2021-2022学年湖南省衡阳市高一下期末考试数学模拟试卷及答案解析

2021-2022学年湖南省衡阳市高一下期末考试数学模拟试卷
一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．若复数z =2i
1−i
，则z ﹣3z 的虚部为（ ） A ．﹣4
B ．﹣4i
C ．4
D ．4i
解：复数z =2i
1−i =2i(1+i)
(1−i)(1+i)=i ﹣1， 则z ﹣3z =−1+i ﹣3（﹣1﹣i ）＝2+4i ． 所以z ﹣3z 的虚部为4． 故选：C ．
2．已知非零向量a →
，b →
满足|a →
|=2|b →
|，且(a →
−b →
)⊥b →
，则a →
与b →
的夹角为（ ） A ．π
3
B ．π
6
C ．
5π6
D ．
2π3
解：非零向量a →
，b →满足|a →
|=2|b →
|， 且(a →
−b →
)⊥b →
，则（a →
−b →
）•b →
=0， 即a →•b →
=b →
2=|b →
|2；
所以cos θ=
a →⋅b
→
|a →
|×|b →
|
=
|b →|
2
2|b →
|×|b →
|
=1
2，
又θ∈[0，π]，
所以a →
与b →
的夹角为θ=π
3． 故选：A ．
3．已知一个球的体积是4√3π，则它的内接正方体的表面积为（ ） A ．4√3π
B ．12
C ．48
D ．24
解：因为球的体积是：4π3
R 3
=4√3π， 故球半径R =√3，
根据正方体的外接球的性质，正方体的中心即为外接球的球心，体对角线长为外接球的直径．
设正方体棱长为a ，外接球半径为R ，则：2R =√3a ， 解得a ＝2，所以S ＝6a 2＝24（cm 2）．
故选：D．
4．在天气预报中，有“降水概率预报”．例如，预报“明天降水概率为85%”，这是指（）A．明天该地区有85%的地区降水，其他15%地区不降水
B．明天该地区约有85%的时间降水，其他时间不降水
C．气象台的专家中，有85%的人认为会降水，另外15%的专家认为不降水
D．明天该地区降水的可能性为85%
解：在天气预报中预报“明天降水概率为85%”，
对于A，由概率的定义得明天该地区降水的可能性为85%，
并不是说其他15%地区不降水，故A错误；
对于B，明天该地的每个地区都有85%的降水的可能性，
并不是说其他时间不降水，故B错误；
对于C，由概率的定义得明天该地区降水的可能性为85%，
并不是说有85%的人认为会降水，另外15%的专家认为不降水，故C错误；
对于D，由概率的定义得明天该地区降水的可能性为85%，故D正确．
故选：D．
5．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列四个命题中正确的是（）A．如果m∥α，n∥α，那么m∥n
B．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n
C．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β
D．如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角不相等
解：对于A，如果m∥α，n∥α，那么m∥n或m与n相交或m与n异面，故A错误；
对于B，如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n，故B正确；
对于C，如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α∥β或α与β相交，故C错误；
对于D，如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等，故D错误．故选：B．
6．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4，若“牟合方盖”的体积为18，则正方体的棱长为（）A．18B．6C．3D．2
解：∵正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4，
“牟合方盖”的体积为18，
∴正方体的内切球的体积V球=π
4
×18=92π，
设正方体内切球半径为r，则4
3
πr3=
9
2
π，
解得r=3 2，
∴正方体的棱长为2r＝3．
故选：C．
7．在天气预报中，有“降水概率预报”．例如，预报“明天降水概率为85%”，这是指（）A．明天该地区有85%的地区降水，其他15%地区不降水
B．明天该地区约有85%的时间降水，其他时间不降水
C．气象台的专家中，有85%的人认为会降水，另外15%的专家认为不降水
D．明天该地区降水的可能性为85%
解：在天气预报中预报“明天降水概率为85%”，
对于A，由概率的定义得明天该地区降水的可能性为85%，
并不是说其他15%地区不降水，故A错误；
对于B，明天该地的每个地区都有85%的降水的可能性，
并不是说其他时间不降水，故B错误；
对于C，由概率的定义得明天该地区降水的可能性为85%，
并不是说有85%的人认为会降水，另外15%的专家认为不降水，故C错误；
对于D，由概率的定义得明天该地区降水的可能性为85%，故D正确．
故选：D．
8．我国古代数学名著《九章算术•商功》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，如图为一个堑堵ABC﹣DFE，AB⊥BC，AB＝6，其体积为120，若将该“堑堵”放入一个球形容器中，则该球形容器表面积的最小值为（）
A．100πB．108πC．116πD．120π解：设BC＝a，BF＝b，
则该“堑堵”的体积V＝S△ABC•BF=1
2
×6ab=120，
整理，得ab＝40，
要使“堑堵”放入球形容器，则该球的半径不小于“堑堵”的外接球半径，
设其外接球的半径为R，
∵在堑堵ABC﹣DFE中，BA，BC，BF两两垂直，
∴堑堵ABC﹣DFE外接球的一条直径是以BA，BC，BF为相邻三条棱的长方体的体对角线，
即2R=√AB2+BC2+BF2=√36+a2+b2，
∵a2+b2≥2ab＝80，（当且仅当a＝b时，取等号），
∴外接球的表面积S＝4πR2≥116π，
∴球形容器的表面积最小值为116π．
故选：C．
二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）
9．设i为虚数单位，复数z＝（a+i）（1+2i），则下列命题正确的是（）
A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2
B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是(−1
2，2) C ．实数a =−12
是z =z （z 为z 的共轭复数）的充要条件 D ．若z +|z |＝x +5i （x ∈R ），则实数a 的值为2 解：复数z ＝（a +i ）（1+2i ）＝（a ﹣2）+（2a +1）i ； 对于A ：当a ＝2时，z 为纯虚数，故A 正确； 对于B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，可得{
a −2＜0
2a +1＜0
，解得a ＜−1
2；故B 不对；
对于C ：共轭复数Z ，需满足2a +1＝﹣2a ﹣1，可得a =−1
2
，故C 正确； 对于D ：由z +|z |＝x +5i ，即2a +1＝5，可得a ＝2，故D 正确； 故选：ACD ．
10．下列说法正确的是（ ）
A ．在△ABC 中，若AD →
=1
2
AB →
+12
AC →
，则点D 是边BC 的中点 B ．已知a →
=（﹣1，2），b →
=（x ，x ﹣1），若（b →
−2a →
）∥a →
，则x ＝﹣1
C ．已知A ，B ，C 三点不共线，B ，C ，M 三点共线，若AM →
=xAB →
+(2x −1)AC →
，则x =12
D ．已知正方形ABCD 的边长为1，点M 满足DM →
=12
MC →，则AM →⋅AC →
=43
解：对于A ，取BC 中点E 则1
2AB →
+
12
AC →
=
12
(AB →+AC →)=AE →=AD →
，则E 点与点D
重合，所以D 是边BC 的中点．所以A 正确．
对于B ，b →
−2a →
=（x +2，x ﹣5）a →
=（﹣1，2），（b →
−2a →
）∥a →
，所以x =1
3．所以B 不正确．
.对于C ，若x =12则AM →=xAB →+(2x −1)AC →=12
AB →，所以M 为AB 的中点．但条件没有．所
以C 不正确． 对于
D ，AM →⋅AC →=(AD →+DM →)(AD →+DC →)=AD →
2
+AD →⋅DC →+DM →⋅AD →+DM →
⋅
DC →
=1+1
3=4
3．所以D 正确．故选：AD ．
11．在某次高中学科知识竞赛中，对4000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的
频率分布直方图，其中分组的区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（）
A．成绩在[70，80）的考生人数最多
B．不及格的考生人数为1000
C．考生竞赛成绩的平均分约为72.5分
D．考生竞赛成绩的中位数为75分
解：对于A，由频率分布直方图得成绩在[70，80）的小矩形最高，
∴成绩在[70，80）的考生人数最多，故A正确；
对于B，由频率分布直方图得不及格的频率为：
（0.005+0.015）×10＝0.2，
∴不及格的考生人数为4000×0.2＝800，故B错误；
对于C，考生竞赛成绩的平均分约为：
x=45×0.005×10+55×0.015×10+65×0.020×10+75×0.030×10+85×0.020×10+95×0.010×10＝72.5分，故C正确；
对于D，[40，70）的频率为：（0.005+0.015+0.020）×10＝0.4，
[70，80）的频率为：0.030×10＝0.3，
∴考生竞赛成绩的中位数为：70+0.5−0.4
0.3
×10≈73.3分，故D错误．
故选：AC．
12．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1=√6，AB=BC=2，AC=2√2，点M是棱AA1的中点，则下列说法正确的是（）
A．异面直线BC与B1M所成的角为90°
B．在B1C上存在点D，使MD∥平面ABC
C．二面角B1﹣AC﹣B的大小为60°
D．B1M⊥CM
解：选项A，连接MC1，由三棱柱的性质可知，BC∥B1C1，
∴∠MB1C1即为异面直线BC与B1M．
∵AB＝BC＝2，AC=2√2，∴∠ABC＝∠A1B1C1＝90°，即A1B1⊥B1C1，
由直三棱柱的性质可知，BB1⊥平面A1B1C1，
∵B1C1⊂平面A1B1C1，∴BB1⊥B1C1，
又A1B1∩BB1＝B1，A1B1、BB1⊂平面ABB1A1，∴B1C1⊥平面ABB1A1，
∴B1C1⊥MB1，即∠MB1C1＝90°，∴选项A正确；
选项B，连接BC1，交B1C于点D，连接MD，再取BC的中点E，连接DE、AE，则DE ∥AM，DE＝AM，
∴四边形AMDE为平行四边形，∴MD∥AE，
∵MD⊄平面ABC，AE⊂平面ABC，∴MD∥平面ABC，即选项B正确；
选项C，取AC的中点N，连接BN、B1N，
∵BB1⊥平面ABC，∴∠BNB1即为二面角B1﹣AC﹣B的平面角．
在Rt△BNB1中，BB1=√6，BN=√2
2AB=√2，∴tan∠BNB1=BB1
BN
=√3，∴∠BNB1＝60°，
即选项C正确；
选项D，在△CMB1中，CM2＝AC2+AM2=19
2，MB1
2=A1B
1
2+A1M2=11
2，B1
C2=B1B2+
BC2=10，
显然CM2+MB12≠B1C2，即B1M与CM不垂直，∴选项D错误．故选：ABC．
三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知复数z满足z（1﹣2i）＝5（i为虚数单位），则|z|＝√5．解：∵（1﹣2i）z＝5，
∴z=
5
1−2i
=5(1+2i)
(1−2i)(1+2i)
=5(1+2i)
5
=1+2i，
故|z|=√1+4=√5，
故答案为：√5．
14．数据5，7，7，8，10，11的平均数是8，标准差是2．解：根据题意，对于数据5，7，7，8，10，11，
其平均数x=1
6（5+7+7+8+10+11）＝8，
方差S2=1
6[（5﹣8）
2+（7﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）2+（11﹣8）2]＝4，
则标准差s＝2；
故答案为：8，2．
15．一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为√3π，则该圆锥的表面积为12π．
解：根据题意，作出如下所示的图形：
设圆锥的底面半径为R ＝2，内接圆柱的底面半径为r ＝1，
∵内接圆柱的体积为√3π，∴V ＝πr 2•BC ＝π•BC =√3π，∴BC =√3， ∵
AB AC
=
r R
，∴
√3+AB
=1
2
，解得AB =√3，AC =2√3，
∴圆锥的母线长AD =√AC 2+R 2=√(2√3)2+22=4． ∴该圆锥的表面积S ＝πR 2+πR •AD ＝4π+8π＝12π． 故答案为：12π．
16．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球概率为1
4，
得到黑球或黄球概率是
5
12
，得到黄球或绿球概率是12
，则任取一球得到黄球的概率为
16
．
解：袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球， 得到红球概率为1
4，得到黑球或黄球概率是
512
，得到黄球或绿球概率是1
2
，
∴袋中有红球：12×1
4=3个， 有黑球或黄球：12×
5
12=5个， 有黄球或绿球：12×1
2=6个，
∴黄球个数为：（5+6）﹣（12﹣3）＝2， ∴任取一球得到黄球的概率为P =2
12=1
6． 故答案为：1
6．
四．解答题（共6小题，第17小题10分，第18-22小题每题12分，共70分） 17．在平面直角坐标系xOy 中，已知AB →
=(−4，−3)，BC →
=（3，1）． （1）求BA →
与BC →
夹角的余弦值；
（2）设AP →=λAC →
，若BP ⊥AC ，求实数λ的值．
解：（1）由AB →
=(−4，−3)，BC →
=(3，1)得，BA →
=(4，3)，|BA →
|=5，|BC →
|=√10， ∴BA →
⋅BC →
=12+3=15， ∴cos ＜BA →
，BC →
＞=
BA →⋅BC →
|BA →
||BC →
|
=
5√10
=3√10
10； （2）AC →
=AB →
+BC →
=(−1，−2)，
∴AP →
=λAC →
=(−λ，−2λ)，BP →
=BA →
+AP →
=(4−λ，3−2λ)， ∵BP ⊥AC ，∴BP →
⋅AC →
=−(4−λ)−2(3−2λ)=0，解得λ＝2．
18．某学校就学生对端午节文化习俗的了解情况，进行了一次20道题的问卷调查，每位同学都是独立答题，在回收的试卷中发现甲同学答对了12个，乙同学答对了16个．假设答对每道题都是等可能的，试求：
（1）任选一道题目，甲乙都没有答对的概率； （2）任选一道题目，恰有一人答对的概率．
解：（1）设A ＝“任选一道题目，甲答对”，B ＝“任选一道题目，乙答对”， 根据古典概型概率计算公式，得： P （A ）=
1220=35，P （B ）=1620=4
5， ∴P （A ）=2
5，P （B ）=1
5，
∴任选一道题目，甲乙都没有答对的概率为： P （AB ）＝P （A ）P （B ）=25×15=2
25． （2）任选一道题目，恰有一人答对的概率为： P （AB ∪AB ）＝P （AB ）+P （A B ） ＝P （A ）P （B ）+P （A ）P （B ） =25×45+35×1
5 =11
25．
19．在①z ＜0，②z 为虚数，③z 为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中． 已知复数：z ＝（m 2﹣2m ﹣8）+（m 2﹣4）i ．
（1）若______，求实数m的值；
（2）若复数z﹣m2（1+i）+8的模为2√5，求m的值．
解：（1）选择①z＜0，则{m2−2m−8＜0
m2−4=0
，解得m＝2．
选择②z为虚数，则m2﹣4≠0，解得m≠±2．
选择③z为纯虚数，则m2﹣2m﹣8＝0，m2﹣4≠0，解得m＝4．
（2）z＝（m2﹣2m﹣8）+（m2﹣4）i可知复数z﹣m2（1+i）+8＝（m2﹣2m﹣8）+（m2﹣4）i﹣m2（1+i）+8＝﹣2m﹣4i，
依题意√(−2m)2+16=2√5，
解得m＝±1，
此时m＝±1．
20．工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y进行检测，一共抽取了36件产品，并得到如表统计表，该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y有关，具体见表．
质量指标Y[9.8，10.2）[0.2，10.6）[0.6，11.0]频数61812年内所需维护次数201（1）每组数据取区间的中点值，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y的平均值（保留两位小数）；
（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标至少有一个在[10.2，10.6）内的概率；
（3）已知该厂产品的维护费用为200元/次，工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加50元，该产品即可一年内免费维修一次，将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用，假设这36件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？
解：（1）该厂产品的质量指标Y的平均值为：
Y=10×6+10.4×18+10.8×12
36
≈10.47．
（2）由分层抽样方法知：
先抽取的6件产品中，指标Y在[9.8，10.2）的有1件，记为A，
在[10.2，10.6）的有3件，记为B1，B2，B3，在[10.6，11.0]的有2件，记为C1，C2，
从6件中随机抽取2件，共有15个基本事件分别为：
（A，B1），（A，B2），（A，B3），（A，C1），（A，C2），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B1，C2），（B2，B3），（B2，C1），（B2，C2），（B3，C1），（C1，C2），
其中满足条件的基本事件有12个，分别为：
（A，B1），（A，B2），（A，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），
（B1，C2），（B2，B3），（B2，C1），（B2，C2），（B3，C1），
∴这2件产品的指标至少有一个在[10.2，10.6）内的概率为：
P=12
15
=45．
（3）设每件产品的售价为x元，
假设这36件产品每件都不购买服务，则平均每件产品的消费费用为：
s=1
36（36x+6×400+12×200）＝x+
400
3（元），
假设这36件产品每件都购买该服务，则平均每件产品的消费费用为：
s=1
36[36（x+50）+6×200]＝x+
250
3（元），
∴该服务值得消费者购买．
21．如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝4，∠ACM＝90°，以AC为折痕将△ACM 折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）设Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ=1
4DA，求三棱锥Q﹣
ABP的体积．
（1）证明：∵平行四边形ABCM，
∴AB∥CM，∴∠BAC＝∠ACM＝90°，即AB⊥AC，
∵AB⊥DA，AC∩AD＝A，AC、AD⊂平面ACD，
∴AB⊥平面ACD，
∵AB⊂平面ABC，
∴平面ACD⊥平面ABC．
（2）解：过点Q作QE⊥AC于点E，则QE∥DC，
∵DQ=1
4DA，∴
QE
DC
=
AQ
AD
=
3
4
，
∵DC＝CM＝AB＝4，∴QE＝3，
∵∠ACM＝90°，△ACD由△ACM翻折而来，∴DC⊥CA，
由（1）知，平面ACD⊥平面ABC，且平面ACD∩平面ABC＝AC，
∴DC⊥平面ABC，∴QE⊥平面ABC，即点Q到平面ABC的距离为QE，
∵BP=1
4BC，AB＝AC＝4，且AB⊥AC，
∴S△ABP=1
4S△ABC=
1
4
×12•AB•AC=14×12×4×4＝2，
∴三棱锥Q﹣ABP的体积V Q﹣ABP=1
3•S△ABP•QE=
1
3
×2×3＝2．
22．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分低于70分70分到89分不低于90分
满意度等级不满意满意非常满意
上述A，B两地区分别随机调查的20个用户中，再分别随机抽取1人，求其中来自A地区的用户的满意度等级高于来自B地区的用户的满意度等级的概率；
（Ⅲ）设上述A地区随机抽查的20个用户的满意度评分的平均数为x A，方差为s A2；B地区随机抽查的20个用户的满意度评分的平均数为x B，方差为s B2；比较x A与x B，s A2与s B2的大小（直接写出结论）．
（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意知，两地区用户满意度评分的茎叶图如下．
通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；
A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．
（Ⅱ）记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”
记C A1为事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”，
记C A2为事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”，
记C B1为事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”．
记C B2为事件：“B地区用户的满意度等级为满意”．
则C A1与C B1相互独立，C A2与C B2相互独立，C B1与C B2互斥，于是：C＝C B1C A1∪C B2C A2．所以P（C）＝P（C B1C A1∪C B2C A2）＝P（C B1C A1）+P（C B2C A2）
＝P（C B1）P（C A1）+P（C B2）P（C A2）．
由题知，C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为1620，420，1020，820． 故P （C A 1）=
1620，P （C A 2）=420，P （C B 1）=1020，P （C B 2）=820， 故P(C)=1020×1620+820×420=0.48．即C 的概率为0.48．
（Ⅲ）x A ＞x B ，s A 2＜s B 2．。