2.1等式性质与不等式性质(1)(第二版)

不等式叫做异向不等式. 如 不等式a<b 与不等式e>f 是异向不等式 .
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二、实数的大小比较
比较实数大小的基本原理
思考1：实数可以比较大小, 对于两个实数a, b, 其大小关系 有哪几种可能？
a＞b，a＝b，a＜b. 思考2：任何一个实数都对应数轴上的一个点, 那么较大数 与较小数所对应的点的相对位置关系如何？
(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中 f 2.5%
脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含 量p应不少于2.3%.
p
2.3%
(3)三角形两边之和大于第三边， 两边之差小于第三边 .
①你能写出其他 的可能情况吗？
设△的三边分别为a, b, c, 则a+b>c, a-b<c①.
(4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短．
则正方形ABCD的边长是？ a2 b2
则正方形ABCD的面积是？ a2+b2
S正方形ABCD=4S△AEB+S正方形GHEF .
a2+b2=4×1
2
ab+S正方形GHEF
=2ab+S正方形GHEF >2ab.
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当直角三角形变为等腰直角三角形，即a＝b时，正方形 EFGH缩为一个点，这时有 a2+b2 =2ab
∴ a3+b3-(a2b+ab2) =(a+b)(a-b)2>0.
∴ a3+b3>a2b+ab2.
变形使用了因式分解法
作差→ 变形→ 判号→ 结论 .
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2.比较下面两式的大小： (1)比较x2+3与3x的大小; (2)若a>0 , b>0 , 且a≠b , 比较a3+b3与a2b+ab2的大小;
注意：①a≥b表示a>b或a=b中有一个成立即是成立的； ②a≤b表示a<b或a=b中有一个成立即是成立的； ③将几个不等式写在大括号内即是不等式组, 几个 不等式之间是 “且”的关系.
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问题1 你能用不等式或不等式(组)表示下列问题中的不等关
系吗？
(1)某路段限速40km/h； 0<v≤40
40
(3)比较 6 5 与 7 6 的大小.
解：(1)∵ x2+3-3x= (x 3)2 3 3
2 44
>0.
∴ x2+3>3x.
作差→ 变形→ 判号→ 结论 .
变形使用了配方法
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2.比较下面两式的大小： (1)比较x2+3与3x的大小; (2)若a>0 , b>0 , 且a≠b , 比较a3+b3与a2b+ab2的大小;
设C是线段AB外的任意一点， CD⊥AB 于D, E是线段AB上不同 于D的任意一点, 则CD＜CE．
C AED B
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问题2 杂志原以每本2.5元的价格销售, 可以售出８万本. 据 市场调查, 杂志的单价每提高0.1元, 销售量就可能减少2000 本. 如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元?
如图2.1-2，设a, b是两个实数, 它们在数轴上所对应的 点分别是A, B. 那么, 当点A在点B的左边时, a＜b ; 当点A在 点B的右边时, a＞b．
较大数对应的点位于较小数对应的点的右边
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思考3：如果a与b的差是正数，那么这两个实数的大小关 系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？
变形的方法有：配方法；因式分解法；分子有理化等。
4.重要不等式
a2+b2 ≥2ab .
当且仅当a = b时上式取等号 .
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(3)比较 6 5 与 7 6 的大小. 解：(3)∵ ( 6 5) ( 7 6)
= ( 6 5)( 6+ 5) ( 7 6)( 7 + 6)
( 6+ 5)
( 7+ 6)
= 1 1 >0.
6+ 5 7+ 6
∴ 6 5 7 6.
变形使用了分子有理化
作差→ 变形→ 判号→ 结论 .
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2.1 等式性质与不等式性质(1)
一、不等关系及其表示
什么是不等式？ 我们用数学符号 “≠”, “>”, “<”, “≥”, “≤”连接两个数
或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号 的式子叫做不等式.
用符号 “>”, “<”表示的不等式叫做严格不等式. 用符号 “≥”, “≤”表示的不等式叫做非严格不等式.
S正方形GHEF=0.
于是有a2+b2 ≥2ab.
一般地，a, b∈R, 有 a2+b2 ≥2ab.
当且仅当a=b时上式取等号 .
D
利用完全平方差公式也可求得 ∵(a-b)2=a2-2ab+b2≥0, ∴ a2+b2 ≥2ab. 当且仅当a=b 时上式取等号 .
A aE
C
b
a2 b2
B
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3. 已知x≠0, 多少？
(3)比较 6 5 与 7 6 的大小. 解：(2)∵ a3+b3-(a2b+ab2) =(a3-a2b)+(b3-ab2)
=a2(a-b)+b2(b-a) =a2(a-b)-b2(a-b) =(a2-b2)(a-b) =(a+b)(a-b)2.
∵ a>0 , b>0 , 且a≠b , ∴a+b>0, (a-b)2>0.
(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h从地面算起不
能超过4m ;
0<h≤4
(2)a与b的和是非负数 ; a+b≥0
(3)如图, 在一个面积小于350m2的矩形地基的中心位置上建 造一个仓库, 仓库的四周是绿地. 仓库的长L大于宽W的4倍．
解：依题意得
(L+10)(W+10)<350, L>4W, L>0, W>0.
5m 5m 仓 库 5m 绿地 5m
(3)
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观察不等式 “ a<b ” , “ c<d ” , “ e>f ” 有什么不同？ 对于两个不等式，如果每一个不等式的左边都大于
(或都小于)右边，则这样的不等式叫做同向不等式. 如 不等式a<b 与不等式c<d 是同向不等式 . 如果两个不等式的不等号的开口方向不同，则这样的
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例1.比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小 .
分析：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得 出它们的大小关系.
解：因为(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4) =(x2+5x+6)-(x2+5x+4) =2>0 .
←作差 ←变形 ←判号
所以(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4).
←结论
这是作差比较法，其一般步骤是：
作差→变形→判号→结论 . 变形的方法有：配方法；因 式分解法；分子有理化等.
0是正数与负 数的分界点，它为 实数比较大小提供 了 “标杆”.
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2.比较下面两式的大小： (1)比较x2+3与3x的大小;
(2)若a>0 , b>0 , 且a≠b , 比较a3+b3与a2b+ab2的大小;
设提价后每本杂志的定价为x元，则
(1)销售量减少了多少?
x 2.5×0.2万本
0.1
(2)现在销售量是多少?
8 x 2.5 ×0.2万本
0.1
(3)销售总收入为多少?
(8 x 2.5 0.2)x 万元
0.1
(8 x 2.5 0.2)x 20 ①
0.1
如何解不等式①呢？
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1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系：
当x取什么值时,
Fra Baidu bibliotek
x2
1 x2
的值最小？最小值是
解：∵x≠0, 由a2+b2 ≥2ab得
x2 1 2x 1 2.
x2
x
当且仅当x= 1 , 即x = ±1时, 上式取 “ = ”.
x
所以所求的最小值是2.
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课堂总结
1.不等关系和不等式
2.判断两个实数大小关系的依据是：
3.作差法的步骤： 作差→ 变形→ 判号→ 结论 .
三、一个重要不等式
图２.1-3是在北京召开的第24届国际数学家
大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽
的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个
风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图
中找出一些相等关系和不等关系吗？
a2+b2 >2ab
在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形, 设直角三角形的两条直角边长分别为a, b(a≠b).
a-b>0 a>b
思考4：如果a与b的差是负数，那么这两个实数的大小关 系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？
a-b<0 a<b
思考5：如果a与b的差等于零，那么这两个实数的大小关 系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？
a-b=0 a=b 判断两个实数大小关系的依据是：
要比较两个实数的 大小，可以转化为 比较它们的差与０ 的大小．