5.2近自由电子近似

零级波函数也必须写成两波的线性组合。
9
2.本征值
将波函数代入薛定谔方程
h 2 d2 0 0 0 0 V A k (x) B k (x) E A k (x) B k (x) 2 2m dx
利用

h
2
d
2
17
我们取V0=0。由于势能是实数,可得关系式：
V n Vn
*
3
2.零级近似解
h 2 d2 V ( x) k (x) Ek k (x) 2 2m dx
h 2 d2 V k (x) Ek k (x) 2 2m dx
按照微扰理论,哈密顿量写成

2 (2)
A
C
当=0时： E
Tn V n

n a
O
n a
k
E Tn V n
禁带宽度： E g 2 V n
V ( x)
a 2 a 2
Vne
n
ikx
Vn
a
1
a 2 a 2
V ( x )e
ikx
dx
a
1
i
2π a
nx
V ( x )e
k ' V k
0 Ek
2
0 Ek

h k
2
2

0 E k
2m

n
Vn h
2
2
2π 2 2 k (k n) 2m a
0 k ( x ) k ( x ) ' k
'
k ' V k Ek Ek
0 0
'
0 k
'

1 L
e
ikx
' 1 2 h n 2m
4
ˆ H 0
0 k
(x) Ek (x)
0

0 k ( x)

Ae ikx ,
A
1 L
Ek
0
h k
2
2
2m

Na
0 k ( x ) k ( x )dx kk 0
计入微扰后本征值的一级和二级修正为：
E k V k ，E
1 k 2 k k
'
k V k
'
2
x) 0
将上式分别左乘
0* k
( x )和
0* k
( x ) 再对 x 积分 :
10
利用：
V ( x ) k dx V0 0
0
0* k
2π ' V 当k k n ' ' k V ( x ) k k V ( x ) k n a 0其他情况
得： ( E ko E ) A Vn* B 0
0 Vn A ( E k E ) B 0
要使A，B有非零解，必须满足
0 Ek E
V n* E
0 k
Vn
E
0
由此求得
1 0 0 E E k E k 2
E
0 k
E
0 2 k

4Vn
第二节 近自由电子近似
本节主要内容：
5.2.1 一维弱周期场的解 5.2.2 一维简并微扰的计算
5.2.3 能带的三种图示法
1
§5.2 近自由电子近似
模型：假定周期场起伏较小，而电子的平均动能比其势能的 绝对值大得多。作为零级近似，用势能的平均值V0代替V(x)，把 周期性起伏V(x)-V0作为微扰来处理。
dx
14
E Tn V n
T 1 2 n Tn Vn
2 2
(1)
(2)
E Tn V n
结论：
禁带宽度为 2 V n ；
T 1 2 n Tn Vn
(1)在k=n/a处(布里渊区边界上），电子的能量出现禁带，
dx
2π a n
V ( x a ) Vne
V ( x ) Vne
n i 2π a
ik ( x a )
1,
2π a nx
即k
nx
V0 ' Vne
n
V0 V
“'”表示求和不包括n=0 项
其中 V 0 1 a
a

2 a 2
V ( x )d x 是势能的平均值
2

11
1 0 0 E E k E k 2
E
Vn
0 k
E
0 2 k

4Vn
2

T n (1 )
2
2
4 T n2 2
k nπ a
nπ Tn 2m a h
2
2
代表自由电子在
状态的动能。 (1)
E Tn V n
E k E k'
0 0
波函数的一级修正为
1 k k'
k ' V k
0 Ek

0 Ek'
0 k
'
5
E k k V k , E k
1 2
1 k k
'

k'
k V k
' 0 0 Ek Ek
'
2
k ' V k Ek Ek
0 0
'
0 k
'
将 V V ( x ) V 0 带入
利用：
1 k
0 V ( x ) k dx V0
0* k
E
0* k
V ( x ) V0 k0dx 0
2π ' Vn当k k n ' k V ( x) k a 0其他情况
6
可以证明：
k ' V k
计入微扰后:
E '
k
ˆ 式中H0
ˆ 由H
ˆ ˆ ˆ H H 0 H ,
h
2
d
2 2
2m dx
ˆ H V
'V
n
i n
2π a
nx
e
k
( x ) E k ( x )得
0 1 2 Ek Ek Ek Ek 0 1 2 k ( x) k ( x) k ( x) k ( x)
上式右端第一部分为平面波，第二部分为电子在行进过程
中遭受到起伏势场的散射作用所产生的散射波，各散射波的振幅 为：
h
2
Vn 2π 2 2 k (k n) 2m a
k 当 k n π a 时， n π
a ， 因为它的振幅已足够大，
这时散射波不能再忽略，此时 E 0 E 0 出现能量简并，需用 k k 简并微扰计算。
i nx a Vn e 2π 2 2 k (k n) a
2π
e uk ( x )
ikx
7
k ( x)

1 L
e
ikx
2π i nx Vn e a 1 ' 2 h 2 2π 2 n k (k n) 2m a
Tn Tn 1 2 Vn
2 2
E Tn V n
T 1 2 n Tn Vn
(2)
12
E Tn V n
T 1 2 n Tn Vn
2
E k
(1)
0
在能带底部，能量随波矢k的变化关系是向上弯曲的抛物 线；而在能带顶部，则是向下弯曲的抛物线。
13
E Tn V n
T 1 2 n Tn Vn
2
E k
(1)
0
D
0
B
E Tn V n
T 1 2 n Tn Vn

2π a

π a
O
π a
允许带
2π a
3π a
k
(a)扩展区图：在不同的布里渊区画出不同的能带。
16
E
E6 E5
允许带 允许带
允许带
E4
E3
E2
E1
禁 带

3 a

2 a


a
O

a
2 a
3 a
k
电子能带的三种图示法
扩展区图
(b)简约区图：将不同能带平移适当的倒格矢进入到第一 布里渊区内表示(在简约布里渊区内画出所有的能带)。 (c)周期区图：在每一个布里渊区中周期性地画出所有能带 (强调任一特定波矢k的能量可以用和它相差Kh的波矢来描述)。
(2)在k=n/a附近，能带底部电子能量与波矢的关系是向 上弯曲的抛物线，能带顶部是向下弯曲的抛物线； (3)在k远离n/a处，电子的能量与自由电子的能量相近。
利用以上特点，可以画出在波矢空间近自由电子的能带。
15
5.2.3 能带的三种图示法
E
E6 E5
允许带
E4
禁带
E3
允许带
E2
E1

3π a
D
0
B
E Tn V n
T 1 2 n Tn Vn
2 (2)
A
C
k k
nπ a
(1 )，
n a
O
n a
k
nπ a
(1 )，为小量时
由于 是小量，(1)式只适用于禁带之上的能带底部，而
(2)式则只适用于禁带之下的能带顶部。
2m dx
h
2
k (x) Ek (x) k (x) 2
0 0 0
0 0 0Leabharlann d22m dx
k (x) Ek (x) k (x) 2
0 ( k
0 0 得到 A E k E V k ( x ) B E k E V 0
8
5.2.2 一维简并微扰的计算
1.零级波函数
当k n π a ，
k nπ a
时，
零级近似的波函数应该是这两个波的线性组合
0 0 0 ( x ) A k ( x ) B k ( x )
事实上，当波矢接近布拉格反射条件时，即
k nπ a (1 )，k nπ a (1 )，为小量时，
5.2.1 一维弱周期场的解
1.势场
V ( x a ) V ( x ) (a为晶格常量)
V ( x)
V
n
n
e
ikx
Vn
a
1
a 2 a 2
V ( x )e
ikx
dx
2
V ( x)
Vne
n
n
ikx
Vn
,
a
e
ika
i
1
a 2 a 2
V ( x )e
ikx