专题 选择压轴题分类练(十一大考点)(期末真题精选)(解析版)
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专题07 选择压轴题分类练(十一大考点)
一.分式解的特点:解为正数,增根与无解辨析
1.若关于x的分式方程x+m
4−x2+
x
x−2
=1有增根,则m的值是()
A.m=2或m=6B.m=2C.m=6D.m=2或m=﹣6试题分析:根据题意可得:x=±2,然后把x的值代入到整式方程中进行计算即可解答.
答案详解:解:x+m
4−x2+
x
x−2
=1,
x+m﹣x(2+x)=4﹣x2,
解得:x=m﹣4,
∵分式方程有增根,
∴4﹣x2=0,
∴x=±2,
当x=2时,m﹣4=2,
∴m=6,
当x=﹣2时,m﹣4=﹣2,∴m=2,
∴m的值是6或2,
所以选:A.
2.关于x的方程mx
x−3=
3
x−3
无解,则m的值是1或0.
试题分析:先把分式方程化为整式方程得到mx=3,由于关于x的分式方程mx
x−3=
3
x−3
无解,当
x=3时,最简公分母x﹣3=0,将x=3代入方程mx=3,解得m=1,当m=0时,方程也无解.答案详解:解:去分母得mx=3,
∵x=3时,最简公分母x﹣3=0,此时整式方程的解是原方程的增根,
∴当x=3时,原方程无解,此时3m=3,解得m=1,
当m=0时,整式方程无解
∴m的值为1或0时,方程无解.
所以答案是:1或0.
3.若正整数m使关于x的分式方程m
(x+2)(x−1)=
x
x+2
−
x−2
x−1
的解为正数,则符合条件的m的个数
是()
A.2B.3C.4D.5
试题分析:先解关于x的分式方程,求得x的值,然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围,进而可求解.
答案详解:解:去分母得:m=x(x﹣1)﹣(x﹣2)(x+2),
即m=4﹣x,
解得x=4﹣m,
由x为正数且(x﹣1)(x+2)≠0可得:4﹣m>0且m≠6或3,
解得:m<4且m≠3,.
∵m为正整数,
∴m的值为1,2共2个数.
所以选:A.
二.手拉手模型的灵活运用。
4.如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ、OC.现有以下4个结论:
①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④OC平分∠AOE.
这些结论中一定成立的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
试题分析:由△ABC和△CDE是正三角形,其性质得三边相等,三个角为60°,平角的定义和角的和差得∠ACD=∠BCE,边角边证明△ACD≌△BCE,其性质得结论①正确;角边角证明△ACP≌△BCQ得AP=BQ,其结论③正确;角角边证明△ACM≌△BCN,其性质和角平分线性质定理的逆定理求出点C在∠AOE的平分线上,结论④正确.
答案详解:解:∵△ABC和△CDE是正三角形,
∴AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠ECD=60°,
又∵∠ACD=∠ACB+∠BCD,
∠BCE=∠DCE+∠BCD,
∴∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中,
{AC =BC ∠ACD =∠BCE DC =CE
,
∴△ACD ≌△BCE (SAS ),
∴AD =BE ,
∴结论①正确;
∵△ACD ≌△BCE ,
∴∠CAP =∠CBQ ,
又∵∠ACB +∠BCD +∠DCE =180°,
∴∠BCD =60°,
在△ACP 和△BCQ 中,
{∠CAP =∠CBQ
AC =BC ∠ACP =∠BCQ
,
∴△ACP ≌△BCQ (ASA ),
∴AP =BQ ,PC =QC ,
∴△PCQ 是等边三角形,
∴∠CPQ =∠CQP =60°,
∴∠CPQ =∠ACB =60°,
∴PQ ∥AE ,
∴结论②、③正确;
如图所示:过点C 分别作CM ⊥AD ,CN ⊥BE 于点M 、N 两点,
∵CM ⊥AD ,CN ⊥BE ,
∴∠AMC =∠BNC =90°,
在△ACM 和△BCN 中,
{∠CAM =∠CBN
∠AMC =∠BNC AC =BC ,
∴△ACM ≌△BCN (AAS ),
∴CM =CN ,
又∵OC 在∠AOE 的内部,
∴点C 在∠AOE 的平分线上,
∴结论④正确,
所以选:D .
5.如图,在△ABC 与△AEF 中,AB =AE ,BC =EF ,∠ABC =∠AEF ,∠EAB =40°,AB 交EF 于点D ,连接EB .下列结论:①∠F AC =40°;②AF =AC ;③∠EFB =40°;④AD =AC ,正确的个数为( )
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
试题分析:由“SAS ”可证△ABC ≌△AEF ,由全等三角形的性质依次判断可求解.
答案详解:解:在△ABC 和△AEF 中,
{AB =AE ∠ABC =∠AEF BC =EF
,
∴△ABC ≌△AEF (SAS ),
∴AF =AC ,∠EAF =∠BAC ,∠AFE =∠C ,故②正确,
∴∠BAE =∠F AC =40°,故①正确,
∵∠AFB =∠C +∠F AC =∠AFE +∠EFB ,
∴∠EFB =∠F AC =40°,故③正确,
无法证明AD =AC ,故④错误,
所以选:C .
三.等腰的核心考点--对称
6.△ABC 中,AB =AC ,∠A =36°,若按如图的尺规作图方法作出线段BD ,则下列结论错误的是( )
A.AD=BD B.∠BDC=72°
C.S△ABD:S△BCD=BC:AC D.△BCD的周长=AB+BC
试题分析:根据作图痕迹发现BD平分∠ABC,然后根据等腰三角形的性质进行判断即可.答案详解:解:∵△ABC中,AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠ACB=72°,
由作图痕迹发现BD平分∠ABC,
∴∠A=∠ABD=∠DBC=36°,
∴AD=BD,∠BDC=72°,故A、B正确,不符合题意;
S△ABD:S△BCD=AD:CD=BC:CD,故C错误,符合题意;
△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+AC=AB+BC.,
故D正确,不符合题意.
所以选:C.
7.如图,△ABC中,∠CAB=∠CBA=48°,点O为△ABC内一点,∠OAB=12°,∠OBC=18°,则∠ACO+∠AOB=()
A.190°B.195°C.200°D.210°
试题分析:根据已知易证CA=CB,所以想到等腰三角形的三线合一性质,过点C作CD⊥AB,垂足为D,延长BO交CD与点P,然后连接AP,易证∠CAP=∠CBP=18°,从而求出∠P AO =18°,再利用三角形的外角求出∠POA的度数,放在直角三角形中求出∠ACP的度数,进而证△ACP≌△AOP,可得AC=AO,最后放在等腰三角形ACO中求出∠ACO即可.
答案详解:解:过点C作CD⊥AB,垂足为D,延长BO交CD与点P,连接AP,
∵∠OBC=18°,∠CBA=48°,
∴∠ABP=∠CBA﹣∠OBC=30°,
∵∠CAB=∠CBA=48°,
∴CA=CB,
∵CD⊥AB,
∴CD是AB的垂直平分线,
∴P A=PB,
∴∠P AB=∠PBA=30°,
∴∠CAP=∠CAB﹣∠P AB=18°,
∵∠AOP是△AOB的一个外角,
∴∠AOP=∠OAB+∠OBA=42°,
∵∠CDA=90°,
∴∠ACD=90°﹣∠CAD=42°,
∴∠AOP=∠ACD,
∵∠P AB=30°,∠OAB=12°,
∴∠P AO=∠P AB﹣∠OAB=18°,
∴∠CAP=∠OAP,
∵AP=AP,
∴△ACP≌△AOP(AAS),
∴AC=AO,
∵∠CAO=∠CAP+∠OAP=36°,
∴∠ACO=∠AOC=72°,
∵∠AOB=180°﹣∠OAB﹣∠OBA=138°,
∴∠ACO+∠AOB=210°,
所以选:D.
8.如图,已知直角三角形ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=60°,在直线BC或AC上取一点P,
使得△ABP为等腰三角形,则符合条件的点有()
A.4个B.5个C.6个D.7个
试题分析:根据等腰三角形的判定,分三种情况,画出图形解答即可.
答案详解:解:①AB的垂直平分线交直线AC于点P1,交BC于点P2,(此时P A=PB);
②以A为圆心,AB为半径画圆,交AC于二点P3,P1,交BC于点P4,(此时AB=AP);
③以B为圆心,BA为半径画圆,交BC有二点P5,P6,交AC有一点P1(此时BP=BA).
故符合条件的点有6个.
所以选:C.
四.中点+平行--全等模型
9.如图,等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上的一点,当P A=CQ 时,连接PQ交AC于点D,下列结论中不一定正确的是()
A.PD=DQ B.2DE=AC C.2AE=CQ D.PQ⊥AB
试题分析:利用平行线的性质结合全等三角形的判定与性质得出即可.
答案详解:解:过P 作PF ∥CQ 交AC 于F ,
∴∠FPD =∠Q ,
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠A =∠ACB =60°,
∴∠A =∠AFP =60°,
∴AP =PF ,
∵P A =CQ ,
∴PF =CQ ,
在△PFD 与△DCQ 中,
{∠FPD =∠Q
∠PDE =∠CDQ PF =CQ
,
∴△PFD ≌△QCD ,
∴PD =DQ ,DF =CD ,
∴A 选项正确,
∵AE =EF ,
∴2DE =AC ,∴B 选项正确,
∵PE ⊥AC ,∠A =60°,
∴2AE =AP =CQ ,
∴C 选项正确,
所以选:D .
10.如图,D 是AB 上一点,DF 交AC 于点E ,DE =EF ,FC ∥AB ,若AB =8,CF =6,则BD 的长是( )
A .1
B .2
C .3
D .4
试题分析:根据平行线的性质,得出∠A =∠FCE ,∠ADE =∠F ,根据全等三角形的判定,得出△ADE ≌△CFE ,根据全等三角形的性质,得出AD =CF ,根据AB =8,CF =6,即可求线段DB 的长.
答案详解:解:∵CF ∥AB ,
∴∠A =∠FCE ,∠ADE =∠F ,
在△ADE 和△CFE 中,
{∠A =∠FCE
∠ADE =∠F DE =FE
,
∴△ADE ≌△CFE (AAS ),
∴AD =CF =6,
∵AB =8,
∴DB =AB ﹣AD =8﹣6=2.
所以选:B . 五.直角的两大考点--30°与斜中线
11.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠A =30°,点D 是斜边AB 的中点,DE ⊥AC ,垂足为E ,BC =4,则DE 的长是( )
A .2
B .4
C .6
D .8
试题分析:根据含30°角的直角三角形的性质可求解AB 的长,结合斜边上中点的性质可求解CD =AD =4,再根据30°角的直角三角形的性质可求解.
答案详解:解:在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠A =30°,BC =4,
∴AB =2BC =8,
∵点D 是斜边AB 的中点,
∴CD =AD =12
AB =4,
∵DE ⊥AC ,垂足为E ,
∴DE =12AD =2,
所以选:A .
12.如图,△ABC 中,点D 在BC 上,∠ACB =75°,∠BAC =∠ADC =60°,AE ⊥BC 于E ,CF ⊥AD 于F ,AE 、CF 相交于点G .DC =m ,AF =n ,则线段EG 的长为( )
A .12n −14m
B .12n +14m
C .12n −12m
D .12n +12m
试题分析:利用AAS 证明△AFG ≌△CFD 可得CF =AF =n ,再根据含30°角的直角三角形的性质可求得FG =DF =12m ,进而可求CG =CF ﹣FG =n −12m ,再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求解.
答案详解:解:∵∠ACB =75°,∠BAC =60°,
∴∠ABC =180°﹣∠ACB ﹣∠BAC =45°
∵∠ADC =60°,
∴∠ADB =120°,
∴∠DAC =∠ADB ﹣∠ACB =120°﹣75°=45°,
又∵CF ⊥AD ,
∴∠AFC =∠CFD =90°,∠ACF =∠DAC =45°,
∴AF =CF ,
∵CF ⊥AD ,AE ⊥BC ,
∴∠CDF +∠DCF =∠CGE +∠DCF =90°,
∴∠CDF =∠CGE ,
又∵∠CGE =∠AGF ,
∴∠AGF =∠CDF ,
∵在△AFG和△CFD中,
∠AFC=∠AED,∠AGF=∠CDF,AF=CF,
∴△AFG≌△CFD(AAS),
∴CF=AF=n,
在Rt△CFD中,∠CFD=90°,∠FCD=30°,
∴DF=1
2CD=
1
2m,
∴FG=DF=1
2m,
∴CG=CF﹣FG=n−1
2m,
在Rt△CGE中,∠AEC=90°,∠FCD=30°,
∴EG=1
2CG=
1
2
n−14m.
所以选:A.
六.全等三角形的判定与性质的灵活运用。
13.已知△ABC是边长为10的等边三角形,D为AC的中点,∠EDF=120°,DE交线段AB于E,DF交BC的延长线于F.若AE=4BE,则CF的长为()
A.1B.2C.3D.4
试题分析:作DK∥BC交AB于K.证明△EDK≌△FDC(SAS),由全等三角形的性质即可解决问题.
答案详解:解:作DK∥BC交AB于K.
设BE=a,则AE=4a,AK=BK=5
2a,△ADK是等边三角形,
∴∠ADK =60°,∠EDF =∠KDC ,
∴∠KDE =∠CDF ,
在△EDK 和△FDC 中,
{DK =DC ∠KDE =∠CDF DE =DF
,
∴△EDK ≌△FDC (SAS ),
∴EK =CF =32a ,
∵BC =5a =10,
∴a =2,
∴CF =3,
所以选:C .
14.如图,在平面直角坐标系中,B (0,1),C (0,﹣1),D 为x 轴正半轴上一点,A 为第一象限内一动点,且∠BAC =2∠BDO ,DM ⊥AC 于M ,BD 交AC 于点N .下列说法正确的是( ) ①∠ABD =∠ACD ;②AD 平分∠CAE ;③AD =ND ;④AC−AB AM =2;
A .①③④
B .①②④
C .②③④
D .②③④
试题分析:①根据点B 和点C 的坐标可得OB =OC ,从而可知OD 是BC 的垂直平分线,可得BD =CD ,再利用等腰三角形的三线合一性质证明∠BDC =2∠BDO ,易得∠BAC =∠BDC ,最后利用三角形内角和证明∠ABD =∠ACD ;
②要证明AD 平分∠CAE ,想到利用角平分线性质定理的逆定理,所以过D 作DF ⊥BE 于F ,只要证明DM =DF 即可,易证△BDF ≌△CDM ,根据全等三角形的性质得到DM =DF ;
③要使AD =ND ,就要使∠DAN =∠AND ,由②得∠DAE =∠DAN ,而∠DAE =∠ABD +∠ADB ,∠AND =∠ABD +∠BAC ,由①得∠BAC =∠BDC ,所以只要判断∠BDC 与∠ADB 是否相等即可;
④根据全等三角形的性质得到BF=CM,易证△AMD≌△AFD,得到AF=AM,由于BF=AF+AB =AM+AB,CM=AC﹣AM,于是得到AM+AB=AC﹣AM,求得AC﹣AB=2AM,于是得到结论.答案详解:解:①∵B(0,1),C(0,﹣1),
∴BO=CO=1
∵OD⊥BC,
∴OD是BC的垂直平分线,
∴DB=DC,
∴∠BDC=2∠BDO,
∵∠BAC=2∠BDO
∴∠BAC=∠BDC,
∵∠ANB=∠CND,
∴∠ABD=∠ACD,
故①正确,
②过D作DF⊥BE于F,如图:
∵BD=CD,∠ABD=∠ACD,∠CMD=∠BFD=90°
∴△BDF≌△CDM(AAS),
∴DM=DN,
∴AD是∠CAE的角平分线,
故②正确,
③∵∠AND=∠ABD+∠BAC,∠BAC=∠BDC,
∴∠AND=∠ABD+∠BDC,
∵∠DAE=∠ABD+∠ADB,∠DAE=∠DAN,
∴∠DAN=∠ABD+∠ADB,
∵∠ADB≠∠BDC,
∴∠AND≠∠DAN,
∴AD≠ND,
故③不正确;
④∵DM=DF,AD=AD,
∴Rt△AMD≌Rt△AFD(HL),
∴AM=AF,
∵△BDF≌△CDM,
∴BF=CM,
∵BF=AF+AB=AM+AB,CM=AC﹣AM,∴AM+AB=AC﹣AM,
∴AC﹣AB=2AM,
∴AC−AB
AM
=2,
故④正确,
所以选:B.
15.在平面直角坐标系xOy中,点A(0,2),B(a,0),C(m,n)(n>0).若△ABC是等腰直角三角形,且AB=BC,当0<a<1时,点C的横坐标m的取值范围是()
A.0<m<2B.2<m<3C.m<3D.m>3
试题分析:过点C作CD⊥x轴于D,由“AAS”可证△AOB≌△BDC,可得AO=BD=2,BO=CD=n=a,即可求解.
答案详解:解:如图,过点C作CD⊥x轴于D,
∵点A (0,2),
∴AO =2,
∵△ABC 是等腰直角三角形,且AB =BC ,
∴∠ABC =90°=∠AOB =∠BDC ,
∴∠ABO +∠CBD =90°=∠ABO +∠BAO ,
∴∠BAO =∠CBD ,
在△AOB 和△BDC 中,
{∠AOB =∠BDC
∠BAO =∠CBD AB =BC
,
∴△AOB ≌△BDC (AAS ),
∴AO =BD =2,BO =CD =n =a ,
∴0<a <1,
∵OD =OB +BD =2+a =m ,
∴2<m <3,
所以选:B .
16.如图,在△ACD 中,∠CAD =60°,以AC 为底边向外作等腰△ABC ,∠BAC +∠ADC =60°,在CD 上截取DE =AB ,连接BE .若∠BEC =30°,则∠BAC 的度数为( )
A .10°
B .15°
C .20°
D .30°
试题分析:如图所示,在DC 的下方作∠CDT =∠BAC ,DT 交AC 的延长线于点T ,连接ET ,DB ,BT .证明△ADT ,△EBT 都是等边三角形,再证明DA =DB ,∠BAC =∠ADB ,利用参数构建方程,可得结论.
答案详解:解:如图所示,在DC 的下方作∠CDT =∠BAC ,DT 交AC 的延长线于点T ,连接ET ,DB ,BT
∵∠BAC+∠ADC=60°,∠CDT=∠BAC,∴∠ADT=60°,
∵∠DAT=60°,
∴△ADT是等边三角形,
∴DT=AT,
∵AB=DE,
∴△BAT≌△EDT(SAS),
∴TB=TE,∠ATB=∠DTE,
∴∠BTE=∠ATD=60°,
∴△BTE是等边三角形,
∴EB=ET,∠BET=60°,
∵∠BEC=30°,
∴∠TEC=∠BEC=30°,
∴∠DEB=∠DET,
∵ED=ED,
∴△DEB≌△DET(SAS),
∴∠EDB=∠EDT,DB=DT,
∵∠BAC=∠CDT,
∴∠BAC=∠EDT=∠EDB,
∵DC=DC,∠CDB=∠CDT,DB=DT,∴△DCB≌△DCT(SAS),
∴∠CBD=∠CTD=60°,
∴∠CBD=∠CAD=60°,
∴∠ADB=∠ACB,
∵BA=BC,
∴∠BAC=∠ACB,
∴∠BAC=∠ADB,
设∠BAC=∠ADB=x,
∵DA=DT,DB=DT,
∴DA=DB,
∴∠DAB=∠DBA=x+60°,
∴2(x+60°)+x=180°,
∴x=20°,
∴∠BAC=20°,
所以选:C.
七.经典考点--最短路线:钥匙--共线
17.如图,在△ABC中,AB=AC,AD、CE是△ABC的两条中线,P是AD上一个动点,则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是()
A.BC B.CE C.AD D.AC
试题分析:如图连接PC,只要证明PB=PC,即可推出PB+PE=PC+PE,由PE+PC≥CE,推出P、C、E共线时,PB+PE的值最小,最小值为CE的长度.
答案详解:解:如图连接PC,
∵AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC,
∴PB=PC,
∴PB+PE=PC+PE,
∵PE+PC≥CE,
∴P、C、E共线时,PB+PE的值最小,最小值为CE的长度,
所以选:B.
18.如图,等边△ABC中,D为AC中点,点P、Q分别为AB、AD上的点,且BP=AQ=4,QD=3,在BD上有一动点E,则PE+QE的最小值为()
A.7B.8C.10D.12
试题分析:作点Q关于BD的对称点Q′,连接PQ′交BD于E,连接QE,此时PE+EQ的值最小.最小值PE+QE=PE+EQ′=PQ′,
答案详解:解:如图,∵△ABC是等边三角形,
∴BA=BC,
∵BD⊥AC,AQ=4cm,QD=3,
∴AD=DC=AQ+QD=7,
作点Q关于BD的对称点Q′,连接PQ′交BD于E,连接QE,此时PE+EQ的值最小.最小值PE+QE=PE+EQ′=PQ′,
∵AQ=4cm,AD=DC=7,
∴QD=DQ′=3,
∴CQ′=BP=4,
∴AP=AQ′=10,
∵∠A=60°,
∴△APQ′是等边三角形,
∴PQ′=P A=10,
∴PE+QE的最小值为10.
所以选:C.
19.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线EF分别交AB、AC边于点E、F,点K为EF上一动点,则BK+CK的最小值是以下哪条线段的长度()
A.EF B.AB C.AC D.BC
试题分析:连接AK,根据线段垂直平分线的性质得到AK=BK,求得BK+CK=AK+CK,得到AK+CK 的最小值=BK+CK的最小值,于是得到当AK+CK=AC时,AK+CK的值最小,即BK+CK的值最小,即可得到结论.
答案详解:解:连接AK,
∵EF是线段AB的垂直平分线,
∴AK=BK,
∴BK+CK=AK+CK,
∴AK+CK的最小值=BK+CK的最小值,
∵AK+CK≥AC,
∴当AK+CK=AC时,AK+CK的值最小,即BK+CK的值最小,
∴BK+CK的最小值是线段AC的长度,
所以选:C.
20.如图,等边△ABC中,AD为BC边上的高,点M、N分别在AD、AC上,且AM=CN,连BM、BN,当BM+BN最小时,∠MBN的度数为()
A.15°B.22.5°C.30°D.47.5°
试题分析:如图1中,作CH⊥BC,使得CH=BC,连接NH,BH.证明△ABM≌△CHN(SAS),推出BM=HN,由BN+HN≥BH,可知B,N,H共线时,BM+BN=NH+BN的值最小,求出此时∠MBN即可解决问题.
答案详解:解:如图1中,作CH⊥BC,使得CH=BC,连接NH,BH.
∵△ABC是等边三角形,AD⊥BC,CH⊥BC,
∴∠DAC=∠DAB=30°,AD∥CH,
∴∠HCN=∠CAD=∠BAM=30°,
∵AM=CN,AB=BC=CH,
∴△ABM≌△CHN(SAS),
∴BM=HN,
∵BN+HN≥BH,
∴B,N,H共线时,BM+BN=NH+BN的值最小,
如图2中,当B,N,H共线时,
∵△ABM≌△CHN,
∴∠ABM=∠CHB=∠CBH=45°,
∵∠ABD=60°,
∴∠DBM=15°,
∴∠MBN=45°﹣15°=30°,
∴当BM+BN的值最小时,∠MBN=30°,
所以选:C.
21.如图,等腰△ABC中,∠ACB=120°,AC=4,点D为直线AB上一动点,以线段CD为腰在右侧作等腰△CDE,且∠DCE=120°,连接AE,则AE的最小值为()
A.2√3B.4C.6D.8
试题分析:连接BE并延长交AC延长线于F,利用SAS证明△ACD≌△BCE,得∠CBE=∠CAD =30°,由CB为定直线,∠CBE=30°为定值,则AF⊥BE时,AE最小,从而解决问题.
答案详解:解:连接BE并延长交AC延长线于F,
∵∠ACB=120°,AC=BC,
∴∠CAB=∠CBA=30°,
∵∠DCE=120°=∠ACB,
∴∠ACD=∠BCE,
∵AC=BC,CD=CE,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴∠CBE=∠CAD=30°,
∵CB为定直线,∠CBE=30°为定值,
∴当D在直线AB上运动时,E也在定直线上运动,
当AE⊥BE时,AE最小,
∵∠CAB=30°=∠ABC=∠CBE,
∴∠AFB=90°,
∴当E与F重合时,AE最小,在Rt△CBF中,∠CFB=90°,∠CBF=30°,
∴CF=1
2
CB=2,
∴AF=AC+CF=6,
∴AE的最小值为AF=6,
所以选:C.
八.多边形内角与外角
22.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是()
A.240°B.360°C.540°D.720°试题分析:根据四边形的内角和及三角形的外角定理即可求解.
答案详解:解:如图,AC、DF与BE分别相交于点M、N,
在四边形NMCD中,∠MND+∠CMN+∠C+∠D=360°,
∵∠CMN=∠A+∠E,∠MND=∠B+∠F,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°,
所以选:B.
九.坐标与图形变化-对称
23.在平面直角坐标系中,点M(m+2n,﹣3)和N(−1
2m﹣n,6),其中m>﹣2n,点M与点N
关于直线l(直线l上各点的横纵坐标相等)对称,则m与n的数量关系为()
A.m+3n=6B.m=﹣n C.m+2n=﹣3D.m+2n=6
试题分析:直线l上各点的横纵坐标相等,于是得到直线l的解析式为y=x,即直线l为第一和
第三象限的角平分线,推出点M(m+2n,﹣3)在第四象限,得到N(−1
2m﹣n,6)在第二象限,
且点M到y轴的距离与点N到x轴的距离相等,于是得到结论.答案详解:解:∵直线l上各点的横纵坐标相等,
∴直线l的解析式为y=x,
即直线l为第一和第三象限的角平分线,
∵m>﹣2n,
∴m+2n>0,
∴点M(m+2n,﹣3)在第四象限,
∵点M与点N关于直线l(直线l上各点的横纵坐标相等)对称,
∴N(−1
2m﹣n,6)在第二象限,且点M到y轴的距离与点N到x轴的距离相等,
∴m+2n=6,所以选:D.
十.因式分解的灵活运用
24.若a,b,c是直角三角形ABC的三边长,且a2+b2+c2+200=12a+16b+20c,则△ABC三条角平分线的交点到一条边的距离为()
A.1B.2C.3D.4
试题分析:先配方求a,b,c,再求距离.
答案详解:解:∵a2+b2+c2+200=12a+16b+20c.
∴a2﹣12a+36+b2﹣16b+64+c2﹣20c+100=0.
∴(a﹣6)2+(b﹣8)2+((c﹣10)2)=0.
∴a﹣6=0,b﹣8=0,c﹣10=0.
∴a=6,b=8,c=10.
三角形内角平分线,交点是三角形内心,三角形内心到三角形三边的距离相等.
由直角三角形性质知,直角三角形的内心到一条边的距离为:r=a+b−c
2
=6+8−10
2
=2.
所以选:B.
25.已知x2﹣2x﹣1=0,则2x3﹣6x2+2x+1=()
A.﹣1B.5C.﹣3D.1
试题分析:原式变形后,分解因式,把已知等式变形后代入计算即可求出值.
答案详解:解:∵x2﹣2x﹣1=0,
∴x2﹣2x=1,
原式=2x3﹣4x2﹣2x2+2x+1
=2x(x2﹣2x)﹣2x2+2x+1
=2x﹣2x2+2x+1
=﹣2x2+4x+1
=﹣2(x2﹣2x)+1
=﹣2+1
=﹣1.
所以选:A.
十一.数形结合--多项式的乘法与图形面积。
26.某中学开展“筑梦冰雪,相约冬奥”的学科活动,设计几何图形作品表达对冬奥会的祝福.小
冬以长方形ABCD 的四条边为边向外作四个正方形,设计出“中”字图案,如图所示.若四个正方形的周长之和为24,面积之和为12,则长方形ABCD 的面积为( )
A .1
B .32
C .2
D .83 试题分析:设AB =a ,BC =b ,由四个正方形的周长之和为24,面积之和为12列方程求解即可. 答案详解:解:设AB =a ,BC =b ,由四个正方形的周长之和为24,面积之和为12可得, 4a ×2+4b ×2=24,2a 2+2b 2=12,
即a +b =3①,a 2+b 2=6②,
由①得,a 2+2ab +b 2=9③,
③﹣②得2ab =3,
所以ab =32,
即长方形ABCD 的面积为32, 所以选:B .
27.如图,矩形ABCD 的周长是10cm ,以AB ,AD 为边向外作正方形ABEF 和正方形ADGH ,若正方形ABEF 和ADGH 的面积之和为17cm 2,那么矩形ABCD 的面积是( )
A .3cm 2
B .4cm 2
C .5cm 2
D .6cm 2
试题分析:设AB =x ,AD =y ,根据题意列出方程x 2+y 2=17,2(x +y )=10,利用完全平方公式即可求出xy 的值.
答案详解:解:设AB =x ,AD =y ,
∵正方形ABEF 和ADGH 的面积之和为17cm 2
∴x 2+y 2=17,
∵矩形ABCD 的周长是10cm
∴2(x+y)=10,
∵(x+y)2=x2+2xy+y2,
∴25=17+2xy,
∴xy=4,
∴矩形ABCD的面积为:xy=4cm2,所以选:B.。