四川省棠湖中学2018-2019学年高二上学期第三次月考数学(理)试题(名师解析)

2018年秋四川省棠湖中学高二第三学月考试
数学（理）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1.不等式的解集是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
不等式的解集为：0<x<2.
【详解】不等式的解集为0<x<2,
故答案为：A.
【点睛】这个题目考查了一元二次不等式的解法问题，结合二次函数的特点即可得到结果.
2.命题“,均有”的否定为
A. ,均有
B. ,使得
C. ,使得
D. ,均有
【答案】C
【解析】
因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“，均有”的否定为：，使得，故选C.
3.“”是“”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
不等式等价于，故是的必要不充分条件.
【点睛】本小题考查对数不等式的解法，考查充分必要条件的判断.充分必要条件的判断主要依据是小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围.也即小范围是大范围的充分不必要条件，大范围是小范围的必要不充分条件.如果两个范围相等，则为充分必要条件.
4.用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本,将160名学生随机地从1~160编号,按编号顺序平均分成20组(1~8,9~16,…,153~160),若第15组得到的号码为116,则第1组中用抽签的方法确定的号码是
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
由系统抽样的法则，可知第n组抽出个数的号码应为x+8（n-1），即可得出结论．
【详解】由题意，可知系统抽样的组数为20，间隔为8，设第一组抽出的号码为x，则由系统抽样的法则，可知第n组抽出个数的号码应为x+8（n-1），所以第15组应抽出的号码为x+8（15-1）=116，解得x=4．
故选：C．
【点睛】系统抽样形象地讲是等距抽样，系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，系统抽样属于等可能抽样．
5.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是( )
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
抛物线y2＝4x的焦点坐标为F(1，0)，双曲线x2－＝1的渐近线为x±y＝0，
故点F到x±y＝0的距离d＝选B
6.设,若直线与直线平行,则的值为
A. B. C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】
【详解】由a（a+1）﹣2=0，解得a=﹣2或1．
经过验证：a=﹣2时两条直线重合，舍去．
∴a=1．
故选：B．
【点睛】本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7.不等式的解集是，则的值等于（）
A. －14
B. 14
C. －10
D. 10
【答案】C
【解析】
由题意可知是方程的两个根，所以,
所以,故选C.
8.中心在原点的椭圆长轴右顶点为，直线与椭圆相交于两点，中点的横坐标为，则此椭圆标准方程是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
设椭圆方程为，由椭圆长轴右顶点为可得椭圆方程可以化为，把直线
代入得，设，则的中点的横坐标为，
，解得椭圆的标准方程是，故选D.
9.已知抛物线的焦点为，抛物线上一点满足，则抛物线的方程为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
设抛物线的准线为，作直线于点，交轴于
即，据此可知抛物线的方程为：.
本题选择D选项.
点睛：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
10.已知点A,B,C在圆上运动，且AB BC，若点P的坐标为（2，0），则的最大值为（）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
【答案】B
【解析】
由题意，AC为直径，所以,当且仅当点B为（-1，0）时，
取得最大值7，故选B.
考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质
【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想. 由平面几何知识知，圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取到．圆周角为直角的弦为圆的半径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键.
视频
11.已知双曲线: 的左、右焦点为,过点的直线与双曲线的左支交于两点,若,则
的内切圆面积为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题干设圆的半径为r,切点为：N,M,P,设圆的圆心为I，根据直角三角形的内切圆的半径为
r=，通过推导得到A=r,再由三角形满足的勾股定理得到r的值，从而求出面积.
【详解】
根据题意画出图像，设圆的半径为r,切点为：N,M,P,设圆的圆心为I，根据直角三角形的内切圆的半径为
r=
令A=m,则根据直角三角形勾股定理得到
解得
故圆的面积为：.
故答案为：D
【点睛】这个题目考查的是双曲线的几何意义，以及双曲线的定义，在直角三角形中，它的内切圆的半径等于两直角边之和减去斜边，最后除以2，这是常见的结论.
12.设分别为双曲线的左右焦点,双曲线上存在一点使得
,则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
【答案】C
试题分析：因为，两边平方得：，
即，解得：，故，故选B．
考点：1．双曲线的定义；2．双曲线的简单几何性质．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．
【答案】
【解析】
双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)．
答案：
14.已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则
=__________．
【答案】8
【解析】
试题分析：由椭圆定义可知，即，由已知
.
考点：椭圆的定义．
【思路点睛】本题主要考查椭圆的定义，属基础题.由题给方程可知，椭圆，，由于直线经过，可
知为焦点三角形，由椭圆定义可知，又，
易得.涉及焦点三角形问题时，根据题意，配凑出形式，再利用椭圆的第一定义，解决有关问题.
15.已知点为抛物线：上一点，记到此抛物线准线的距离为，点到圆上点的距离
为，则的最小值为__________．
【解析】
易知圆的圆心为，半径为2，设抛物线的焦点为，连接，由抛物线的定义，得，
要求的最小值，需三点共线，且最小值为。

点睛：本题考查抛物线的定义的应用；涉及抛物线的焦点或准线的距离的最值问题是一种常考题型，往往利用抛物线的定义进行合理转化，而本题中，要将点到准线的距离转化成到焦点的距离，还要将点到圆上的点的距离的最值转化为点到圆心的距离减去半径.
16.设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是．
【答案】5
【解析】
试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，
所以，.
法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.
【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.
视频
17.已知命题;命题:函数在上是增函数;若命题“或”为真,命题“且”为假,求实数的取值范围.
【答案】。

【解析】
【分析】
由于“或”真，“且”假，所以一真一假.求出所对应的取值范围，还有对应的取值范围，然后根据真假或者假真两种情况来求得的取值范围.
【详解】p真时，(a－2)(6－a)>0，解得2<a<6.
q真时，4－a>1，解得a<3.
由命题“p或q”为真，“p且q”为假，可知命题p，q中一真一假．
当p真，q假时，得3≤a<6.
当p假，q真时，得a≤2.
因此实数a的取值范围是(－∞，2]∪[3,6)．
【点睛】本小题主要考查含有逻辑连接词命题的真假性的判断，以及求参数的取值范围. 由于“或”真，“且
”假，所以一真一假.本题属于中档题.
18.已知函数.
（Ⅰ）当时,解不等式;
（Ⅱ）若不等式的解集为,求实数的取值范围.
【答案】（I）或；（II）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）当时,不等式为,结合二次函数的特点解出不等式即可；（Ⅱ）分两种情况求解，当时,
恒成立,适合题意；②当时,应满足求解即可.
【详解】（Ⅰ）当时,不等式为,∴解集为或
（Ⅱ）若不等式的解集为,则①当时, 恒成立,适合题意;
②当时,应满足即解得由上可知,
【点睛】这个题目考查了不含参的二次不等式的求法，以及二次不等式在R上恒成立的应用，在整个实数集上恒成立，即满足判别式小于0，开口方向满足条件即可，若在小区间上恒成立，则可转化为轴动区间定的问题.
一”期间的宣传费用 (单位:万元)和利润 (单位:十万元)之间的关系,得到下列数据:
请回答:
（Ⅰ）请用相关系数说明与之间是否存在线性相关关系(当时,说明与之间具有线性相关关系); （Ⅱ）根据1的判断结果,建立与之间的回归方程,并预测当时,对应的利润为多少(精确到).
附参考公式:回归方程中中和最小二乘估计分别为,,
相关系数.
参考数据: .
【答案】（I）详见解析；（II），万元.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据公式得到相应的数据即可；（II）结合第一问可求求解出回归方程，代入24可得到估计值.
【详解】（Ⅰ）由题意得.
又,
所以,
因为
（II）因为,
所以回归直线方程为,
当时, ,即利润约为万元.
【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的
直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.
20.已知矩形的对角线交于点,边所在直线的方程为,点在边所在的直线上.
（Ⅰ）求矩形的外接圆的方程;
（Ⅱ）已知直线,求证:直线与矩形的外接圆恒相交,并求出相交的弦长最短时的直线的方程.
【答案】解：（1）由且，点在边所在的直线上
所在直线的方程是：即由得
矩形ABCD的外接圆的方程是：
（2）直线的方程可化为：
可看作是过直线和的交点的直线系,即恒过定点由知点在
圆内，所以与圆恒相交，
设与圆的交点为，为到的距离）
设与的夹角为，则当时，最大，最短此时的斜率为的斜率的负倒数：，
的方程为
即：
【解析】
则题意可知矩形外接圆圆心为，半径，可得外接圆方程；（２）由可知恒过点，求得
，可证与圆相交，求得与圆相交时弦长，经检验，时弦长最短，可得，进而得，最后可得直线方程．
试题解析：（1）∵且，∴，点在边所在的直线上，
∴所在直线的方程是，即．
由得．
∴，∴矩形的外接圆的方程是．
（2）证明：直线的方程可化为，
可看作是过直线和的交点的直线系，即恒过定点，
由知点在圆内，所以与圆恒相交，
设与圆的交点为（为到的距离），
设与的夹角为，则，当时，最大，最短．
此时的斜率为的斜率的负倒数，即，故的方程为，即．
考点：圆的标准方程；直线与圆相交．
视频
21.已知抛物线和的焦点分别为,,,,交于,两点(为坐标原点),且
.
（Ⅰ）求抛物线的方程;
（Ⅱ）过点的直线交,下半部分于点,交的左半部分于点,点的坐标为,求面积的最小值. 【答案】（1）（2）8
【解析】
试题分析：（1）由已知条件推导出，由，解得，结合点在抛物线上得到P=2.
（2）设过O的直线方程为y=kx，联立，得M（），联立，得N（4k，4k2），由此利用点到直线的距离公式能求出△PMN面积表达式，再换元法求得函数的最值。

（1）设，有①，由题意知，，，
∴
∵，∴，有，
解得，
将其代入①式解得，从而求得，
所以的方程为.
（2）联立得，联立得，
从而，
点到直线的距离，进而
令，有，
当，即时，
即当过原点直线为时，△面积取得最小值.
点睛：本题考查抛物线方程的求法，考查三角形面积的最小的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．在求三角形面积时常用的方法有，先看三角形中是否有定长，底或者高是否为定长；能否进行面积分割，等能使得计算简单一些。

22.已知点为圆的圆心, 是圆上的动点,点在圆的半径上,且有点和上的点,满足
,.
（Ⅰ）当点在圆上运动时,求点的轨迹方程;
（Ⅱ）若斜率为的直线与圆相切,与上题中所求点的轨迹交于不同的两点,是坐标原点,且时,求的取值范围.
【答案】（1）；（2）或
【解析】
试题分析：（1）中线段的垂直平分线，所以，所以点的轨迹是以点为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，从而可得椭圆方程；（2）设直线，直线与圆相切，可得直线方程与椭圆方程联立可得：，可得
，再利用数量积运算性质、根与系数的关系及其即可解出的范围.
试题解析：（1）由题意知中线段的垂直平分线，所以
所以点的轨迹是以点为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，
故点的轨迹方程式
（2）设直线
直线与圆相切
联立
所以或为所求.。