3
解：对称轴 x0 a （ 1）当 a 1 时，ymin f 1 2 2a（ 2）当 1 a 3 时，ymin f a 1 a2 ；（ 3）当 a 3 时，ymin f 3 10 6a
6
改： 1．本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程 ax2 bx c 0 根的分布情况
设方程 ax2 bx c 0 a 0 的不等两根为 x1, x2 且 x1 x2 ，相应的二次函数为 f x ax2 bx c 0 ，方程的 根即为二次函数图象与 x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）
（ 7） 在（ 0， 2）内 有根
（ 8） 一个正根，一个负根且正根绝对值较大
5．已知函数 f (x) mx2 x 1的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数
m 的取值范围。
5
2、二次函数在闭区间 m, n 上的最大、最小值问题探讨
设f x
ax2 bx c 0 a 0 ， 则二次函数在闭区间 m, n 上的最大、最小值有如下的分布情况：
解：（ 1）当 a 2 时， f x max
f 3 10 6a ；
（ 2）当 a
2 时， f
x max
f1
2 2a 。
2．本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？
解：（ 1）当 a
1 时， f
x max
f3
10
6a ， f
x min
f1
2 2a ；
（ 2）当 1 a 2 时， f x max
f3
0 可以求出参数的值，然后再将参数的值带
入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程
x2 4mx 2m 6 0 有
且一根在区间 3,0 内，求 m 的取值范围。 分析：①由 f 3 f 0 0 即 14m 15 m 3 0 得出
②由
当m
0 即 16m2 4 2m 6 0 得出 m