云南省玉溪一中2013-2014学年高二数学下学期第二次月考 文

玉溪一中高2015届高二下学期第二次月考文科数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. 请把答案填涂在答卷上.
1.假设集合}1)1(log |{},2|1||{2≤-=≤-∈=x x B x Z x A ，如此集合A ∩B 的元素个数为( )
A ．0
B ．2
C ．5
D ．8
2.i 为虚数单位，复数
121i
z i +=
-，如此复数z 的虚部是( )
A ．i 23
B ．23
C ．i 21-
D ．21-
3. 设,a b R ∈，如此“()20a b a -<〞是“a b <〞的〔〕
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4．x ，y 的取值如下表：
从散点图可以看出y 与x 线性相关，且
回归方程为0.95y x a =+，如此a =( ) A. 3.25 B. 2.6 C. 2.2 D. 0
5．在等比数列{an}中，假设a4，a8是方程x2－4x ＋3＝0的两根，如此a6的值是( ) A ．－3B.3C ．±3D ．±3
6. l ，m ，n 为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，如下命题中正确的答案是〔 〕 A. l ⊥m ，l ⊥n ，且α⊂n m ,，如此l ⊥α.
B ．假设平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，如此βα//.
C ．假设α⊥m ，n m ⊥，如此α//n .
D ．假设n m //，α⊥n ，如此α⊥m .
x 0 1 3 4 y
2.2
4.3
4.8
6.7
7.如右图是一个几何体的三视图，如此该几何体的体积等于()
A.2
B.23
C.4
3 D.4
8.程序框图如如下图所示，该程序运行后输出的S 的值是〔 〕
A ．3
B ．21
C ．31
-
D ．2-
9．实数x ，y 满足
⎪⎩
⎪
⎨⎧+-≥≥≥-b x y x
y y x 02，如此y x z +=2的最小值为3，如此实数b 的值为〔〕
A ．94
B ．—94
C ．49
D ．—49
10．记集{}
22(,)|16A x y x y =+≤和集
{}
(,)|40,0,0B x y x y x y =+-≤≥≥表示的平面区域分
别为
12,ΩΩ.假设在区域
1
Ω内任取一点(,)M x y ，如此点M 落在区域
2
Ω的概率为()
A ．12π
B ．1π
C ．14
D ．24ππ-
11.双曲线22
221x y a
b -=)0,0(>>b a
的渐近线方程为y =，如此以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于〔〕
A.1
2
B.2
C.
D.1
12.0x 是函数)),0((ln sin 2)(ππ∈-=x x x x f 的零点,21x x <,如此 ①),1(0e x ∈;②),(0πe x ∈;③0)()(21<-x f x f ;④0)()(21>-x f x f 其中正确的命题是〔 〕
A ．①④
B ．②④
C ．①③
D ．②③
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.请把答案写在答卷上. 13.向量a 、b 、c 都是单位向量,且a b c +=,如此a c ⋅的值为_________.
14.集合{1,2,3,4,5}A =，{0,1,2,3,4}B =，点P 的坐标为〔m ，n 〕，m A ∈，n B ∈，如此点P 在直线5x y +=下方的概率为
15. 函数
x x x f 1
2)(-=
的反函数是),(1
x f
-如此=
-)23(1f 。

16．在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为
3cos ,(13sin x y θ
θθ⎧=+⎪⎨
=+⎪⎩为参数〕，以ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
cos()0.
6
π
ρθ+=如此直线l 被圆C 所截得的弦长为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.请把答案写在答卷上.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17..1=++c b a
〔1〕求S=2
2
2
32c b a ++的最小值与取最小值时c b a ,,的值。

〔2〕假设
132222=++c b a ，求c 的取值范围。

18.在等差数列
{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n
b 的各项均为正数，11=b ，公
比为q ，且1222=+S b ，
22
b S q =
.
〔1〕求n a 与n b ； 〔2〕设数列{}n c 满足
1
n n c S =
，求{}n c 的前n 项和n T .
19． 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，且222
a b c +=．
〔1〕求角C 的值；
〔2〕假设ABC ∆为锐角三角形，且1c =
b -的取值范围．
20.如图,在四棱锥ABCD P -中,PA ⊥底面ABCD ,四边形ABCD 是直角梯形,AB ⊥BC ,AB ∥CD , 222===CD BC AB ,1=PA . (Ⅰ)求证:平面PBC ⊥平面PAB ; (Ⅱ)求点C 到平面PBD 的距离。

(Ⅲ),求PC 与平面PAD 所成的角的正弦值.
21.点)0,1(F ，直线1:-=x l ，动点P 到点F 的距离与到直线l 的距离相等．
〔1〕求动点P 的轨迹C 的方程；〔2
〕直线:m y b =+与曲线C 交于A ，B 两点，假设曲线C 上存在点D 使得四边形FABD 为平行四边形，求b 的值.
P
A
B C
D
22.函数
x x x f -=2
)(,x x g ln )(=. (1)求函数()()()G x f x g x =-的极值；(2)假设)()(x ag x f ≥恒成立,求实数a 的值； (3)设)()()(x mg x f x F +=)(R m ∈有两个极值点1x 、2x (1x <2x ),求实数m 的取值范围,并证
明162ln 43)(2+-
>x F .
玉溪一中高2015届高二下学期第二次月考 文科数学试卷参考答案 一，BBABB ，DDCCA ，AA 。

13．21
， 14，25 15，2， 16， 24
17.
解
:
〔
1
〕
根
据
柯西
不等式
2
1
22221
)32()131
21(1331
2211c b a c b a c b a ++++≤⋅+⋅+⋅=++=
=S ⋅611∴
116≥S ，等号成立的条件是.
116
,112,113===c b a ∴当
.116,112,113===
c b a 时，116min =S 。

〔2〕根据条件可得：⎩⎨⎧-=+-=+2221321c b a c
b a ，
根据柯西不等式得：
)
32)(31
21()331
22
1(
222b a b a ++≤⋅+
⋅
即)32(65)(222b a b a +⨯≤
+，∴)1(65)1(22c c -⋅≤-，解之得1111
≤≤c
18.解:〔1〕设
{}n a 的公差为d .
因为⎪⎩⎪⎨⎧==+,,122
222b S q S b 所以⎪⎩⎪⎨⎧+==++．，
q d q d q 6126
解得 3=q 或4-=q 〔舍〕，3=d .故()3313n a n n =+-= ，1
3-=n n b .
〔2〕由〔1〕可知，
()332n n n S +=
，
所以
()122113331n n c S n n n n ⎛⎫
=
==- ⎪++⎝⎭
.
故()21111
121211322313131n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎣⎦…
19. 解:〔1
〕由222a b c +=
，得222
a b c +-
，所以2cos ab C ，
cos C =
，由(0,)C ∈π，C π
=
6．
〔2〕由〔1〕得
A B 5π+=
6，即B A
5π
=-6，
又ABC ∆为锐角三角形，故0,0,A A 5ππ⎧
<-<⎪⎪62⎨
π⎪<<⎪⎩2从而A ππ<<
3
2． 由1c =，所以
1
sin sin sin
a b
A B
=
=
π
6
，故2sin a A =，2sin b B =，
2sin b A B
-=
-2sin A A π⎛⎫
=-+ ⎪
6⎝⎭
2sin cos 2cos sin A A A
ππ=--
66cos A A -2sin A π⎛⎫=- ⎪6⎝⎭．
由A ππ<<32，得A πππ<-<663，所以
1sin 2A π⎛⎫<-< ⎪
6⎝⎭b -∈．
20．解:(Ⅰ)∵PA⊥平面ABCD, BC ⊂平面ABCD,∴PA⊥BC, 又AB⊥BC,PA∩AB=A, ∴BC⊥平面PAB, ∵BC ⊂平面PBC,
∴平面PBC⊥平面PAB
(Ⅱ),
21
=
∆BCD S , ∵ ,5,3,2,2==∴==PB PD AD BD
PD BD PB PD BD ⊥∴=+∴,222,
263221=⨯⨯=
∆PBD S
设点C 到平面PBD 的距离为h ,∵
BCD P PBD
C V V --=∴
121312631⨯⨯=⨯⨯h ,∴66
=
h (Ⅲ),由(Ⅱ)知,PD BD ⊥,又BD PA ABCD ，
PA ⊥∴⊥平面,∴PAD ，BD 平面⊥连接AC 交BD 于E,
,210,5=
=AE CA 22
=DE ,由相似形可得,点C 到平面PAD 的距离
=1=⨯AE DE
CA ,6=PC ,
∴,PC 与平面PAD 所成的角的正弦值是66.
21. 解:〔1〕依题意，动点P 的轨迹C 是以)0,1(F 为焦点，1:-=x l 为准线的抛物线, 所以动
点P 的轨迹C 的方程为
x y 42= 〔2〕解法一：因为)0,1(F ，故直线FD 的方程为)1(3-=x y , 联立方程组⎩⎨
⎧=-=x y x y 4)
1(32消
元得：031032
=+-x x ，解得D 点的横坐标为3=x 或
31
=
x , 由抛物线定义知：
42=+
=p x FD 或34
又由2
4y b y x ⎧+⎪⎨=⎪⎩ 消元得：
04432
=+-b y y 。

设),(11y x A ，),(22y x B ， 如此031616>-=∆b 且⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
=⋅=+34342121b y y y y ,
所以AB =b
3138
-⋅=
因为FABD 为平行四边形，所以FD
AB = 所以43138
=-⋅b 或34，
解得
123
5-
=b 或43，代入0>∆成立。

〔2〕解法二：因为)0,1(F ，故直线FD 的方程为)1(3-=x y
联立方程组⎩⎨⎧=-=x y x y 4)
1(32消元得：031032=+-x x ，解得3=x 或
31=x 故点)32,3(D 或)332,31(-D . 当)32,3(D 时，设),(),,(2211y x B y x A 联立方程组⎩⎨⎧=+=x y b
x y 432消元得：0)432(322=+-+b x b x 〔*〕
根据韦达定理有34
3221--
=+b x x ①，
3221b x x =⋅② 又因为四边形是平行四边形，所以FB FD FA =+， 将坐标代入有212+=x x ③
代入①有31
31--=b x ，3532+-=
b x 代入②有
33533132b b b =+-⋅-- 整理得
123
5-
=b 此时〔*〕的判别式0>∆,符合题意.
当
)33
2,31(-D 时，同理可解得43=
b . 22. 解:〔1〕)(x G 的定义域是),0(+∞，
x x x G 112)(-
-='x x x )
12)(1(+-=.
）上递增，）上递减，在（在（∞+∴11,0)(x G ,故当x=1时，G 〔x 〕的极小值为0. 〔2〕令)()()(x ag x f x h
-=，如此0)1(=h ． 所以()0h x ≥即()(1)h x h ≥恒成立的必要条件是(1)0h '
=，
又
()21a
h x x x '=--
，由(1)210h a '=--=得：1a =．
当1a =时，221
()x x h x x --'=，知()=(1)0h x h =min ，
故()0(0)h x x ≥>，即)()(x ag x f ≥恒成立．
〔3〕由)()()(x mg x f x F +=x m x x ln 2+-=，得)0(2)(2>+-='x x m
x x x F ．
)(x F 有两个极值点1x 、2x 等价于方程022=+-m x x 在),0(+∞上有两个不等的正根，即：
12
1218010202m x x m x x ⎧
⎪∆=->⎪
⎪
+=>⎨⎪
⎪
=>⎪⎩， 解得
10m 8<<． 由
2()0
F x '=，得
2
2
2
2m x x =-+，其中
1211042x x <<
<<.
所以
22
222222
()(2)ln F x x x x x x =-+-．
设
)
21
4
1
(,ln )2()(22<<-+-=x x x x x x x ϕ，得0ln )41()(>-='x x x ϕ，
所以162ln 43)4
1()(+-
=>ϕϕx ，即
162
ln 43)(2+-
>x F ．。