【高考数学】2006年广州市春季普通高中毕业考试

广州市2006年春季普通高中毕业考试 数 学
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 页。

满分为100分，考试时间100分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的准考证号、姓名；填写考区考场试室号、座位号，再用2B 铅笔把对应这两个号码的标号涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应该题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁, 考试结束时, 将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分 选择题（共60分）
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式
P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 2
4R S π=
如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径
P （A ∙B ）=P （A ）∙P （B ） 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ， 33
4R V π=
那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的 其中R 表示球的半径
概率是P k n k
k n n p p C k --=)1()(
一、选择题：本大题共20小题，每小题3分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的． （1）已知集合}3,2,1{=A ，}4,3,2{=B ，则B A 的元素个数是 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 （2）已知向量a =（1，2），则a =
（A ）41 （B ）2 （C （D ）3
（3）双曲线
19
162
2=-y x 的焦点坐标是 （A ）（7，0）和（7-，0） （B ）（3，0）和（-3，0）
（C ）（4，0）和（-4，0） （D ）（5，0）和（-5，0）
（4）已知函数x x f 2)(=的反函数是)(1
x f
y -=，则)2(1-f 的值是
（A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 （5）函数∈=x x y (cos 2R ）是
（A ）周期为π的奇函数 （B ）周期为π的偶函数
（C ）周期为π2的奇函数 （D ）周期为π2的偶函数 （6）过点)2,1(A 且与直线012=-+y x 垂直的直线方程是
（A ）02=-y x （B ）032=--y x
（C ）052=-+y x （D ）042=-+y x
（7）物体的运动方程是S t t S (102-=的单位：m ．t 的单位：s), 则物体在2=t s 时的速度是 （A ）8 m/s （B ）6 m/s （C ）4 m/s （D ）2 m/s
（8）已知数列{n a }的第1项是1，以后各项由关系式1
1
1--+=n n n a a a )2(≥n 给出，则3a 的值为
（A ）
41 （B ）31 （C ）2
1
（D ）1
（9）给出下列四个命题
① 平行于同一平面的两条直线平行； ② 垂直于同一平面的两条直线平行；
③ 如果一条直线和一平面平行,那么它和这个平面内的任何直线平行； ④ 如果一条直线和一平面垂直,那么它和这个平面内的任何直线垂直.
其中正确命题的个数是
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
（10）已知椭圆的长轴长是8，离心率是
4
3
，则此椭圆的标准方程是 （A ）
221169x y += （B ）171622=+y x 或116
72
2=+y x （C ）
1251622=+y x （D ）1251622=+y x 或116
252
2=+y x
（11）函数2
42
+-=x x y 的定义域是
（A ）（2-，2] （B ）[2-，2]
),2()2,(+∞--∞ ),2[]2,(+∞--∞
（12）从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，则不同的种植方法共有 （A ）3种 （B ）4种 （C ）12种 （D ）24种
（13）已知向量a ),1,(x x --=, 向量b ),2,3(x -=，若a ⊥b ，则实数x 的值是 （A ）1- 或2 （B ）1或2- （C ）1-或2- （D ）1或2 （14）函数]4
,4[,tan π
π-
∈=x x y 的最大值是 （A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）-1
（15）已知∈c b a ,,R ，命题b a p <:，命题22:bc ac q <，则命题p 是命题q 的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （16）已知直线02=-+y ax 和圆1)1(22=+-y x 相切，则实数a 的值是 （A ）23 （B ）1 （C ）43 （D ）2
1
（17）一平面截一球得到面积为π16cm 2
的圆面，球心到这个平面的距离是3cm ，则该球的表面积是 （A ）π16cm 2
（B ）π25cm 2
（C ）π75cm 2
（D ）π100cm 2
（18）从3名男生和2名女生中选出3名代表去参加辩论比赛，则所选出3名代表中至少有1名女生的选
法是
（A ）9种 （B ）10种 （C ）12种 （D ）20种 （19）为了得到函数)6
2cos(3π
-
=x y （∈x R ）的图象，只需把函数x y 2sin 3=（∈x R ）的图象上所
有的点 （A ）向左平行移动
6π个单位长度 （B ）向右平行移动6π
个单位长度 （C ）向左平行移动3π个单位长度 （D ）向右平行移动3
π
个单位长度
（20）已知函数()1
1,0()lg ,0.x x f x x x ⎧->⎪=⎨⎪-<⎩
, 则关于x 的方程0)(=-x x f 的解的个数是 （A ）4 （B ） 3 （C ） 2 （D ）1
第二部分
非选择题
注意事项：
第二部分共 2 页。

必须在答题卡非选择题答题区内、各题目指定区域内的相应位置上， 用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。

不能写在试卷上，否则答案无效。

二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．
（21）甲、乙两人各进行1次射击，甲击中目标的概率是0．8，乙击中目标的概率是0．7,
则甲、乙两人都击中目标的概率是 ． （22）不等式112<-x 的解集是 ． （23）6
2
)1(x
x +
的展开式中6x 的系数是 ． (24) 如果抛物线2y ax =上存在关于直线10x y -+=对称的不同两点，则实数a 的取值范围
是 ．
三、解答题：本大题共4小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （25）（本小题满分6分）
已知θ)2
,
0(π
∈，5
3
sin =
θ，求θ2sin 的值．
（26）（本小题满分7分）
已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，63=a ，168=a ，求10S 的值．
（27）（本小题满分7分）
如图, 正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1, 点E 是棱11B A 的中点，F 是棱AD 的中点． (Ⅰ) 求证:BF CE ⊥；
(Ⅱ) 求点1A 到平面EBC 的距离．
D 1
B 1
C 1
A 1
E
(28)（本小题满分8分）
设∈a R ，∈m R , 函数a x ax x f +-=2)(． (Ⅰ) 若)(x f 1≥对∈x R 都成立，求a 的取值范围； (Ⅱ) 若1,1≤-≤m x a , 求证:)1(2)()(+≤-m m f x f ．
二、填空题
（21） （22） （23） （24）
三、解答题
（25）
（26）
D1
B1C1
A1
F
E
D C
B
A （27）
（28）
广州市2006年春季普通高中毕业考试
数学参考解答及评分标准
一、选择题(每小题3分,共60分)
（1）B （2）C （3）D （4）C （5）D （6）A （7）B （8）B （9）B （10）B （11）A （12）D （13）C （14）B （15）B （16）C （17）D （18）A （19）A （20）C
二、填空题(每小题3分,共12分)
(21) 0.56 (22) {10<<x x } (23) 15 (24) 3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
三、解答题
(25) (本小题满分6分) 解： θ)2
,
0(π
∈，5
3
sin =
θ ∴θθ2sin 1cos -= 5
4
)5
3(12
=
-= ∴θθθcos sin 22sin =
25
2454532=⨯⨯
=
解一:设数列{n a }的公差为d ,
⎩⎨⎧==.16,68
3a a
∴⎩⎨
⎧=+=+.
167,
6211d a d a
解得⎩
⎨
⎧==.2,
21d a
∴d a S 2
9
1010110⨯+
= = 110
解二:2
)
(1010110a a S +=
=
2)
(1083a a +
=
2
)
166(10+⨯
=110
(27) (本小题满分7分)
解法一：
(Ⅰ)证明：如图1，以点D 为原点，建立空间直角坐标系xyz D -，
则)1,21,
1(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,0(E C A D ，)0,0,2
1
(F ，)0,1,1(B ． )0,1,2
1
(),1,21,1(=-=∴FB CE
0011)2
1
(211=⨯+⨯-+⨯=∙FB CE
⊥∴，即BF CE ⊥
(Ⅱ) 设平面EBC 的法向量是n ),,(z y x =,
由n ⊥, n ⊥, 得n 0=∙, n 0=∙,
得⎪⎩
⎪⎨⎧=-∙=∙0)1,21,0(),,(0)0,0,1(),,(z y x z y x 解得⎩⎨⎧==z y x 20 令1=z , 则2=y .
∴ n )1,2,0(=
∴点1A 到平面EBC
的距离是555
212=⨯==d 解法二：
(Ⅰ) 证明：如图2，取AB 的中点G ，连结EG 、CG ，CG 与BF 交于点H ，
则⊥EG 平面ABCD ，
故EC 在平面ABCD 上的射影是CG ．
在正方体1111D C B A ABCD -中，BAF CBG AF BG BA CB ∠=∠==,,， ,BAF Rt CBG Rt ∆≅∆∴
∴ ABF BCG ∠=∠，
︒=∠+∠90BGC BCG ，
︒=∠+∠∴90GBH BGH ，
︒=∠∴90GHB 即BF CG ⊥．
BF EC ⊥∴．
(Ⅱ) 设点1A 到平面EBC 的距离是h
由11EBA C EBC A V V --=, 得13131EBA EBC S CB S h ∆∆⋅=
⋅ 4
121,452512121111=⋅==⨯⨯=⋅=∆∆BB EA S BE BC S EBA EBC 5545
4111
=⨯
=⋅=∴∆∆EBC EBA S S CB h ∴点1A 到平面EBC 的距离是
55 另法：可以由点G 作EB GM ⊥,垂足为M ,可证明GM 为所求．
图1 图2
(28) (本小题满分8分) (Ⅰ)解：当0=a 时,x x f -=)(,显然不符合)(x f 1≥对∈x R 都成立.
0≠∴a ,函数)(x f 是二次函数
)(x f 1≥对∈x R 都成立，即012≥-+-a x ax 对∈x R 都成立，
⎩⎨⎧≤--=∆>∴0
)1(410a a a 解得⎪⎩
⎪⎨⎧+≥-≤>2212210a a a 或 2
21+≥∴a ∴ a 的取值范围是),221[
+∞+. （Ⅱ）证明： 1,1≤-≤m x a ,
m am x ax m f x f +--=-∴22)()(
1)()()()(22-+-=---=m x a m x m x m x a
1)(-+≤m x a
1
+
+
≤m
x
a
1
2+
+
-
≤m
m
x
1
2
11
2
+
+
≤+
+
-
≤
m m
m x
)1
(2+ =m。