专题 选择压轴题分类练(十一大考点)(期末真题精选)(解析版)

专题07 选择压轴题分类练（十一大考点）
一．分式解的特点：解为正数，增根与无解辨析
1．若关于x的分式方程x+m
4−x2+
x
x−2
=1有增根，则m的值是（）
A．m＝2或m＝6B．m＝2C．m＝6D．m＝2或m＝﹣6试题分析：根据题意可得：x＝±2，然后把x的值代入到整式方程中进行计算即可解答．
答案详解：解：x+m
4−x2+
x
x−2
=1，
x+m﹣x（2+x）＝4﹣x2，
解得：x＝m﹣4，
∵分式方程有增根，
∴4﹣x2＝0，
∴x＝±2，
当x＝2时，m﹣4＝2，
∴m＝6，
当x＝﹣2时，m﹣4＝﹣2，∴m＝2，
∴m的值是6或2，
所以选：A．
2．关于x的方程mx
x−3=
3
x−3
无解，则m的值是1或0．
试题分析：先把分式方程化为整式方程得到mx＝3，由于关于x的分式方程mx
x−3=
3
x−3
无解，当
x＝3时，最简公分母x﹣3＝0，将x＝3代入方程mx＝3，解得m＝1，当m＝0时，方程也无解．答案详解：解：去分母得mx＝3，
∵x＝3时，最简公分母x﹣3＝0，此时整式方程的解是原方程的增根，
∴当x＝3时，原方程无解，此时3m＝3，解得m＝1，
当m＝0时，整式方程无解
∴m的值为1或0时，方程无解．
所以答案是：1或0．
3．若正整数m使关于x的分式方程m
(x+2)(x−1)=
x
x+2
−
x−2
x−1
的解为正数，则符合条件的m的个数
是（）
A．2B．3C．4D．5
试题分析：先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围，进而可求解．
答案详解：解：去分母得：m＝x（x﹣1）﹣（x﹣2）（x+2），
即m＝4﹣x，
解得x＝4﹣m，
由x为正数且（x﹣1）（x+2）≠0可得：4﹣m＞0且m≠6或3，
解得：m＜4且m≠3，．
∵m为正整数，
∴m的值为1，2共2个数．
所以选：A．
二．手拉手模型的灵活运用。

4．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ、OC．现有以下4个结论：
①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④OC平分∠AOE．
这些结论中一定成立的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
试题分析：由△ABC和△CDE是正三角形，其性质得三边相等，三个角为60°，平角的定义和角的和差得∠ACD＝∠BCE，边角边证明△ACD≌△BCE，其性质得结论①正确；角边角证明△ACP≌△BCQ得AP＝BQ，其结论③正确；角角边证明△ACM≌△BCN，其性质和角平分线性质定理的逆定理求出点C在∠AOE的平分线上，结论④正确．
答案详解：解：∵△ABC和△CDE是正三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝60°，
又∵∠ACD＝∠ACB+∠BCD，
∠BCE＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
{AC =BC ∠ACD =∠BCE DC =CE
，
∴△ACD ≌△BCE （SAS ），
∴AD ＝BE ，
∴结论①正确；
∵△ACD ≌△BCE ，
∴∠CAP ＝∠CBQ ，
又∵∠ACB +∠BCD +∠DCE ＝180°，
∴∠BCD ＝60°，
在△ACP 和△BCQ 中，
{∠CAP =∠CBQ
AC =BC ∠ACP =∠BCQ
，
∴△ACP ≌△BCQ （ASA ），
∴AP ＝BQ ，PC ＝QC ，
∴△PCQ 是等边三角形，
∴∠CPQ ＝∠CQP ＝60°，
∴∠CPQ ＝∠ACB ＝60°，
∴PQ ∥AE ，
∴结论②、③正确；
如图所示：过点C 分别作CM ⊥AD ，CN ⊥BE 于点M 、N 两点，
∵CM ⊥AD ，CN ⊥BE ，
∴∠AMC ＝∠BNC ＝90°，
在△ACM 和△BCN 中，
{∠CAM =∠CBN
∠AMC =∠BNC AC =BC ，
∴△ACM ≌△BCN （AAS ），
∴CM ＝CN ，
又∵OC 在∠AOE 的内部，
∴点C 在∠AOE 的平分线上，
∴结论④正确，
所以选：D ．
5．如图，在△ABC 与△AEF 中，AB ＝AE ，BC ＝EF ，∠ABC ＝∠AEF ，∠EAB ＝40°，AB 交EF 于点D ，连接EB ．下列结论：①∠F AC ＝40°；②AF ＝AC ；③∠EFB ＝40°；④AD ＝AC ，正确的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
试题分析：由“SAS ”可证△ABC ≌△AEF ，由全等三角形的性质依次判断可求解．
答案详解：解：在△ABC 和△AEF 中，
{AB =AE ∠ABC =∠AEF BC =EF
，
∴△ABC ≌△AEF （SAS ），
∴AF ＝AC ，∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠C ，故②正确，
∴∠BAE ＝∠F AC ＝40°，故①正确，
∵∠AFB ＝∠C +∠F AC ＝∠AFE +∠EFB ，
∴∠EFB ＝∠F AC ＝40°，故③正确，
无法证明AD ＝AC ，故④错误，
所以选：C ．
三．等腰的核心考点--对称
6．△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，若按如图的尺规作图方法作出线段BD ，则下列结论错误的是（ ）
A．AD＝BD B．∠BDC＝72°
C．S△ABD：S△BCD＝BC：AC D．△BCD的周长＝AB+BC
试题分析：根据作图痕迹发现BD平分∠ABC，然后根据等腰三角形的性质进行判断即可．答案详解：解：∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
由作图痕迹发现BD平分∠ABC，
∴∠A＝∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴AD＝BD，∠BDC＝72°，故A、B正确，不符合题意；
S△ABD：S△BCD＝AD：CD＝BC：CD，故C错误，符合题意；
△BCD的周长＝BC+CD+BD＝BC+AC＝AB+BC．，
故D正确，不符合题意．
所以选：C．
7．如图，△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝48°，点O为△ABC内一点，∠OAB＝12°，∠OBC＝18°，则∠ACO+∠AOB＝（）
A．190°B．195°C．200°D．210°
试题分析：根据已知易证CA＝CB，所以想到等腰三角形的三线合一性质，过点C作CD⊥AB，垂足为D，延长BO交CD与点P，然后连接AP，易证∠CAP＝∠CBP＝18°，从而求出∠P AO ＝18°，再利用三角形的外角求出∠POA的度数，放在直角三角形中求出∠ACP的度数，进而证△ACP≌△AOP，可得AC＝AO，最后放在等腰三角形ACO中求出∠ACO即可．
答案详解：解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，延长BO交CD与点P，连接AP，
∵∠OBC＝18°，∠CBA＝48°，
∴∠ABP＝∠CBA﹣∠OBC＝30°，
∵∠CAB＝∠CBA＝48°，
∴CA＝CB，
∵CD⊥AB，
∴CD是AB的垂直平分线，
∴P A＝PB，
∴∠P AB＝∠PBA＝30°，
∴∠CAP＝∠CAB﹣∠P AB＝18°，
∵∠AOP是△AOB的一个外角，
∴∠AOP＝∠OAB+∠OBA＝42°，
∵∠CDA＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠CAD＝42°，
∴∠AOP＝∠ACD，
∵∠P AB＝30°，∠OAB＝12°，
∴∠P AO＝∠P AB﹣∠OAB＝18°，
∴∠CAP＝∠OAP，
∵AP＝AP，
∴△ACP≌△AOP（AAS），
∴AC＝AO，
∵∠CAO＝∠CAP+∠OAP＝36°，
∴∠ACO＝∠AOC＝72°，
∵∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝138°，
∴∠ACO+∠AOB＝210°，
所以选：D．
8．如图，已知直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，在直线BC或AC上取一点P，
使得△ABP为等腰三角形，则符合条件的点有（）
A．4个B．5个C．6个D．7个
试题分析：根据等腰三角形的判定，分三种情况，画出图形解答即可．
答案详解：解：①AB的垂直平分线交直线AC于点P1，交BC于点P2，（此时P A＝PB）；
②以A为圆心，AB为半径画圆，交AC于二点P3，P1，交BC于点P4，（此时AB＝AP）；
③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5，P6，交AC有一点P1（此时BP＝BA）．
故符合条件的点有6个．
所以选：C．
四．中点+平行--全等模型
9．如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，当P A＝CQ 时，连接PQ交AC于点D，下列结论中不一定正确的是（）
A．PD＝DQ B．2DE＝AC C．2AE＝CQ D．PQ⊥AB
试题分析：利用平行线的性质结合全等三角形的判定与性质得出即可．
答案详解：解：过P 作PF ∥CQ 交AC 于F ，
∴∠FPD ＝∠Q ，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A ＝∠ACB ＝60°，
∴∠A ＝∠AFP ＝60°，
∴AP ＝PF ，
∵P A ＝CQ ，
∴PF ＝CQ ，
在△PFD 与△DCQ 中，
{∠FPD =∠Q
∠PDE =∠CDQ PF =CQ
，
∴△PFD ≌△QCD ，
∴PD ＝DQ ，DF ＝CD ，
∴A 选项正确，
∵AE ＝EF ，
∴2DE ＝AC ，∴B 选项正确，
∵PE ⊥AC ，∠A ＝60°，
∴2AE ＝AP ＝CQ ，
∴C 选项正确，
所以选：D ．
10．如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE ＝EF ，FC ∥AB ，若AB ＝8，CF ＝6，则BD 的长是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
试题分析：根据平行线的性质，得出∠A ＝∠FCE ，∠ADE ＝∠F ，根据全等三角形的判定，得出△ADE ≌△CFE ，根据全等三角形的性质，得出AD ＝CF ，根据AB ＝8，CF ＝6，即可求线段DB 的长．
答案详解：解：∵CF ∥AB ，
∴∠A ＝∠FCE ，∠ADE ＝∠F ，
在△ADE 和△CFE 中，
{∠A =∠FCE
∠ADE =∠F DE =FE
，
∴△ADE ≌△CFE （AAS ），
∴AD ＝CF ＝6，
∵AB ＝8，
∴DB ＝AB ﹣AD ＝8﹣6＝2．
所以选：B ． 五．直角的两大考点--30°与斜中线
11．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，点D 是斜边AB 的中点，DE ⊥AC ，垂足为E ，BC ＝4，则DE 的长是（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
试题分析：根据含30°角的直角三角形的性质可求解AB 的长，结合斜边上中点的性质可求解CD ＝AD ＝4，再根据30°角的直角三角形的性质可求解．
答案详解：解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝4，
∴AB ＝2BC ＝8，
∵点D 是斜边AB 的中点，
∴CD ＝AD =12
AB ＝4，
∵DE ⊥AC ，垂足为E ，
∴DE =12AD ＝2，
所以选：A ．
12．如图，△ABC 中，点D 在BC 上，∠ACB ＝75°，∠BAC ＝∠ADC ＝60°，AE ⊥BC 于E ，CF ⊥AD 于F ，AE 、CF 相交于点G ．DC ＝m ，AF ＝n ，则线段EG 的长为（ ）
A ．12n −14m
B ．12n +14m
C ．12n −12m
D ．12n +12m
试题分析：利用AAS 证明△AFG ≌△CFD 可得CF ＝AF ＝n ，再根据含30°角的直角三角形的性质可求得FG ＝DF =12m ，进而可求CG ＝CF ﹣FG ＝n −12m ，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求解．
答案详解：解：∵∠ACB ＝75°，∠BAC ＝60°，
∴∠ABC ＝180°﹣∠ACB ﹣∠BAC ＝45°
∵∠ADC ＝60°，
∴∠ADB ＝120°，
∴∠DAC ＝∠ADB ﹣∠ACB ＝120°﹣75°＝45°，
又∵CF ⊥AD ，
∴∠AFC ＝∠CFD ＝90°，∠ACF ＝∠DAC ＝45°，
∴AF ＝CF ，
∵CF ⊥AD ，AE ⊥BC ，
∴∠CDF +∠DCF ＝∠CGE +∠DCF ＝90°，
∴∠CDF ＝∠CGE ，
又∵∠CGE ＝∠AGF ，
∴∠AGF ＝∠CDF ，
∵在△AFG和△CFD中，
∠AFC＝∠AED，∠AGF＝∠CDF，AF＝CF，
∴△AFG≌△CFD（AAS），
∴CF＝AF＝n，
在Rt△CFD中，∠CFD＝90°，∠FCD＝30°，
∴DF=1
2CD=
1
2m，
∴FG＝DF=1
2m，
∴CG＝CF﹣FG＝n−1
2m，
在Rt△CGE中，∠AEC＝90°，∠FCD＝30°，
∴EG=1
2CG=
1
2
n−14m．
所以选：A．
六．全等三角形的判定与性质的灵活运用。

13．已知△ABC是边长为10的等边三角形，D为AC的中点，∠EDF＝120°，DE交线段AB于E，DF交BC的延长线于F．若AE＝4BE，则CF的长为（）
A．1B．2C．3D．4
试题分析：作DK∥BC交AB于K．证明△EDK≌△FDC（SAS），由全等三角形的性质即可解决问题．
答案详解：解：作DK∥BC交AB于K．
设BE＝a，则AE＝4a，AK＝BK=5
2a，△ADK是等边三角形，
∴∠ADK ＝60°，∠EDF ＝∠KDC ，
∴∠KDE ＝∠CDF ，
在△EDK 和△FDC 中，
{DK =DC ∠KDE =∠CDF DE =DF
，
∴△EDK ≌△FDC （SAS ），
∴EK ＝CF =32a ，
∵BC ＝5a ＝10，
∴a ＝2，
∴CF ＝3，
所以选：C ．
14．如图，在平面直角坐标系中，B （0，1），C （0，﹣1），D 为x 轴正半轴上一点，A 为第一象限内一动点，且∠BAC ＝2∠BDO ，DM ⊥AC 于M ，BD 交AC 于点N ．下列说法正确的是（ ） ①∠ABD ＝∠ACD ；②AD 平分∠CAE ；③AD ＝ND ；④AC−AB AM =2；
A ．①③④
B ．①②④
C ．②③④
D ．②③④
试题分析：①根据点B 和点C 的坐标可得OB ＝OC ，从而可知OD 是BC 的垂直平分线，可得BD ＝CD ，再利用等腰三角形的三线合一性质证明∠BDC ＝2∠BDO ，易得∠BAC ＝∠BDC ，最后利用三角形内角和证明∠ABD ＝∠ACD ；
②要证明AD 平分∠CAE ，想到利用角平分线性质定理的逆定理，所以过D 作DF ⊥BE 于F ，只要证明DM ＝DF 即可，易证△BDF ≌△CDM ，根据全等三角形的性质得到DM ＝DF ；
③要使AD ＝ND ，就要使∠DAN ＝∠AND ，由②得∠DAE ＝∠DAN ，而∠DAE ＝∠ABD +∠ADB ，∠AND ＝∠ABD +∠BAC ，由①得∠BAC ＝∠BDC ，所以只要判断∠BDC 与∠ADB 是否相等即可；
④根据全等三角形的性质得到BF＝CM，易证△AMD≌△AFD，得到AF＝AM，由于BF＝AF+AB ＝AM+AB，CM＝AC﹣AM，于是得到AM+AB＝AC﹣AM，求得AC﹣AB＝2AM，于是得到结论．答案详解：解：①∵B（0，1），C（0，﹣1），
∴BO＝CO＝1
∵OD⊥BC，
∴OD是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴∠BDC＝2∠BDO，
∵∠BAC＝2∠BDO
∴∠BAC＝∠BDC，
∵∠ANB＝∠CND，
∴∠ABD＝∠ACD，
故①正确，
②过D作DF⊥BE于F，如图：
∵BD＝CD，∠ABD＝∠ACD，∠CMD＝∠BFD＝90°
∴△BDF≌△CDM（AAS），
∴DM＝DN，
∴AD是∠CAE的角平分线，
故②正确，
③∵∠AND＝∠ABD+∠BAC，∠BAC＝∠BDC，
∴∠AND＝∠ABD+∠BDC，
∵∠DAE＝∠ABD+∠ADB，∠DAE＝∠DAN，
∴∠DAN＝∠ABD+∠ADB，
∵∠ADB≠∠BDC，
∴∠AND≠∠DAN，
∴AD≠ND，
故③不正确；
④∵DM＝DF，AD＝AD，
∴Rt△AMD≌Rt△AFD（HL），
∴AM＝AF，
∵△BDF≌△CDM，
∴BF＝CM，
∵BF＝AF+AB＝AM+AB，CM＝AC﹣AM，∴AM+AB＝AC﹣AM，
∴AC﹣AB＝2AM，
∴AC−AB
AM
=2，
故④正确，
所以选：B．
15．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（a，0），C（m，n）（n＞0）．若△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，当0＜a＜1时，点C的横坐标m的取值范围是（）
A．0＜m＜2B．2＜m＜3C．m＜3D．m＞3
试题分析：过点C作CD⊥x轴于D，由“AAS”可证△AOB≌△BDC，可得AO＝BD＝2，BO＝CD＝n＝a，即可求解．
答案详解：解：如图，过点C作CD⊥x轴于D，
∵点A （0，2），
∴AO ＝2，
∵△ABC 是等腰直角三角形，且AB ＝BC ，
∴∠ABC ＝90°＝∠AOB ＝∠BDC ，
∴∠ABO +∠CBD ＝90°＝∠ABO +∠BAO ，
∴∠BAO ＝∠CBD ，
在△AOB 和△BDC 中，
{∠AOB =∠BDC
∠BAO =∠CBD AB =BC
，
∴△AOB ≌△BDC （AAS ），
∴AO ＝BD ＝2，BO ＝CD ＝n ＝a ，
∴0＜a ＜1，
∵OD ＝OB +BD ＝2+a ＝m ，
∴2＜m ＜3，
所以选：B ．
16．如图，在△ACD 中，∠CAD ＝60°，以AC 为底边向外作等腰△ABC ，∠BAC +∠ADC ＝60°，在CD 上截取DE ＝AB ，连接BE ．若∠BEC ＝30°，则∠BAC 的度数为（ ）
A ．10°
B ．15°
C ．20°
D ．30°
试题分析：如图所示，在DC 的下方作∠CDT ＝∠BAC ，DT 交AC 的延长线于点T ，连接ET ，DB ，BT ．证明△ADT ，△EBT 都是等边三角形，再证明DA ＝DB ，∠BAC ＝∠ADB ，利用参数构建方程，可得结论．
答案详解：解：如图所示，在DC 的下方作∠CDT ＝∠BAC ，DT 交AC 的延长线于点T ，连接ET ，DB ，BT
∵∠BAC+∠ADC＝60°，∠CDT＝∠BAC，∴∠ADT＝60°，
∵∠DAT＝60°，
∴△ADT是等边三角形，
∴DT＝AT，
∵AB＝DE，
∴△BAT≌△EDT（SAS），
∴TB＝TE，∠ATB＝∠DTE，
∴∠BTE＝∠ATD＝60°，
∴△BTE是等边三角形，
∴EB＝ET，∠BET＝60°，
∵∠BEC＝30°，
∴∠TEC＝∠BEC＝30°，
∴∠DEB＝∠DET，
∵ED＝ED，
∴△DEB≌△DET（SAS），
∴∠EDB＝∠EDT，DB＝DT，
∵∠BAC＝∠CDT，
∴∠BAC＝∠EDT＝∠EDB，
∵DC＝DC，∠CDB＝∠CDT，DB＝DT，∴△DCB≌△DCT（SAS），
∴∠CBD＝∠CTD＝60°，
∴∠CBD＝∠CAD＝60°，
∴∠ADB＝∠ACB，
∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴∠BAC＝∠ADB，
设∠BAC＝∠ADB＝x，
∵DA＝DT，DB＝DT，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠DBA＝x+60°，
∴2（x+60°）+x＝180°，
∴x＝20°，
∴∠BAC＝20°，
所以选：C．
七．经典考点--最短路线：钥匙--共线
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）
A．BC B．CE C．AD D．AC
试题分析：如图连接PC，只要证明PB＝PC，即可推出PB+PE＝PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度．
答案详解：解：如图连接PC，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴PB＝PC，
∴PB+PE＝PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
所以选：B．
18．如图，等边△ABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，且BP＝AQ＝4，QD＝3，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为（）
A．7B．8C．10D．12
试题分析：作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′，
答案详解：解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC，
∵BD⊥AC，AQ＝4cm，QD＝3，
∴AD＝DC＝AQ+QD＝7，
作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′，
∵AQ＝4cm，AD＝DC＝7，
∴QD＝DQ′＝3，
∴CQ′＝BP＝4，
∴AP＝AQ′＝10，
∵∠A＝60°，
∴△APQ′是等边三角形，
∴PQ′＝P A＝10，
∴PE+QE的最小值为10．
所以选：C．
19．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF分别交AB、AC边于点E、F，点K为EF上一动点，则BK+CK的最小值是以下哪条线段的长度（）
A．EF B．AB C．AC D．BC
试题分析：连接AK，根据线段垂直平分线的性质得到AK＝BK，求得BK+CK＝AK+CK，得到AK+CK 的最小值＝BK+CK的最小值，于是得到当AK+CK＝AC时，AK+CK的值最小，即BK+CK的值最小，即可得到结论．
答案详解：解：连接AK，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AK＝BK，
∴BK+CK＝AK+CK，
∴AK+CK的最小值＝BK+CK的最小值，
∵AK+CK≥AC，
∴当AK+CK＝AC时，AK+CK的值最小，即BK+CK的值最小，
∴BK+CK的最小值是线段AC的长度，
所以选：C．
20．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN的度数为（）
A．15°B．22.5°C．30°D．47.5°
试题分析：如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．证明△ABM≌△CHN（SAS），推出BM＝HN，由BN+HN≥BH，可知B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，求出此时∠MBN即可解决问题．
答案详解：解：如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，
∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，
∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，
∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，
∴△ABM≌△CHN（SAS），
∴BM＝HN，
∵BN+HN≥BH，
∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，
如图2中，当B，N，H共线时，
∵△ABM≌△CHN，
∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，
∵∠ABD＝60°，
∴∠DBM＝15°，
∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，
∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°，
所以选：C．
21．如图，等腰△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝4，点D为直线AB上一动点，以线段CD为腰在右侧作等腰△CDE，且∠DCE＝120°，连接AE，则AE的最小值为（）
A．2√3B．4C．6D．8
试题分析：连接BE并延长交AC延长线于F，利用SAS证明△ACD≌△BCE，得∠CBE＝∠CAD ＝30°，由CB为定直线，∠CBE＝30°为定值，则AF⊥BE时，AE最小，从而解决问题．
答案详解：解：连接BE并延长交AC延长线于F，
∵∠ACB＝120°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝30°，
∵∠DCE＝120°＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵AC＝BC，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE＝∠CAD＝30°，
∵CB为定直线，∠CBE＝30°为定值，
∴当D在直线AB上运动时，E也在定直线上运动，
当AE⊥BE时，AE最小，
∵∠CAB＝30°＝∠ABC＝∠CBE，
∴∠AFB＝90°，
∴当E与F重合时，AE最小，在Rt△CBF中，∠CFB＝90°，∠CBF＝30°，
∴CF=1
2
CB=2，
∴AF＝AC+CF＝6，
∴AE的最小值为AF＝6，
所以选：C．
八．多边形内角与外角
22．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（）
A．240°B．360°C．540°D．720°试题分析：根据四边形的内角和及三角形的外角定理即可求解．
答案详解：解：如图，AC、DF与BE分别相交于点M、N，
在四边形NMCD中，∠MND+∠CMN+∠C+∠D＝360°，
∵∠CMN＝∠A+∠E，∠MND＝∠B+∠F，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，
所以选：B．
九．坐标与图形变化-对称
23．在平面直角坐标系中，点M（m+2n，﹣3）和N（−1
2m﹣n，6），其中m＞﹣2n，点M与点N
关于直线l（直线l上各点的横纵坐标相等）对称，则m与n的数量关系为（）
A．m+3n＝6B．m＝﹣n C．m+2n＝﹣3D．m+2n＝6
试题分析：直线l上各点的横纵坐标相等，于是得到直线l的解析式为y＝x，即直线l为第一和
第三象限的角平分线，推出点M（m+2n，﹣3）在第四象限，得到N（−1
2m﹣n，6）在第二象限，
且点M到y轴的距离与点N到x轴的距离相等，于是得到结论．答案详解：解：∵直线l上各点的横纵坐标相等，
∴直线l的解析式为y＝x，
即直线l为第一和第三象限的角平分线，
∵m＞﹣2n，
∴m+2n＞0，
∴点M（m+2n，﹣3）在第四象限，
∵点M与点N关于直线l（直线l上各点的横纵坐标相等）对称，
∴N（−1
2m﹣n，6）在第二象限，且点M到y轴的距离与点N到x轴的距离相等，
∴m+2n＝6，所以选：D．
十．因式分解的灵活运用
24．若a，b，c是直角三角形ABC的三边长，且a2+b2+c2+200＝12a+16b+20c，则△ABC三条角平分线的交点到一条边的距离为（）
A．1B．2C．3D．4
试题分析：先配方求a，b，c，再求距离．
答案详解：解：∵a2+b2+c2+200＝12a+16b+20c．
∴a2﹣12a+36+b2﹣16b+64+c2﹣20c+100＝0．
∴（a﹣6）2+（b﹣8）2+（（c﹣10）2）＝0．
∴a﹣6＝0，b﹣8＝0，c﹣10＝0．
∴a＝6，b＝8，c＝10．
三角形内角平分线，交点是三角形内心，三角形内心到三角形三边的距离相等．
由直角三角形性质知，直角三角形的内心到一条边的距离为：r=a+b−c
2
=6+8−10
2
=2．
所以选：B．
25．已知x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣6x2+2x+1＝（）
A．﹣1B．5C．﹣3D．1
试题分析：原式变形后，分解因式，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
答案详解：解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x＝1，
原式＝2x3﹣4x2﹣2x2+2x+1
＝2x（x2﹣2x）﹣2x2+2x+1
＝2x﹣2x2+2x+1
＝﹣2x2+4x+1
＝﹣2（x2﹣2x）+1
＝﹣2+1
＝﹣1．
所以选：A．
十一．数形结合--多项式的乘法与图形面积。

26．某中学开展“筑梦冰雪，相约冬奥”的学科活动，设计几何图形作品表达对冬奥会的祝福．小
冬以长方形ABCD 的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为24，面积之和为12，则长方形ABCD 的面积为（ ）
A ．1
B ．32
C ．2
D ．83 试题分析：设AB ＝a ，BC ＝b ，由四个正方形的周长之和为24，面积之和为12列方程求解即可． 答案详解：解：设AB ＝a ，BC ＝b ，由四个正方形的周长之和为24，面积之和为12可得， 4a ×2+4b ×2＝24，2a 2+2b 2＝12，
即a +b ＝3①，a 2+b 2＝6②，
由①得，a 2+2ab +b 2＝9③，
③﹣②得2ab ＝3，
所以ab =32，
即长方形ABCD 的面积为32， 所以选：B ．
27．如图，矩形ABCD 的周长是10cm ，以AB ，AD 为边向外作正方形ABEF 和正方形ADGH ，若正方形ABEF 和ADGH 的面积之和为17cm 2，那么矩形ABCD 的面积是（ ）
A ．3cm 2
B ．4cm 2
C ．5cm 2
D ．6cm 2
试题分析：设AB ＝x ，AD ＝y ，根据题意列出方程x 2+y 2＝17，2（x +y ）＝10，利用完全平方公式即可求出xy 的值．
答案详解：解：设AB ＝x ，AD ＝y ，
∵正方形ABEF 和ADGH 的面积之和为17cm 2
∴x 2+y 2＝17，
∵矩形ABCD 的周长是10cm
∴2（x+y）＝10，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴25＝17+2xy，
∴xy＝4，
∴矩形ABCD的面积为：xy＝4cm2，所以选：B．。