高中数学选修二练习题

常用逻辑用语(附参考答案)
一、选择题
1．命题“如果x≥a 2+b 2,那么x≥2ab”的逆否命题是( ) A ．如果x<a 2+b 2,那么x<2ab B ．如果x≥2ab,那么x≥a 2+b 2 C ．如果x<2ab,那么x<a 2+b 2 D ．如果x≥a 2+b 2,那么x<2ab 2．三角形全等是三角形面积相等的( ) A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 3．下列四个命题中，真命题是( ) A ．2是偶数且是无理数 B ．8≥10 C ．有些梯形内接于圆 D ．∀x ∈R,x 2-x+1≠0 4．命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是( ) A ．所有奇数的立方不是奇数 B ．不存在一个奇数，它的立方是偶数 C ．存在一个奇数，它的立方是偶数 D ．不存在一个奇数，它的立方是奇数 二、填空题
5．命题“若a=-1,则a 2=-1”的逆否命题是______________________． 6．b=0是函数f(x)=ax 2+bx+c 为偶函数的______________________．
7．全称命题“∀a ∈Z,a 有一个正因数”的否定是________________________． 8．特称命题“有些三角形的三条中线相等”的否定是______________________．
9．设p ：|5x -1|>4；22
1
0231
x x x x ++³-+，则非p 是非q 的______ ___条件． 三、解答题
10．求证：a+2b=0是直线ax+2y+3=0和直线x+by+2=0互相垂直的充要条件．
11．已知集合A={x|x 2-3x+2=0}，B={x|x 2-mx+2=0}，若A 是B 的必要不充分条件，求实数m 范围．
12．给定两个命题,P ：对任意实数x 都有012
>++ax ax 恒成立；Q ：关于x 的方程
02=+-a x x 有实数根；如果P 与Q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．
常用逻辑用语答案
1-4 CACC
5．如果a 2≠1,那么a≠-1 6．充分必要条件 7．∃a 0∈Z,a 0没有正因数 8．每个三角形的三条中线不相等 9．即不充分也不必要
10．充分性：当b=0时，则a=0，此时两直线分别垂直坐标轴，显然垂直；当b≠0时，两直
线的斜率分别是k 1=-a 2,k 2=-1b ,由a+2b=0,k 1⋅k 2=(-a 2)(-1
b
)=-1,两直线互相垂直．
必要性：如果两直线互相垂直且斜率存在，则k 1⋅k 2=(-a 2)(-1
b
)=-1,∴a+2b=0；如果两直线中有
直线的斜率不存在，且互相垂直，则b=0,且a=0，∴a+2b=0． 11、A={1，2}，A 是B 的必要不充分条件，即B ⊂≠A ．所以B=Φ、B={1}或{2}， 当B=φ时，△=m 2-8<0，∴22m 22<<-．
当B={1}或{2}时，⎩
⎨⎧=+-=+-=∆02m 2402m 10
或，m 无解．综上所述22m 22<<-．
12．解：P 真：对任意实数x 都有012
>++ax ax 恒成立⇔a=0或⎩⎨⎧a>0∆<0
⇔0≤a<4;
q 真：关于x 的方程02
=+-a x x 有实数根⇔1-4a≥0⇔a≤14
；
如果P 正确，且Q 不正确，有0≤a<4,且a>14,∴1
4
<a<4；
如果Q 正确，且P 不正确，有a<0或a≥4,且a≤14,∴a<0．所以a ∈(-∞,0)∪(1
4
,4)．
常用逻辑用语答案
1-4 CACC
5．如果a 2≠1,那么a≠-1 6．充分必要条件 7．∃a 0∈Z,a 0没有正因数 8．每个三角形的三条中线不相等 9．即不充分也不必要
10．充分性：当b=0时，则a=0，此时两直线分别垂直坐标轴，显然垂直；当b≠0时，两直
线的斜率分别是k 1=-a 2,k 2=-1b ,由a+2b=0,k 1⋅k 2=(-a 2)(-1
b
)=-1,两直线互相垂直．
必要性：如果两直线互相垂直且斜率存在，则k 1⋅k 2=(-a 2)(-1
b
)=-1,∴a+2b=0；如果两直线中有
直线的斜率不存在，且互相垂直，则b=0,且a=0，∴a+2b=0． 11、A={1，2}，A 是B 的必要不充分条件，即B ⊂≠A ．所以B=Φ、B={1}或{2}， 当B=φ时，△=m 2-8<0，∴22m 22<<-．
当B={1}或{2}时，⎩
⎨⎧=+-=+-=∆02m 2402m 10
或，m 无解．综上所述22m 22<<-．
12．解：P 真：对任意实数x 都有012
>++ax ax 恒成立⇔a=0或⎩⎨⎧a>0∆<0
⇔0≤a<4;
q 真：关于x 的方程02
=+-a x x 有实数根⇔1-4a≥0⇔a≤14
；
如果P 正确，且Q 不正确，有0≤a<4,且a>14,∴1
4
<a<4；
如果Q 正确，且P 不正确，有a<0或a≥4,且a≤14,∴a<0．所以a ∈(-∞,0)∪(1
4
,4)．
圆锥曲线练习题
一．选择题
1.若椭圆经过原点，且焦点分别为12(1,0),(3,0)F F ，则其离心率为（ ） A.34 B.23 C.12 D.14
2.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB|等于（ ）
A.10
B.8
C.6
D.4
3.若双曲线x 24＋y 2
k ＝1的离心率(1,2)e ∈，则k 的取值范围是（ ）
A.(),0-∞
B.()3,0-
C.()12,0-
D.()60,12-- 4.与y 轴相切且和半圆x 2+y 2=4(0≤x ≤2)内切的动圆圆心的轨迹方程是（ ） A.()
()24101y x x =--<≤ B.()()24101y x x =-<≤
C.()()24101y x x =+<≤
D.()()22101y x x =--<≤
5.过点M(-2,0)的直线L 与椭圆2
2
22x y +=交于12,P P 两点，设线段12P P 的中点为P ，若直线l 的斜率为11(0)k k ≠，直线OP 的斜率为2k ，则12k k 等于（ ）
A.2-
B.2
C.12
D.－1
2
6.如果方程x 2-p ＋y
2q
＝1表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双曲线共焦点的是（ ）
A.2212x y q p q +=+
B.2212x y q p p +=-+
C.2212x y p q q +=+
D.22
12x y p q p
+=-+
二．填空题 7.椭圆x 212＋y 2
3＝1的焦点分别是12F ,F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的 倍．
8.椭圆x 245＋y 2
20
＝1的焦点分别是12F ,F ，过原点O 做直线与椭圆交于A ，B 两点，若∆ABF 2的面
积是20，则直线AB 的方程是 ．
9.与双曲线2
2
44x y -=有共同的渐近线，并且经过点（2的双曲线方程是
10.已知直线y=kx+2与双曲线x 2-y 2=6的右支相交于不同的两点，则k 的取值范围是 ． 三．解答题
11.抛物线y=－1
2
x 2与过点M(0,-1)的直线L 相交于A ，B 两点，O 为原点，若OA 和OB 的斜率
之和为１，求直线L 的方程．
12.已知中心在原点，一焦点为F(0,50)的椭圆被直线:32l y x =-截得的弦的中点横坐标为1
2
，
求此椭圆的方程．
13．21,F F 是椭圆x 29＋y 2
7
＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2=45︒，求∆12AF F 的面积．
圆锥曲线练习题答案
一．选择题：CBCADD 二．填空题：
7. 7倍 8.y=±43x 9. y 24－x 216＝1 10.－15
3
<k<－1
三．解答题
11. 解：斜率不存在不合题意，设直线1y kx =-代入抛物线得2
220x kx +-=
2480k =+>有k ∈R 设点1122(,),(,)A x y B x y 则y 1x 1＋y
2x 2
＝1,
由根与系数关系，解得直线方程1y x =-．
12. 解：设所求的椭圆为x 2a 2＋y 2b
2＝1，则222
c a b =-=50
椭圆与直线联立有()222222
(9)1240a b x b x b a +-+-=，由已知x 1+x 22＝12
，
根与系数关系带入得223a b =解得a 2=75,b 2
=25．所以所求椭圆方程为y 225＋x 275＝1．
13．解：1212216,6F F AF AF AF AF =+==-
22202
2112112112cos 4548AF AF F F AF F F AF AF =+-⋅=-+
2211117
(6)48,,2
AF AF AF AF -=-+=1772222S =⨯⨯=．
圆锥曲线练习题答案
一．选择题：CBCADD
二．填空题：
7. 7倍 8.y=±43x 9. y 24－x 216＝1 10.－15
3
<k<－1
三．解答题
13. 解：斜率不存在不合题意，设直线1y kx =-代入抛物线得2
220x kx +-=
2480k =+>有k ∈R 设点1122(,),(,)A x y B x y 则y 1x 1＋y
2x 2
＝1,
由根与系数关系，解得直线方程1y x =-．
14. 解：设所求的椭圆为x 2a 2＋y 2b
2＝1，则222
c a b =-=50
椭圆与直线联立有()222222
(9)1240a b x b x b a +-+-=，由已知x 1+x 22＝12
，
根与系数关系带入得223a b =解得a 2=75,b 2
=25．所以所求椭圆方程为y 225＋x 275＝1．
13．解：1212216,6FF AF AF AF AF =+==-
22202
2112112112cos 4548AF AF F F AF F F AF AF =+-⋅=-+
2211117
(6)48,,2
AF AF AF AF -=-+=1772222S =⨯⨯=．
空间向量练习题
一．选择题
1．直棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a →,CB →=b →,CC 1→=c →,则A 1B →
=( )
A ．a →+b →-c →
B ．a →-b →+c →
C ．-a →+b →+c →
D ．-a →+b →-c →
2．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任意一点O ，下列条件中能确定点M 与A ，B ，C 一定共面的是( )
A ．OM →=OA →+O
B →+O
C → C ．OM →=2OA →-OB →-OC →
C ．OM →=OA →+12OB →+13OC →
D ．OM →=13OA →+13OB →+13OC →
3．若向量m →同时垂直向量a →和b →,向量n →=λa →+μb →
(λ,μ∈R, λ,μ≠0)，则（ ）
A ．m →∥n →
B ．m →⊥n → C.m →与n →不平行也不垂直 D ．以上均有可能 4．以下四个命题中，正确的是( )
A ．若OP →=12OA →+13O
B →
,则P ，A ，B 三点共线
B ．若{a →,b →,c →}为空间一个基底，则{a →+b →,b →+c →,c →+a →
}构成空间的另一个基底 C ．|(a →⋅b →)c →|=|a →|⋅|b →|⋅|c →|
D ．∆ABC 为直角三角形的充要条件是AB →⋅AC →
＝0
5．已知a →=(λ+1,0,2λ),b →=(6,2μ-1,2),a →∥b →
,则λ和μ的值分别为( )
A ．15,12
B ．5,2
C ．-15,-12
D ．-5,-2
二．填空题
6．若a →=(2,-3,1),b →=(2,0,3),c →=(0,2,2),则a →⋅(b →+c →
)=________.
7．已知G 是∆ABC 的重心，O 是空间任一点，若OA →+OB →+OC →＝λOG →
，则λ的值为_______.
8．已知|a →|=1,|b →|=2,<a →,b →>=60︒,则|a →-25(a →+2b →
)|=________.
三．解答题
9．若向量(a →+3b →)⊥(7a →-5b →)，(a →-4b →)⊥(7a →-2b →)，求a →与b →
的夹角．
10．设123423223325=-+=+-=-+-=++，，，a i j k a i j k a i j k a i j k ，试求实数λμν，，，使4123a a a a λμν=++成立．
11．正三棱柱111-ABC A B C 的底面边长为a ，求1AC 与侧面11ABB A 所成的角． 12．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动，问AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为π4
．
空间向量练习题答案
一．选择题 DDBBA
二．填空题 6．3 7．3 8．6
5
三．解答题
9．由已知向量垂直列方程，解得a →2=b →2=2a →⋅b →,∴cos<a →,b →>=12
,∴a →与b →
夹角为60︒．
10．由4123a a a a λμν=++成立，可建立方程组，解得213v λμ=-==-，，．
11．以A 为原点，分别以CA →，AB →，AA 1→
为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0),B(0,a,0),A 1(0,0,2a),C 1(-32a,12
a,2a),由于n →
=(-1,0,0)是面11ABB A 的法向量，
计算得cos<AC 1→,n →>=12
,∴<AC 1→,n →
>=60︒．故1AC 与侧面11ABB A 所成的角为30︒．
12．设AE x =，以D 为原点，分别以DA →，DC →，DD 1→
为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，
可求得平面
1D EC 的法向量为n →
=(2-x ,1,2)．依题意πcos 4=⇒=．
2x =∴（2x =+．2AE =∴．
空间向量练习题答案
一．选择题 DDBBA
二．填空题 6．3 7．3 8．6
5
三．解答题
9．由已知向量垂直列方程，解得a →2=b →2=2a →⋅b →,∴cos<a →,b →>=12
,∴a →与b →
夹角为60︒．
10．由4123a a a a λμν=++成立，可建立方程组，解得213v λμ=-==-，，．
11．以A 为原点，分别以CA →，AB →，AA 1→
为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0),B(0,a,0),A 1(0,0,2a),C 1(-32a,12
a,2a),由于n →
=(-1,0,0)是面11ABB A 的法向量，
计算得cos<AC 1→,n →>=12
,∴<AC 1→,n →
>=60︒．故1AC 与侧面11ABB A 所成的角为30︒．
12．设AE x =，以D 为原点，分别以DA →，DC →，DD 1→
为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，
可求得平面
1D EC 的法向量为n →
=(2-x,1,2)．依题意πcos 4=⇒=．
2x =∴（2x =+．2AE =∴．。