幂的运算综合题专练(含答案)讲课讲稿

幂的运算综合题专练
(含答案)
幂的运算综合题专练
一．解答题（共30小题）
1．已知x2m=2，求（2x3m）2﹣（3x m）2的值．
2．若2•8n•16n=222，求n的值．
3．已知a x=﹣2，a y=3．求：
（1）a x+y的值；
（2）a3x的值；
（3）a3x+2y的值．
4．已知2m=5，2n=7，求 24m+2n的值．
5．已知（a x）y=a6，（a x）2÷a y=a3
（1）求xy和2x﹣y的值；
（2）求4x2+y2的值．
6．已知9n+1﹣32n=72，求n的值．
7．已知：5a=4，5b=6，5c=9，
（1）52a+b的值；
（2）5b﹣2c的值；
（3）试说明：2b=a+c．
8．已知 a m=2，a n=4，a k=32（a≠0）．
（1）求a3m+2n﹣k的值；
（2）求k﹣3m﹣n的值．
9．已知a m=5，a2m+n=75，求①a n；②a3n﹣2m的值．
10．已知10a=5，10b=6，求：
（1）102a+103b的值；
（2）102a+3b的值．
11．用幂的运算知识，你能比较出3555与4444和5333的大小吗？请给出科学详细的证明过程．
12．已知x6﹣b•x2b+1=x11，且y a﹣1•y4﹣b=y5，求a+b的值．
13．已知x3=m，x5=n用含有m、n的代数式表示x14．
14．已知2m=a，2n=b（m，n为正整数）．
（1）2m+2=，22n=．
（2）求23m+2n﹣2的值．
15．将幂的运算逆向思维可以得到a m+n=a m•a n，a m﹣n=a m÷a n，a mn=（a m）n，a m b m=（ab）m，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解，收到事半功倍的效果如：
（1）=；
（2）若3×9m×27m=311，则m的值为；
（3）比较大小：a=255，b=344，c=533，d=622，则a、b、c、d的大小关系
是．
（提示：如果a＞b＞0，n为正整数，那么a n＞b n）
16．已知4m=2，8n=5，
（1）求：22m+3n的值；
（2）求：24m﹣6n的值．
17．已知3m=6，9n=2，求32m﹣4n+1的值．
18．（1）若x n=2，y n=3，求（x2y）2n的值．
（2）若3a=6，9b=2，求32a﹣4b+1的值．
19．已知3×9m×27m=321，求（﹣m2）3÷（m3•m2）的值．
20．若2x+5y﹣3=0，求4x•32y的值．
21．（1）已知a x=5，a x+y=25，求a x+a y的值；
（2）已知10α=5，10β=6，求102α+2β的值．
22．已知2a=5，2b=3，求2a+b+3的值．
23．若（a m+1b n+2）（a2n﹣1b2n）=a5b3，则求m+n的值．
24．已知2x=8y+2，9y=3x﹣9，求x+2y的值．
25．已知2x+3y﹣3=0，求9x•27y的值．
26．已知3x+2•5x+2=153x﹣4，求（x﹣1）2﹣3x（x﹣2）﹣4的值．
27．已知：2x+3y﹣4=0，求4x•8y的值．
28．已知n为正整数，且x2n=4
（1）求x n﹣3•x3（n+1）的值；
（2）求9（x3n）2﹣13（x2）2n的值．
29．已知4m=y﹣1，9n=x，22m+1÷32n﹣1=12，试用含有字母x的代数式表示y．
30．“若a m=a n（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n”．你能利用上面的结论解决下面的问题吗？试试看，相信你一定行！
（1）如果27x=39，求x的值；
（2）如果2÷8x•16x=25，求x的值；
（3）如果3x+2•5x+2=153x﹣8，求x的值．
幂的运算综合题专练
参考答案与试题解析
一．解答题（共30小题）
1．已知x2m=2，求（2x3m）2﹣（3x m）2的值．
【分析】根据积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得已知条件，根据已知条件，可得计算结果．
【解答】解：原式=4x6m﹣9x2m
=4（x2m）3﹣9x2m
=4×23﹣9×2
=14．
【点评】本题考查了幂的乘方与积得乘方，先由积的乘方得出已知条件是解题关键．
2．若2•8n•16n=222，求n的值．
【分析】把等号左边的数都能整理成以2为底数的幂相乘，再根据同底数幂相乘，底数不变指数相加计算，然后根据指数相等列式求解即可．
【解答】解：2•8n•16n，
=2×23n×24n，
=27n+1，
∵2•8n•16n=222，
∴7n+1=22，
解得n=3．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
3．已知a x=﹣2，a y=3．求：
（1）a x+y的值；
（2）a3x的值；
（3）a3x+2y的值．
【分析】（1）逆运用同底数幂相乘，底数不变指数相加解答；
（3）逆运用幂的乘方，底数不变指数相乘解答；
（3）逆运用幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可得解．
【解答】解：（1）a x+y=a x•b y=﹣2×3=﹣6；
（2）a3x=（a x）3=（﹣2）3=﹣8；
（3）a3x+2y=（a3x）•（a2y）
=（a x）3•（a y）2
=（﹣2）3•32
=﹣8×9
=﹣72．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质并灵活运用是解题的关键．
4．已知2m=5，2n=7，求 24m+2n的值．
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘计算即可．
【解答】解：∵2m=5，2n=7，
又∵24m=625，
∴22n=49，
∴24m+2n=625×49=30625
故答案为30625．
【点评】本题考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，解题时记准法则是关键．
5．已知（a x）y=a6，（a x）2÷a y=a3
（1）求xy和2x﹣y的值；
（2）求4x2+y2的值．
【分析】（1）利用积的乘方和同底数幂的除法，即可解答；
（2）利用完全平方公式，即可解答．
【解答】解：（1）∵（a x）y=a6，（a x）2÷a y=a3
∴a xy=a6，a2x÷a y=a2x﹣y=a3，
∴xy=6，2x﹣y=3．
（2）4x2+y2=（2x﹣y）2+4xy=32+4×6=9+24=33．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，积的乘方，以及完全平分公式，解决本题的关键是熟记相关公式．
6．已知9n+1﹣32n=72，求n的值．
【分析】由于72=9×8，而9n+1﹣32n=9n×8，所以9n=9，从而得出n的值．
【解答】解：∵9n+1﹣32n=9n+1﹣9n=9n（9﹣1）=9n×8，而72=9×8，
∴当9n+1﹣32n=72时，9n×8=9×8，
∴9n=9，
∴n=1．
【点评】主要考查了幂的乘方的性质以及代数式的恒等变形．本题能够根据已知条件，结合72=9×8，将9n+1﹣32n变形为9n×8，是解决问题的关键．
7．已知：5a=4，5b=6，5c=9，
（1）52a+b的值；
（2）5b﹣2c的值；
（3）试说明：2b=a+c．
【分析】（1）根据同底数幂的乘法，可得底数相同的幂的乘法，根据根据幂的乘方，可得答案；
（2）根据同底数幂的除法，可得底数相同幂的除法，根据幂的乘方，可得答案；
（3）根据同底数幂的乘法、幂的乘方，可得答案．
【解答】解：（1）52a+b=52a×5b=（5a）2×5b=42×6=96
（2）5b﹣2c=5b÷（5c）2=6÷92=6÷81=2/27
（3）5a+c=5a×5c=4×9=36
52b=62=36，
因此5a+c=52b所以a+c=2b．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，根据法则计算是解题关键．
8．已知 a m=2，a n=4，a k=32（a≠0）．
（1）求a3m+2n﹣k的值；
（2）求k﹣3m﹣n的值．
【分析】（1）首先求出a3m=23，a2n=42=24，a k=32=25，然后根据同底数幂的乘法、除法法则计算即可；
（2）首先求出a k﹣3m﹣n的值是1；然后根据a0=1，求出k﹣3m﹣n的值是多少即可．
【解答】解：（1）∵a3m=23，a2n=42=24，a k=32=25，
∴a3m+2n﹣k
=a3m•a2n÷a k
=23•24÷25
=23+4﹣5
=22
=4；
（2）∵a k﹣3m﹣n=25÷23÷22=20=1=a0，
∴k﹣3m﹣n=0，
即k﹣3m﹣n的值是0．
【点评】（1）此题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握．
（2）此题还考查了同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握．
（3）此题还考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（a m）n=a mn（m，n是正整数）；②（ab）n=a n b n（n是正整数）．
9．已知a m=5，a2m+n=75，求①a n；②a3n﹣2m的值．
【分析】①根据幂的乘方，可得要求的形式，根据同底数幂的乘法，可得答案；
②根据幂的乘方，可得要求的形式，根据同底数幂的除法，可得答案．
【解答】解：①由a m=5，平方，得
a2m=25．
由同底数幂的乘法，得a2m+n=a2m•a n=75，
即a n=75÷a2m=75÷25=3；
②立方，得
a3n=33=27，
由同底数幂的除法，得
a3n﹣2m=a3n÷a2m=27÷25=．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，先利用幂的乘方化成要求的形式，再利用同底数幂的乘除法．
10．已知10a=5，10b=6，求：
（1）102a+103b的值；
（2）102a+3b的值．
【分析】（1）根据幂的乘方，可得要求的形式，根据有理数的加法，可得答案；
（2）根据幂的乘方，可得幂的形式，根据同底数幂的乘法，可得答案．
【解答】解：（1）原式=（10a）2+（10b）3
=52+63
=241；
（2）原式=（10a）2•（10b）3
=52×63
=5400．
【点评】本题考查了幂的乘方，先算幂的乘方，再算幂的乘法．
11．用幂的运算知识，你能比较出3555与4444和5333的大小吗？请给出科学详细的证明过程．
【分析】此题根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，把3555、4444和5333变形为指数相同的三个数，再比较它们的底数即可求出答案．
【解答】解：因为它们的指数为555，444，333，具有公因式111，所以3555=（35）
111=243111，4444=（44）111=256111，5333=（53）111=125111，
而256111＞243111＞125111，所以4444＞3555＞5333
【点评】此题考查了幂的乘方与积的乘方，此题较简单，解题时要能把三个数变形为指数相同的三个数是此题的关键．
12．已知x6﹣b•x2b+1=x11，且y a﹣1•y4﹣b=y5，求a+b的值．
【分析】根据同底数幂的乘法法则，可得出关于a、b的方程组，解出即可得出a、b，代入可得出代数式的值．
【解答】解：∵x6﹣b•x2b+1=x11，且y a﹣1•y4﹣b=y5，
∴，
解得：，
则a+b=10．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，属于基础题，掌握同底数幂的乘法法则是关键．
13．已知x3=m，x5=n用含有m、n的代数式表示x14．
【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法的性质可得出m、n的代数式．
【解答】解：根据题意可把14次方分为9次方加5次方，
∵x3=m，x5=n，
∴x14=x9•x5=（x3）3•x5=m3n．
【点评】本题考查幂的乘方和同底数幂的乘法，属于基础题，关键在于掌握幂的乘方的运用．
14．已知2m=a，2n=b（m，n为正整数）．
（1）2m+2=，22n=2b．
【分析】（1）分别求出m、n的值，然后代入即可；
（2）先求出3m+2n+2的值，然后求解．
【解答】解：（1）m=，n=，
则2m+2=，22n=2b；
（2）3m+2n﹣2=a+b﹣2，
则23m+2n﹣2=．
故答案为：，2b．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，涉及了同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方等运算，掌握运算法则是解答本题的关键．
15．将幂的运算逆向思维可以得到a m+n=a m•a n，a m﹣n=a m÷a n，a mn=（a m）n，a m b m=（ab）m，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解，收到事半功倍的效果如：
（1）=1；
（2）若3×9m×27m=311，则m的值为2；
（3）比较大小：a=255，b=344，c=533，d=622，则a、b、c、d的大小关系是a＜d＜b＜c．
（提示：如果a＞b＞0，n为正整数，那么a n＞b n）
【分析】（1）根据积的乘方公式，进行逆运算，即可解答；
（2）转化为同底数幂进行计算，即可解答；
（3）转化为指数相同，再比较底数的大小，即可解答．
【解答】解：（1）==12013，
故答案为：1．
（2）3×9m×27m=3×（32）m×（33）m=3×32m×33m=31+5m=311，
∴1+5m=11，
解得：m=2．
故答案为：2．
（3）a=255=（25）11=3211，b=344=（34）11=8111，c=533=（53）11=12511，d=622=（62）11=3611，
∵32＜36＜81＜125，
∴3211＜3611＜8111＜12511
∴a＜d＜b＜c，
故答案为：a＜d＜b＜c．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解决本题的关键是公式的逆运用．
16．已知4m=2，8n=5，
（2）求：24m﹣6n的值．
【分析】（1）直接利用积的乘方运算法则结合同底数幂的乘法运算法则求出即可；（2）利用幂的乘方运算法则结合同底数幂的除法运算法则求出即可．
【解答】解：（1）∵4m=2，8n=5，
∴22m=2，23n=5，
∴22m+3n=22m×23n=2×5=10；
（2）∵4m=2，8n=5，
∴22m=2，23n=5，
∴24m=（22m）2=4，
26n=52=25，
∴24m﹣6n=4÷25=．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘方以及同底数幂的除法运算和幂的乘方等知识，正确将原式变形得出是解题关键．
17．已知3m=6，9n=2，求32m﹣4n+1的值．
【分析】根据9n=32n，32m﹣4n+1=32m×3÷34n，代入运算即可．
【解答】解：由题意得，9n=32n=2，32m=62=36，
故32m﹣4n+1=32m×3÷34n=36×3÷4=27．
【点评】此题考查了同底数幂的乘除法则，属于基础题，注意掌握同底数幂的除（乘）法法则：底数不变，指数相减（加）．
18．（1）若x n=2，y n=3，求（x2y）2n的值．
（2）若3a=6，9b=2，求32a﹣4b+1的值．
【分析】（1）根据积的乘方和幂的乘方法则的逆运算，即可解答；
（2）根据同底数幂乘法、除法公式的逆运用，即可解答．
【解答】解：（1）（x2y）2n
=x4n y2n
=（x n）4（y n）2
=24×32
=16×9
=144；
（2）32a﹣4b+1
=（3a）2÷（32b）2×3
=36÷4×3
=27．
【点评】本题考查的是幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘除法，掌握它们的运算法则及其逆运算是解题的关键．
19．已知3×9m×27m=321，求（﹣m2）3÷（m3•m2）的值．
【分析】转化为同底数幂的乘法，求出m的值，即可解答．
【解答】解：3×9m×27m=3×32m×33m=31+5m=321，
∴1+5m=21，
∴m=4，
∴（﹣m2）3÷（m3•m2）=﹣m6÷m5=﹣m=﹣4．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，解决本题的关键是把3×9m×27m转化为同底数幂的乘法进行计算，求出m的值．
20．若2x+5y﹣3=0，求4x•32y的值．
【分析】由方程可得2x+5y=3，再把所求的代数式化为同为2的底数的代数式，运用同底数幂的乘法的性质计算，最后运用整体代入法求解即可．
【解答】解：4x•32y=22x•25y=22x+5y
∵2x+5y﹣3=0，即2x+5y=3，
∴原式=23=8．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．
21．（1）已知a x=5，a x+y=25，求a x+a y的值；
（2）已知10α=5，10β=6，求102α+2β的值．
【分析】（1）先根据同底数幂乘法运算的逆运算得出a x+y=a x•a y=25，根据a x=5可得
a y=5，代入即可求解；
（2）将原式利用同底数幂乘法运算的逆运算进行变形为（10α）2•（10β）2，即可求解．【解答】解：（1）∵a x+y=a x•a y=25，a x=5，
∴a y=5，
∴a x+a y=5+5=10；
（2）102α+2β=（10α）2•（10β）2=52×62=900．
【点评】本题主要考查的是正数指数幂的你运算，掌握整数指数幂的运算公式是解题的关键．
22．已知2a=5，2b=3，求2a+b+3的值．
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则求出即可．
【解答】解：2a+b+3=2a•2b•23=5×3×8=120．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
23．若（a m+1b n+2）（a2n﹣1b2n）=a5b3，则求m+n的值．
【分析】首先合并同类项，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的法则即可得出答案．
【解答】解：（a m+1b n+2）（a2n﹣1b2n）=a m+1×a2n﹣1×b n+2×b2n
=a m+1+2n﹣1×b n+2+2n
=a m+2n b3n+2=a5b3．
∴m+2n=5，3n+2=3，解得：n=，m=，
m+n=．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，难度不大，关键是掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
24．已知2x=8y+2，9y=3x﹣9，求x+2y的值．
【分析】根据原题所给的条件，列方程组求出x、y的值，然后代入求解．
【解答】解：根据2x=23（y+2），32y=3x﹣9，
列方程得：，
解得：，
则x+2y=11．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．
25．已知2x+3y﹣3=0，求9x•27y的值．
【分析】先把9x和27y都化为3为底数的形式，然后求解．
【解答】解：∵2x+3y﹣3=0，
∴2x+3y=3，
则9x•27y=32x•33y=32x+3y=33=27．
故答案为：27．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则是解答本题关键．
26．已知3x+2•5x+2=153x﹣4，求（x﹣1）2﹣3x（x﹣2）﹣4的值．
【分析】首先由3x+2•5x+2=153x﹣4，可得3x+2•5x+2=（15）x+2=153x﹣4，即可得方程x+2=3x ﹣4，解此方程即可求得x的值，然后化简（x﹣1）2﹣3x（x﹣2）﹣4，再将x=3代入，即可求得答案．
【解答】解：∵3x+2•5x+2=（15）x+2=153x﹣4，
∴x+2=3x﹣4，
解得：x=3，
∴（x﹣1）2﹣3x（x﹣2）﹣4
=x2﹣2x+1﹣3x2+6x﹣4
=﹣2x2+4x﹣3
=﹣2×9+4×3﹣3
=﹣9．
【点评】此题考查了积的乘方的性质与化简求值问题．此题难度适中，注意由
3x+2•5x+2=153x﹣4，得到方程x+2=3x﹣4是解此题的关键．
27．已知：2x+3y﹣4=0，求4x•8y的值．
【分析】首先根据2x+3y﹣4=0，求出2x+3y的值是多少；然后根据4x•8y=22x•23y=22x+3y，求出4x•8y的值是多少即可．
【解答】解：∵2x+3y﹣4=0，
∴2x+3y=4，
∴4x•8y=22x•23y=22x+3y=24=16，
∴4x•8y的值是16．
【点评】（1）此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（a m）n=a mn（m，n是正整数）；②（ab）n=a n b n（n是正整数）．
（2）此题还考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
28．已知n为正整数，且x2n=4
（1）求x n﹣3•x3（n+1）的值；
（2）求9（x3n）2﹣13（x2）2n的值．
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则将原式化简为（x2n）2，再把
x2n=4代入进行计算即可；
（2）根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则将原式化简为9（x2n）3﹣13（x2n）2，再把x2n=4代入进行计算即可．
【解答】解：（1）∵x2n=4，
∴x n﹣3•x3（n+1）=x n﹣3•x3n+3=x4n=（x2n）2=42=16；
（2）∵x2n=4，
∴9（x3n）2﹣13（x2）2n=9x6n﹣13x4n=9（x2n）3﹣13（x2n）2=9×43﹣13×42=576﹣
208=368．
【点评】本题考查的是幂的乘方与同底数幂的乘法法则，熟知幂的乘方法则是底数不变，指数相乘是解答此题的关键．
29．已知4m=y﹣1，9n=x，22m+1÷32n﹣1=12，试用含有字母x的代数式表示y．
【分析】根据幂的乘方，可化已知成要求的形式，根据已知，可得答案．
【解答】解：4m=22m=y﹣1，9n=32n=x，
原式等价于；2×22m÷（32n÷3）=12，
2（y﹣1）÷（x÷3）=12
2y﹣2=12（x÷3）
2y﹣2=4x
y=2x+1．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，把已知化成要求的形式是解题关键．
30．“若a m=a n（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n”．你能利用上面的结论解决下面的问题吗？试试看，相信你一定行！
（1）如果27x=39，求x的值；
（2）如果2÷8x•16x=25，求x的值；
（3）如果3x+2•5x+2=153x﹣8，求x的值．
【分析】（1）把等号左边的式子利用幂的乘方转化为以3为底数的幂，根据等式的左边=右边，即可求解．
（2）把等号左边的式子利用幂的乘方以及同底数的幂的乘法法则转化为以2为底数的幂，则对应的指数相等，即可求解；
（3）把等号左边的式子利用积的乘方的逆运用转化为以15为底数的幂，则对应的指数相等，即可求解．
【解答】解：（1）27x=（33）x=33x=39，
∴3x=9，
解得：x=3．
（2）2÷8x•16x=2÷（23）x•（24）x=2÷23x•24x=21﹣3x+4x=25，
∴1﹣3x+4x=5，
解得：x=4．
（3）3x+2•5x+2=（3×5）x+2=15x+2=153x﹣8，
∴x+2=3x﹣8，
解得：x=5．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解决本题的关键是熟记幂的乘方和积的乘方法则．。