水力学第六章相似原理及量纲分析

f N , , Q, H 0
(2)写出指数乘积关系式
N K a Q b H c
（3）写出量纲式：
，
，
[ N ] [ ]a [Q]b [ H ]c
(4) 按式（1），以基本量纲（[M]、[L]、[T]）表示各物理量量纲
M L T
2
3
(M L T ) (L T ) (L) c
2 mv 2 p1 v12 p2 v2 z2 又如，理想流体能量方程：z1 2g 2g
也可改写成
z1 z 2 p1 p 2 v 2 1 2 2 v1 (2 g ) v1 2 v1
2
1 2 E mv 2
可改写为
2

量纲分析法就是应用量纲和量纲和谐来探求物理现象的函数关 系，即建立物理方程的一种方法。
式中各项的量纲一致，都是 LT 。又如粘性流体总流的伯 努力方程式:
p1 11 p2 2 2 z1 z2 hw g 2 g g 2g
2 2
2
式中各项的量纲均为[L]。凡正确反映客观规律的物理方程，量纲之间的关系均如 此。
第二节 量纲分析法
在量纲和谐原理基础上发展起来的量纲分析法有两种：一 种称瑞利(Rayleigh)法，用于比较简单的问题；另一种称布 金汗（Buckingham，1867~1940） 定理，是一种具有普 遍性的方法。
1、量纲
表示物理量的种类，称为这个物理量的量纲（或称因次）。 同一物理量，可以用不同的单位来度量，但只有唯一的量纲。
在物理量的代表符号前面加“dim” 表示量纲，例如速度v 的量纲表
示为dim v。 量纲可分为基本量纲和导出量纲。
基本量纲必须具有独立性，不能从其它基本量纲推导出来，而
且可以用它来参与表示其它各物理量的量纲。在流体力学中常用长 度、时间、质量（L、T、M）作为基本量纲。
3、动力学的量， α ≠0。 无量纲量
L dH J , J 1 dL L
1 LT L d Re , Re 1 2 1 L T
无量纲量
dim x L T M 量纲公式
物理量x的性质可由量纲指数α，β，γ来反映。 如α，β，γ有一个不为零，则x为有量纲量。 如α，β，γ均为零，即dim x =L0 T0 M0 = 1,则称x为无量纲量，
由基本量纲推导出来的量纲，称导出量纲。它可用三个基本量
纲的指数乘积形式来表示。对于任何一个物理量x，其量纲可写作
dim x L T M
（1）
dim x L T M
导出量纲 速度 加速度 密度 力 dim v = LT-1 dim a = LT-2 dim ρ= M L-3 dim F = M L T-2
相似原理与量纲分析
• 1960年10月十一届国际计量大会确定了国际通用的国 际单位制，简称SI制。
• SI制：七个基本单位：长度m，时间s，质量kg，热力 学温度（Kelvin温度）K，电流单位A，光强度单位cad （坎德拉），物质的量mol
• 二个辅助单位：平面角弧度rad，立体角球面度Sr
量纲分析法
压强
dim p = M L-1 T-2
有量纲量和无量纲量： 水力学中任何物理量C的量纲可写成 [C]=[ M ][ L ][ T ] 当α、β、γ不全为0时，C称为有量纲量。 当α、β、γ全部为0时，C称为无量纲量或无量纲数。 有量纲量可分为三类： 1、几何学的量，α＝γ＝0，β≠0；
2、运动学的量， α＝0， γ ≠0；
也称纯数。
基本量与导出量适当组合可以组合成无量纲量。 无量纲量有如下特点：
①量纲表达式中的指数均为零；
②没有单位； ③量值与所采用的单位制无关。 由于基本量是彼此互相独立的，故它们之间不能组成无量纲量
量纲和谐
量纲和谐原理：一个完整正确的物理方程，不仅其等号两边的 数值相等，而且其中各项的量纲也一定相同。 由于物理方程的量纲具有一致性，可以用任意一项去除方程两 边，使方程每一项变为无量纲量，这样原方程就变为无量纲方程。 例如，动能方程 E 1
2 2 a 3 1 b
得 (5) 根据量纲和谐原理求量纲指数 [M]： 1 a [L]: 2 2a 3b c
[T]:
得 ：a
3 2a b
， 1
， b
1
c 1
(6) 整理方程式：N KQH K为由实验确定的系数。 求圆管层流的流量关系式。 [解] 圆管层流运动将在下一章详述，这里仅作为量纲 分析的方法来讨论。 (1) 找出影响圆管层流流量的物理量，包括管段两端的 压强差 p、管段长 l、半径 r0 、流体的粘度 。根据经 验和已有实验资料的分析，得知流量 Q与压强差p 成正 比，与管段长 l 成反比。因此，可将 p、l 归并为 项 p l ，得到： f (Q, p l , r0 , ) 0
一、瑞利法
瑞利法的基本原理是某一物理过程同几个物理量有关：
f (q1 , q2 , q3 , qn ) 0
其中的某个物理量 qi可表示为其他物理量的指数乘积：
qi Kq1 q2 qn1
a b p
（1）
写出量纲式：
[qi ] [q1 ]a [q2 ]b [qn1 ] p
量纲和谐原理是量纲分析的基础原理。凡正确反映客 观规律的物理方程，其各项的量纲一定是一致的，这是被 无数事实证实了的客观原理。例如粘性流体运动微分方程 式在x方向的公式:
u x u x u x u x 1 p 2 X u x ux uy uz x t x y z
将量纲式中各物理量的量纲按式(1)表示为基本量纲 的指数乘积形式，并根据量纲和谐原理，确定指数a、b、…p, 就可得出表达该物理过程的方程式。 下面通过例题说明瑞利法的应用步骤。
求水泵输出功率的表达式。
（1）找出同水泵输出功率N有关的物理量，包括单位Biblioteka Baidu 积水的重量
g 、流量Q、扬程H，即：