人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件：5.1.1 任意角
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提示 390°为第一象限角，但不是锐角. 4.钝角是第二象限角.( √ ) 5.第三象限的角一定比第一象限的角大.( × )
提示 例如－120°为第三象限角，60°为第一象限角，故错误.
[微训练] 1.－378°是第________象限角.
解析 －378°＝－360°－18°，因为－18°是第四象限角，所以－378°是第四象限 角. 答案 四
k∈Z}
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的
和.
教材拓展补遗 [微判断] 1.经过1小时，时针转过30°.( × )
提示 因为是顺时针旋转，所以时针转过－30°. 2.终边与始边重合的角是零角.( × )
提示 终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z). 3.第一象限角都是锐角.( × )
①终边落在第一象限的角为锐角； ②锐角是第一象限的角； ③第二象限的角为钝角； ④小于90°的角一定为锐角； ⑤角α与－α的终边关于x轴对称. 解析 终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限的角，但不 是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故③的说 法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的. 答案 ②⑤
＝{β|2k·180°＋60°≤β≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β≤(2k＋1)·180° ＋105°，k∈Z} ＝{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}， 即所求的集合为{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}.
课标要求
素养要求
1.结合实例，了解角的概念的推广及 在角的概念推广过程中，经历由具体
其实际意义. 到抽象，重点提升学生的数学抽象、
2.理解象限角的概念，并掌握终边相 直观想象素养.
同角的含义及其表示.
教材知识探究
周日早晨，小明起床后，发现自己的闹钟停在5：00这一刻，他立即更换了电池， 调整到了正常时间6：30，并开始正常的学习. 问题 小明在调整闹钟时间时，时针与分针各转过了多少度？ 提示 时针转了－45°，分针转了－540°.
伦敦眼(英文名：The London Eye)，全称英国航空伦敦眼(The British Airways London Eye)又称千禧之轮，坐落在伦敦泰晤士河畔，是世界第四大摩天轮，是伦敦的 地标之一，也是伦敦最吸引游人的观光点之一.伦敦眼于1999年年底开幕，总高度135 米(443英尺).伦敦眼共有32个乘坐舱，因舱内外用钢化玻璃打造，所以设有空调系统. 每个乘坐舱可载客约25名，回转速度约为每秒0.26米，即一圈需时30分钟.
一、素养落地 1.通过本节课的学习，学会利用图形描述建立形与数的联系，提升学生的数学抽象、
直观想象素养. 2.本节主要借助坐标系，加深对角的概念的理解. 3.会写终边相同的角、区域角.
二、素养训练
1.在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这四个角中，属于第二象限角的是
()
A.①
B.①②
C.①②③
D.①②③④
解析 ②480°＝120°＋360°是第二象限角；
③－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；
④1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角，故选C.
答案 C
2.下列说法正确的是( ) A.三角形的内角一定是第一、二象限角 B.钝角不一定是第二象限角 C.相差180°整数倍的角为终边相同的角 D.钟表的时针旋转而成的角是负角 解析 A错，如90°既不是第一象限角，也不是第二象限角； B错，钝角在90°到180°之间，是第二象限角； C错，终边相同的角之间相差360°的整数倍； D正确，钟表的时针是顺时针旋转，故是负角. 答案 D
包括边界用实线表示，不包括边界用虚线表示
解 ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝ 135°＋ k·360°， k∈Z} ， 终 边 落 在 OB 位 置 上 的 角 的 集 合 为 {α|α ＝ － 30°＋ k·360°， k∈Z}. ②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°到135°之间 的与之终边相同的角组成的集合，故可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°， k∈Z}.
问题1：伦敦眼转一圈需用时30分钟，这就叫周期现象，那么周期为多少呢？ 问题2：当游客坐伦敦眼达到最高点时，伦敦美景尽收眼底，总高度135米对应于三 角函数的哪些量？ 链接：(1)周期为30分钟；(2)游客达到最高点与最低点时，分别对应了三角函数的 最大值与最小值.
5.1 任意角和弧度制 5.1.1 任意角
(2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820° 至OC处，则β＝________.
解析 ∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°，β＝－760°＋720°＝－40°. 答案 －40°
规律方法 判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念. (2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可.
【例2】 写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720° 的元素β写出来. 解 直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个： 45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合：
S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z} ＝ {β|β ＝ 45°＋ 2k·180°， k∈Z}∪{β|β ＝ 45°＋ (2k ＋ 1)·180°， k∈Z} ＝ {β|β ＝ 45°＋ n·180°，n∈Z}. ∴S中适合－360°≤β<720°的元素是： 45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°； 45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°； 45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°.
第五章 三角函数
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用 早期对于三角函数的研究可以追溯到古代.古希腊三角术的奠基人是公元前2世纪
的喜帕恰斯，他按照古巴比伦人的做法，将圆周分为360等份(即圆周的弧度为360度， 与现代的弧度制不同).对于给定的弧度，他给出了对应的弦的长度数值，这个记法和现 代的正弦函数是等价的.喜帕恰斯实际上给出了最早的三角函数数值表.然而古希腊的三 角学基本是球面三角学，这与古希腊人研究的主体是天文学有关.梅涅劳斯在他的著作
【训练3】 (1)已知α是第二象限角，则180°－α是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
(2)已知α是锐角，那么2α是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.小于180°的正角
D.第一或第二象限角
解析 (1)由α是第二象限角可得，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z.所以180°－(90° ＋k·360°)>180°－α>180°－(180°＋k·360°)，即90°－k·360°>180°－α>－k·360°(k∈Z)，所 以180°－α为第一象限角. (2)∵0°<α<90°，∴0°<2α<180°，∴2α是小于180°的正角. 答案 (1)A (2)C
【迁移1】 若将例3(2)题改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边 相同的角的集合如何表示？ 解 在0°～360°范围内、阴影部分(包括边界)表示的范围是： 150°≤α≤225°，则满足条件的角α为 {α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}.
【迁移2】 若将例3(2)题改为如图所示的图形，那么终边落在 阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？ 解 由题干图可知满足题意的角的集合为{β|k·360°＋60° ≤β≤k·360°＋105°，k∈Z}∪{k·360°＋240°≤β≤k·360°＋285°，k∈Z}
3.象限角
如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的 终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是 第几象限角 . 如 果 角 的 终 边 在
坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个 象限 .
4.终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，
2.与－457°角的终边相同的角的集合是( ) A.{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z} B.{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z} C.{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z} D.{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z} 解析 由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角的终边 相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}. 答案 C
题型三 象限角和区间(域)角的表示 应先找到0°～360°范围内与其终边相同的角
【例3】 (1)－2 019°是第________象限角. 解析 －2 019°＝－6×360°＋141°，141°是第二象限角，所以－2 019°为第二象限 角. 答案 二
(2)已知，如图所示.
①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合； ②写出终边落在阴影部分 (包括边界)的角的集合.
【训练1】 写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数.
解 题干图(1)中，α＝360°－30°＝330°； 题干图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°； γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°.
题型二 终边相同的角的表示及应用 在终边相同的角的表示中，k·360°可以理解为按一定方向转动的圈数，k取正整数 时，按逆时针转，k取负整数时，按顺时针转，k＝0时，没有转动.
[微思考] 1.角的概念推广后角的范围有怎样的变化？
提示 角的概念推广后，角度的范围不限于0°～360°，而是任意的角，包括正 角、负角与零角. 2.终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？ 提示 当角的始边相同时，若角相等，则终边相同，但若角终边相同，则不一 定相等.
题型一 与任意角有关的概念辨析 【例1】 (1)下列说法中，正确的是________(填序号).
规律方法 解答本题关键是找到0°～360°范围内，终边落在直线y＝x的角：45°，225°， 再利用终边相同的角的关系写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化 成最简.
【训练2】 写出终边落在x轴上的角的集合S. 解 S＝{α|α＝k·360°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°， k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°，n∈Z}.
规律方法 表示区域角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界. 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β， 写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°. 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合.
《球面学》中使用了正弦来描述球面的梅涅劳斯定理.古希腊三角学与其天文 学的应用在埃及的托勒密时代达到了高峰，托勒密在《数学汇编》中计算了36 度角和72度角的正弦值，还给出了计算和角公式和半角公式的方法.托勒密还 给出了所有0度到180度的所有整数和半整数弧度对应的正弦值.
喜帕恰斯
[读图探新]——发现现象背后的知识 伦敦眼
的分类 注意正角、负角的旋转方向
类型
定义
图示
正角
按__逆___时__针___方向旋转形成的角
负角
按___顺__时___针__方向旋转形成的角
零角 一条射线____没__有____作任何旋转，称它形成了一个零角
2.角的加法 (1)若两角的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称 α=β . (2)设α、β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是 α+β . (3)相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为 相反角 ，角α的相反角记为 -α ，α－β＝α＋ (-β) .
提示 例如－120°为第三象限角，60°为第一象限角，故错误.
[微训练] 1.－378°是第________象限角.
解析 －378°＝－360°－18°，因为－18°是第四象限角，所以－378°是第四象限 角. 答案 四
k∈Z}
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的
和.
教材拓展补遗 [微判断] 1.经过1小时，时针转过30°.( × )
提示 因为是顺时针旋转，所以时针转过－30°. 2.终边与始边重合的角是零角.( × )
提示 终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z). 3.第一象限角都是锐角.( × )
①终边落在第一象限的角为锐角； ②锐角是第一象限的角； ③第二象限的角为钝角； ④小于90°的角一定为锐角； ⑤角α与－α的终边关于x轴对称. 解析 终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限的角，但不 是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故③的说 法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的. 答案 ②⑤
＝{β|2k·180°＋60°≤β≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β≤(2k＋1)·180° ＋105°，k∈Z} ＝{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}， 即所求的集合为{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}.
课标要求
素养要求
1.结合实例，了解角的概念的推广及 在角的概念推广过程中，经历由具体
其实际意义. 到抽象，重点提升学生的数学抽象、
2.理解象限角的概念，并掌握终边相 直观想象素养.
同角的含义及其表示.
教材知识探究
周日早晨，小明起床后，发现自己的闹钟停在5：00这一刻，他立即更换了电池， 调整到了正常时间6：30，并开始正常的学习. 问题 小明在调整闹钟时间时，时针与分针各转过了多少度？ 提示 时针转了－45°，分针转了－540°.
伦敦眼(英文名：The London Eye)，全称英国航空伦敦眼(The British Airways London Eye)又称千禧之轮，坐落在伦敦泰晤士河畔，是世界第四大摩天轮，是伦敦的 地标之一，也是伦敦最吸引游人的观光点之一.伦敦眼于1999年年底开幕，总高度135 米(443英尺).伦敦眼共有32个乘坐舱，因舱内外用钢化玻璃打造，所以设有空调系统. 每个乘坐舱可载客约25名，回转速度约为每秒0.26米，即一圈需时30分钟.
一、素养落地 1.通过本节课的学习，学会利用图形描述建立形与数的联系，提升学生的数学抽象、
直观想象素养. 2.本节主要借助坐标系，加深对角的概念的理解. 3.会写终边相同的角、区域角.
二、素养训练
1.在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这四个角中，属于第二象限角的是
()
A.①
B.①②
C.①②③
D.①②③④
解析 ②480°＝120°＋360°是第二象限角；
③－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；
④1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角，故选C.
答案 C
2.下列说法正确的是( ) A.三角形的内角一定是第一、二象限角 B.钝角不一定是第二象限角 C.相差180°整数倍的角为终边相同的角 D.钟表的时针旋转而成的角是负角 解析 A错，如90°既不是第一象限角，也不是第二象限角； B错，钝角在90°到180°之间，是第二象限角； C错，终边相同的角之间相差360°的整数倍； D正确，钟表的时针是顺时针旋转，故是负角. 答案 D
包括边界用实线表示，不包括边界用虚线表示
解 ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝ 135°＋ k·360°， k∈Z} ， 终 边 落 在 OB 位 置 上 的 角 的 集 合 为 {α|α ＝ － 30°＋ k·360°， k∈Z}. ②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°到135°之间 的与之终边相同的角组成的集合，故可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°， k∈Z}.
问题1：伦敦眼转一圈需用时30分钟，这就叫周期现象，那么周期为多少呢？ 问题2：当游客坐伦敦眼达到最高点时，伦敦美景尽收眼底，总高度135米对应于三 角函数的哪些量？ 链接：(1)周期为30分钟；(2)游客达到最高点与最低点时，分别对应了三角函数的 最大值与最小值.
5.1 任意角和弧度制 5.1.1 任意角
(2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820° 至OC处，则β＝________.
解析 ∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°，β＝－760°＋720°＝－40°. 答案 －40°
规律方法 判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念. (2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可.
【例2】 写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720° 的元素β写出来. 解 直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个： 45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合：
S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z} ＝ {β|β ＝ 45°＋ 2k·180°， k∈Z}∪{β|β ＝ 45°＋ (2k ＋ 1)·180°， k∈Z} ＝ {β|β ＝ 45°＋ n·180°，n∈Z}. ∴S中适合－360°≤β<720°的元素是： 45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°； 45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°； 45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°.
第五章 三角函数
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用 早期对于三角函数的研究可以追溯到古代.古希腊三角术的奠基人是公元前2世纪
的喜帕恰斯，他按照古巴比伦人的做法，将圆周分为360等份(即圆周的弧度为360度， 与现代的弧度制不同).对于给定的弧度，他给出了对应的弦的长度数值，这个记法和现 代的正弦函数是等价的.喜帕恰斯实际上给出了最早的三角函数数值表.然而古希腊的三 角学基本是球面三角学，这与古希腊人研究的主体是天文学有关.梅涅劳斯在他的著作
【训练3】 (1)已知α是第二象限角，则180°－α是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
(2)已知α是锐角，那么2α是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.小于180°的正角
D.第一或第二象限角
解析 (1)由α是第二象限角可得，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z.所以180°－(90° ＋k·360°)>180°－α>180°－(180°＋k·360°)，即90°－k·360°>180°－α>－k·360°(k∈Z)，所 以180°－α为第一象限角. (2)∵0°<α<90°，∴0°<2α<180°，∴2α是小于180°的正角. 答案 (1)A (2)C
【迁移1】 若将例3(2)题改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边 相同的角的集合如何表示？ 解 在0°～360°范围内、阴影部分(包括边界)表示的范围是： 150°≤α≤225°，则满足条件的角α为 {α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}.
【迁移2】 若将例3(2)题改为如图所示的图形，那么终边落在 阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？ 解 由题干图可知满足题意的角的集合为{β|k·360°＋60° ≤β≤k·360°＋105°，k∈Z}∪{k·360°＋240°≤β≤k·360°＋285°，k∈Z}
3.象限角
如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的 终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是 第几象限角 . 如 果 角 的 终 边 在
坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个 象限 .
4.终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，
2.与－457°角的终边相同的角的集合是( ) A.{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z} B.{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z} C.{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z} D.{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z} 解析 由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角的终边 相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}. 答案 C
题型三 象限角和区间(域)角的表示 应先找到0°～360°范围内与其终边相同的角
【例3】 (1)－2 019°是第________象限角. 解析 －2 019°＝－6×360°＋141°，141°是第二象限角，所以－2 019°为第二象限 角. 答案 二
(2)已知，如图所示.
①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合； ②写出终边落在阴影部分 (包括边界)的角的集合.
【训练1】 写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数.
解 题干图(1)中，α＝360°－30°＝330°； 题干图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°； γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°.
题型二 终边相同的角的表示及应用 在终边相同的角的表示中，k·360°可以理解为按一定方向转动的圈数，k取正整数 时，按逆时针转，k取负整数时，按顺时针转，k＝0时，没有转动.
[微思考] 1.角的概念推广后角的范围有怎样的变化？
提示 角的概念推广后，角度的范围不限于0°～360°，而是任意的角，包括正 角、负角与零角. 2.终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？ 提示 当角的始边相同时，若角相等，则终边相同，但若角终边相同，则不一 定相等.
题型一 与任意角有关的概念辨析 【例1】 (1)下列说法中，正确的是________(填序号).
规律方法 解答本题关键是找到0°～360°范围内，终边落在直线y＝x的角：45°，225°， 再利用终边相同的角的关系写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化 成最简.
【训练2】 写出终边落在x轴上的角的集合S. 解 S＝{α|α＝k·360°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°， k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°，n∈Z}.
规律方法 表示区域角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界. 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β， 写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°. 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合.
《球面学》中使用了正弦来描述球面的梅涅劳斯定理.古希腊三角学与其天文 学的应用在埃及的托勒密时代达到了高峰，托勒密在《数学汇编》中计算了36 度角和72度角的正弦值，还给出了计算和角公式和半角公式的方法.托勒密还 给出了所有0度到180度的所有整数和半整数弧度对应的正弦值.
喜帕恰斯
[读图探新]——发现现象背后的知识 伦敦眼
的分类 注意正角、负角的旋转方向
类型
定义
图示
正角
按__逆___时__针___方向旋转形成的角
负角
按___顺__时___针__方向旋转形成的角
零角 一条射线____没__有____作任何旋转，称它形成了一个零角
2.角的加法 (1)若两角的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称 α=β . (2)设α、β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是 α+β . (3)相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为 相反角 ，角α的相反角记为 -α ，α－β＝α＋ (-β) .