2020届河南省高考适应性测试数学(理)试题解析

绝密★启用前
数学试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知集合{
}
2
450A x x x =--≤，{}
1B x x =<，则A B =（）
A ．()1,1-
B ．[
)1,1-
C ．51,
4⎛⎫- ⎪⎝⎭
D ．(]1,1-
答案：B
先求出集合A ，然后求两集的交集即可. 解：
解：因为{
}
2
545014A x x x x x ⎧⎫
=--≤=-≤≤
⎨⎬⎩⎭
，{}1B x x =< 所以{}
11A B x x ⋂=-≤<． 故选：B 点评：
本题考查集合的交集，考查运算求解能力，属于基础题．
2．已知复数2017
11i z i
-=+，则z 的虚部是（）
A ．1-
B ．i -
C ．1
D ．i
答案：C
利用41i =化简后再由复数的除法法则计算出z 后可得z ，从而得z 的虚部． 解：
由2017
11i z i
-=+，得21(1)1(1)(1)i i z i i i i --=
==-++-，则z i =，其虚部为1． 故选：C ． 点评：
本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力．
3．顶点在坐标原点，准线为2y =-的抛物线的方程为（） A ．28x y =
B ．24x y =
C ．2
8y x =
D ．24y x =
答案：A
根据抛物线的概念和性质，即可求出结果. 解：
设抛物线方程为2
2x py =， 由题意可知，22
p
-
=-，得4p =， 所以所求抛物线的方程为28x y =． 故选：A . 点评：
本题考查抛物线的概念和性质，考查运算求解能力，属于基础题． 4．函数()cos x
f x e x =-的部分图象大致为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
答案：D
先求出函数的导数()sin x
f x e x '=+，可得当0x >时，则()0f x '>，从而函数()
f x 在()0+∞，
上单调递增，则排除选项A ，C ，再由22cos 022f e e ππ
ππ⎛⎫
=-=> ⎪⎝⎭
，排除除选项B ，得出答案. 解：
由()cos x
f x e x =-，则()sin x
f x e x '=+
当0x >时，e 1x >则()sin 0x
f x e x '=+>，
所以函数()f x 在()0+∞，
上单调递增，则排除选项A ，C
又22
cos 022f e e ππ
ππ--⎛⎫-=--=> ⎪
⎝⎭
（），排除除选项B 故选：D 点评：
本题考查函数图像的识别，考查利用导数判断函数的单调性，属于基础题. 5．执行如图所示的程序框图，则输出的k =（）
A ．5
B ．3
C ．6
D ．4
答案：A
执行程序框图，依此写出每次循环时的,k S 的值并判断，直到当0S <时，退出循环，输出k 的值. 解：
第一次循环：615S =-=，112k =+=，0S >，不满足0S <执行循环； 第二次循环：523S =-=，213k =+=，0S >，不满足0S <执行循环； 第三次循环：330S =-=，314k =+=，0S =，不满足0S <执行循环； 第四次循环：044S =-=-，415k =+=，0S <，退出循环，此时输出5k =. 故选:A 点评：
本题主要考查直到型循环结构的计算结构的输出，对于这类问题，通常是利用程序框图给出的算法计算出每一步的结果并判断即可，属于基础题.
6．中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，反映了中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系，
是中华民族的瑰宝．某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量x （单位：克）与药物功效y （单位：药物单位）之间满足2
152y x x =-．检测这种药品一个批
次的6个样本，得到成分甲的含量的平均值为5药的药物功效的平均值为（） A ．18药物单位 B ．15药物单位 C ．20药物单位 D ．10药物单位
答案：B
设这6个样本中成分甲的含量分别为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，平均值为x ，根据
方差概念计算出222
126x x x ++⋅⋅⋅+，再计算出
()()222
126126126152y y y x x x x x x ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+，可得y ．
解：
设这6个样本中成分甲的含量分别为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，平均值为x ，
则()()()(
)2
222
2
222
1261
2
6
6630x x x x x x x x x
x
-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-=⨯
=，
所以222
126180x x x ++⋅⋅⋅+=．
于是()()
2
2
2
12612612615290y y y x x x x x x ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=，则
126
156
y y y y ++⋅⋅⋅+=
=．
故选：B ． 点评：
本题考查均值和方差的概念，掌握均值与方差的计算公式是解题关键．本题还考查统计与数学文化，考查数据处理能力．
7．函数f （x ）＝2sin 2
（ωx ﹣6π
）＞（ω＞0）的最小正周期为π．则f （x ）在3,
44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最小值是（）
A ．
B ．
12
C ．2
D ．1 答案：D
由函数的最小正周期得到ω的值，再根据x 的取值范围求出23
x π
-的取值范围，结合
余弦函数的性质得到函数的最小值； 解：
解：因为()22sin 1cos 263f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，且()f x 的最小正周期为π，所以22ππω=
解得1ω=，所以()1cos 23f x x π⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭
因为3,44x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
所以72,366x π
ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以cos 21,32x π⎡⎛
⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦
所以()min 12
f x =- 故选：D 点评：
本题考查三角函数的性质的应用，属于基础题.
8．连续掷三次骰子，先后得到的点数分别为x ，y ，z ，那么点(),,P x y z 到原点O 的
A ．
13108
B ．
427
C ．
1172
D ．
16
答案：A
根据题意可知点(),,P x y z 的情况共有216种，由点P 到原点O (),,P x y z 满足22221x y z ++<，列出满足条件的所有情况，再根据古典概型即可求
出结果. 解：
由题意可知，所有点(),,P x y z 的情况共有666216⨯⨯=种，
点P 到原点O (),,P x y z 满足2
2
2
21x y z ++<，
所以满足条件的点P 有()1,1,1，()1,1,2，()1,1,3，()1,1,4，()1,2,1，()1,2,2，()1,2,3，
()1,3,1，()1,3,2，()1,3,3，()1,4,1，()2,1,1，()2,1,2，()2,1,3，()2,2,1，()2,2,2，
()2,2,3，()2,3,1，()2,3,2，()3,1,1，()3,1,2，()3,1,3，()3,2,1，()3,2,2，()3,3,1，
()4,1,1共26个，
故点P 到原点O 的概率为
2613
216108
=．
点评：
本题考查古典概型，考查数据处理能力和应用意识，属于基础题． 9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．
已知
cos ,cos 2==
-ABC
B b
S C a c
且b
，则a +c ＝（） A ．
B ．
C
D ．
答案：D
利用余弦定理角化边可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理可得3
B π
=，根据三角形
面积公式可得3ac =，再根据余弦定理可求得结果. 解：
因为cos cos 2B b C a c
=-，所以222
222
222a c b b ac a b c a c ab
+-=+--，化简得222a c b ac +-=， 所以2221
cos 22
a c
b B a
c +-==，因为0B π<<，所以3B π=，
所以1
sin 2
ABC
S
ac
B
4
，所以22
ac =，所以3ac =， 又2222cos b a c ac B =+-，所以2
3()2a c ac ac =+--，所以
2()3312a c ac +=+=
，
所以a c +=. 故选：D. 点评：
本题考查了三角形的面积公式、余弦定理，属于基础题.
10．设A 为双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线上一点，且A 在第四象限，
O 为坐标原点，若向量m ＝（1，1），10,OA =且2OA m ⋅=-，则该双曲线的离心
率为（） A ．
B
C
．
3
D
由已知可设,b A t t a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中0t >，由10,OA =且OA 2m ⋅=-，可得2
2
210a t c
=，
2a
t b a
=
-，建立关于,a b 的方程，解之，再由双曲线离心率的公式可得选项. 解：
由已知可得A 为直线b y x a =-
上一点，且A 在第四象限，故可设,b A t t a ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，其中
0t >，
2
c OA t t a
===，其中c =，2
2
210a t c ∴=，
22,b a
OA m t t t a b a
⋅=-=-∴=-，
0,0t b a >∴>>，2
2
2
2102a a t c b a ⎛⎫== ⎪-⎝⎭
，2222221042a a a b b ab a =+-+，
2231030a ab b ∴-+=，即(3)(3)0a b a b --=，0b a >>，3b a ∴=.
所以该双曲线的离心率为c a ==== 故选：A. 点评：
本题考查求双曲线的离心率的问题，关键在于由已知条件得出关于,,a b c 的方程，属于中档题.
11．三棱锥S ﹣ABC 的各顶点均在球O 的球面上，SC 为该球的直径，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝120°，且三棱锥S ﹣ABC 的体积为2，则球O 的半径为（）
A B C ．
5
2
D ．3
答案：A
作出示意图，求得ABC 的面积，并计算出三棱锥S ABC -的高SD ，利用正弦定理计算圆E 的直径CD ，然后利用勾股定理求出SC ，即可求解球的直径，得到答案. 解：
如图所示，因为2,120AC BC ACB ==∠=，
可得ABC 的面积为11sin 22224
ABC S AC BC ACB ∆=
⋅∠=⨯⨯⨯=
设ABC 的外接圆为圆E ，连接OE ，则OE ⊥平面ABC ， 作圆E 的直径CD ，连接SD ，
因为,O E 分别为,SC CD 的中点，则//SD OE ，所以SD ⊥平面ABC ，
所以三棱锥S ABC -的体积为1
323
S ABC V SD -=⨯⨯=，解得23SD =， 由正弦定理，可得4sin sin 30
AC AC
CD ABC =
==∠，2227SC CD SD =+=， 设球的半径为R ，则227R SC ==，解得7R =.
故选：A.
点评：
本题主要考查了球的体积的计算公式及应用，其中解答中作出示意图，根据组合体的结构特征，找出线面垂直关系，求得三棱锥的高是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.
12．已知函数()2
1,f x x ax x e e
⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
与()x g x e =的图象上存在两对关于直线
y x =对称的点，则a 的取值范围是（）
A ．1,e e e ⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦
B ．1(1,]e e
-
C ．1[1,]e e
-
D ．1[1,]e e
+
答案：B
根据函数()2
1,f x x ax x e e
⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与()x
g x e =的图象上存在两对关于直线y x
=对称的点，则函数()2
1,f x x ax x e e
⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭
与函数()ln h x x =的图象有两个交点，
即方程2ln x ax x -=，1
()x e e
≤≤有两解，利用导数法，可得a 的取值范围. 解：
解：因为函数()2
1,f x x ax x e e ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭与()x g x e = 的图象上存在两对关于直线y x =对称的点，
所以函数()2
1,f x x ax x e e
⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
与函数()ln h x x =
的图象有两个交点，即方程2ln x ax x -=，1
()x e e
≤≤有两解，
即方程ln x a x x =-
，1
()x e e ≤≤有两解， 令ln x y x x =-，1
()x e e
≤≤，
则22
1ln x x
y x -+'=，
当
1
1x e
≤<时，0y '<，函数y 为减函数； 当1x e <≤时，0y '>，函数y 为增函数. 故当1x =时，min 1|1x y y ===， 又
111
||x e x e
y e y e e e ===+=-，， 所以当1=
x e
时，1
max y e e =+，
画出函数图象，如图：
由图可知a 的取值范围1(1,]e e
-. 故选：B. 点评：
本题考查函数的对称性、导数与函数的应用，函数与方程的根的关系的应用，考查理解
辨析能力与运算求解能力，属于综合题. 二、填空题
13．函数f （x ）＝22,01,0
x x x nx x ⎧+⎨>⎩，则f （f （1
e ））＝_____．
答案：﹣1
先计算出11e f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，再计算()1f -得值，由此得出结果. 解：
依题意得1(1)1e f f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 故答案为：1- 点评：
本题主要考查分段函数求值，考查对数运算，考查运算求解能力，属于基础题. 14．已知向量a (3,),b (6,8)==m 若a 与b 平行，则m ＝_____． 答案：4
根据向量平行的坐标表示直接列式求解. 解：
由题意可知若a 和b 平行， 则386m ⨯=，解得：4m = 故答案为：4 点评：
本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题型.
15．4
231x x ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭的展开式中，常数项为______． 答案：145
先将4231x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭化简为()()444
132x x x -+，由此可知4
231x x ⎛⎫-- ⎪
⎝⎭的常数项为
()()
44
132x x -+的展开式中的4x 的系数，从而可求得结果.
解：
因为()()44
4
4
132231x x x x x =
-+⎛⎫-- ⎪⎝
⎭，所以4
231x x ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭的常数项为
()()
44
132x x -+的展开式中的4x 的系数，
故4
231x x ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭的展开式中常数项为()()2
0441332
44444C C 2C 1C 32C 1⨯⨯+⨯-⨯⨯⨯+⨯-⨯ ()3
22231340444444C 32C 1C 32C C 3145⨯⨯+⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯=．
故答案为：145 点评：
本题考查二项式定理，考查运算求解能力，属于基础题． 三、双空题
16．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱长为6，底面是边长为8的菱形，且
120ABC ∠=，点E 在边BC 上，且满足3BE EC =，动点M 在该四棱柱的表面上
运动，并且总保持1ME BD ⊥，则动点M 的轨迹围成的图形的面积为______；当MC 与平面ABCD 所成角最大时，异面直线MC 与AC 所成角的余弦值为_______． 答案：153
251
17
首先可证1BD AC ⊥，在AB 上取F ，使得3BF FA =，连接EF ，则//EF AC ，可得
1⊥BD EF ．记AC 与BD 的交点为O ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角
坐标系O xyz -，在1BB 上取一点G ，由10BD EG ⋅=，求出G 点的位置，从而得到动点M 轨迹，即可求出动点M 的轨迹围成的图形的面积，显然当M 与G 重合时，MC 与平面ABCD 所成角最大，利用空间向量法求异面直线所成角的余弦值； 解： 解：
如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为底面是菱形，侧棱垂直底面， 所以AC ⊥平面11BDD B ，所以1BD AC ⊥．
在AB 上取F ，使得3BF FA =，连接EF ，则//EF AC ，所以1⊥BD EF ． 记AC 与BD 的交点为O ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 则()4,0,0B ，()14,0,6D -
，()
E ．
在1BB 上取一点G ，记为()4,0,G t ，于是()18,0,6BD =-
，()
3,EG t =-． 由12460BD EG t ⋅=-+=，得4t =，即12BG GB =， 所以EFG 的边为点M 的运动轨迹．
由题意得FG =
33
44
EF AC =
=⨯=， 动点M
的轨迹围成的图形的面积为
1
2
⨯=．
显然当M 与G 重合时，MC
与平面ABCD 所成角最大． 因为()4,0,4M
，()
1C ，所以()
1MC =-，
(1MC =
-=
因为直线AC 的一个方向向量为()0,1,0n =，所以
11143cos ,17217
MC
n MC n MC n
=
=
=，
即异面直线1MC 与AC 所成角的余弦值为
17
． 故答案为：；17
. 点评：
本题考查空间中点、线、面的位置关系，利用空间向量法解决立体几何问题，考查直观想象与数学运算的核心素养，属于难题． 四、解答题
17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n
n S =+．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）若()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
答案：（1）13,12,2
n n n a n -=⎧=⎨≥⎩；（2）()2325n
n T n =-⋅+.
（1）令1n =可求得1a 的值，令2n ≥可得出1n n n a S S -=-，然后对1a 的值是否满足n a 在2n ≥时的表达式进行验证，由此可得出数列{}n a 的通项公式； （2）求得数列{}n b 的通项公式，然后利用错位相减法可求得n T . 解：
（1）当1n =时，1
11213a S ==+=；
当2n ≥时，(
)(
)1
11212
12n
n n n n n a S S ---=-=+-+=.
13a =不适合12n n
a .
综上所述，13,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩
；
（2）由（1）可得()()1
3,1
21212,2n n n n b n a n n -=⎧=-=⎨-⋅≥⎩
. 当1n =时，13=T ；
当2n ≥时，()1
2
3
133********n n T n -=+⋅+⋅+⋅++-⋅，
得()()1
2
312323252232212n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅，
上式-下式得
()()()223
1
8123222222
212321212
n n n
n
n T n n ----=+⋅+⋅+
+⋅--⋅=+
--⋅-()5322n n =-+-⋅，
()2325n n T n ∴=-⋅+，13=T 满足()2325n n T n =-⋅+，
因此，()2325n
n T n =-⋅+.
点评：
本题考查利用n S 求n a ，同时也考查了错位相减法，考查计算能力，属于中等题. 18．在一次庙会上，有个“套圈游戏”，规则如下：每人3个竹环，向A ，B 两个目标投掷，先向目标A 掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标B 连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，根据最终得分发放奖品．已知小华每投掷一次，套中目标A 的概率为
4
5，套中目标B 的概率为34
，假设小华每次投掷的结果相互独立． （1）求小华恰好套中一次的概率；
（2）求小华总分X 的分布列及数学期望． 答案：（1）
18
；（2）分布列见解析，()19
5E X =. （1）分为套中目标A 和套中目标B 两种情形，结合相互独立事件同时发生的概率计算公式即可得结果；
（2）X 的可能取值为0，1，2，3，4，5求出相对应的概率，再计算期望即可. 解：
（1）设“小华恰好套中一次”为事件A ， 则()4111311
25445448
P A =
⨯⨯+⨯⨯⨯=. （2）X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，
()1111054480P X ==⨯⨯=；()4111
154420P X ==⨯⨯=；
()131********P X ==⨯⨯⨯=；()4313
3254410P X ==⨯⨯⨯=；
()1339454480P X ==⨯⨯=；()4339
554420
P X ==⨯⨯=；
∴X 的分布列为：
()0123458020401080205
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 点评：
本题考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列、数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
19．已知12(F F 分别是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一点，当PF 1⊥F 1F 2时，|PF 2|＝2|PF 1|． （1）求椭圆C 的标准方程：
（2）过点Q （﹣4，0）的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为点M ′，证明：直线NM ′过定点．
答案：（1）22
196
x y +=；
（2）直线NM '过定点9,04⎛⎫- ⎪⎝⎭. （1）由椭圆的定义和已知条件得1112
22,3
PF PF a PF a +==
，又由112PF F F ⊥可
得出点P 的坐标，代入椭圆的标准方程中可解出,a b ，从而得出椭圆的标准方程； （2）设出直线l 的方程，点M 、N 的坐标，直线l 的方程与椭圆的方程联立可得点M 、N 的坐标的关系，再表示出直线NM '的方程，将点M 、N 的坐标的关系代入可得直线NM ′所过的定点. 解：
（1
）由12(F F
得c =
，22223a b b ∴=+=+，
由椭圆的定义得122PF PF a +=，
212PF PF =，
1112
22,3
PF PF a PF a ∴+==
， 112PF F F ⊥
，所以点P 的坐标为23a ⎛
⎫± ⎪⎝
⎭，
将点P 的坐标代入椭圆的方程中有2
2222(31
a a
b ⎛⎫± ⎪
⎝⎭+=， 又2222
3,3a b b a =+=
-，2
22313
a a ⎛⎫
± ⎪⎝⎭+=-， 解得29a =或2
9
5
a =， 当2
95a =
，22
6305
b a =-=-<，故舍去； 当29a =，223936b a =-=-=，
所以椭圆的标准方程为：22
196
x y +=.
（2）由题意可知，直线l 的斜率必然存在,故设直线l 的方程为(4)y k x =+，设
()()1122,,,M x y N x y ，则()11,M x y '-，
联立方程组22
196
(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2222
322448180k x k x k +++-=，(
)
()()
2
2
2222443248181681440k
k k k ∆=-+-=-+>，
解得2
67k <，21222432k x x k +=-+，2122
4818
32
k x x k -⋅=+， 又()22,N x y ，()11,M x y '-，设直线NM '的方程为
()()()2121
22221
21
y y y y y y x x x x x x x x --+-=
-=
---，
21212122122221
222121212121
y y y y y y y x y x y x y x y x x y x x x x x x x x x x x ++++-∴=
-+=-+-----211221
2121
y y y x y x x x x x x ++=
---
()()
()()211221
21
21
4444k x k x k x x k x x x x x x x ++++⋅++⋅=
-
--
()()
12121221
21
824k x x k
kx x k x x x x x x x ++++=
-
--
22222
22121
24481824824323232k k k k k k k k k k x x x x x ⎛⎫⎛⎫-⋅-++⋅- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭=--- ()()()()22212116363232k k
x x x k x x k =
+
-+-+
()()
221169432k x x x k ⎛
⎫=
+ ⎪
-+⎝⎭，
当94x =-时，0y =，所以直线NM '过定点9,04⎛⎫- ⎪⎝⎭
. 点评：
本题考查椭圆的定义和简单的几何性质，求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系中直线过定点的问题，关键在于将目标条件转化到直线与椭圆的交点的坐标上去，属于较难题.
20．某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，其底面边长为4，高为1
的圆柱体的四分之一．
（1）当圆弧E 2F 2（包括端点）上的点P 与B 1的最短距离为2时，证明：DB 1⊥平面D 2EF ．
（2）若D 1D 2＝3．当点P 在圆弧E 2E 2（包括端点）上移动时，求二面角P ﹣A 1C 1﹣B 1的正切值的取值范围． 答案：（1）见解析，（2）3223
[]27
-
- （1）以D 为原点，以2,,DA DC DD 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，可得1120,0DB EF DB ED ⋅=⋅=，从而可证DB 1⊥平面D 2EF ；
（2）设(,,4)P a b ，则22
2,0,0a b a b +=≥≥，所以[2,2]a b +∈，求出平面11
PA C 的法向量4(1,1,
)3
a b
n --=，而平面111A B C 的一个法向量(0,0,1)m =，设二面角111P AC B --的大小为θ，则先求出cos θ，从而可得32
tan 4
a b θ=+-，再由
[2,2]a b +∈可得tan θ的范围.
解：
（1）证明：作PH ⊥平面1111D C B A 于H ，则H 在圆弧EF 上， 因为2211PB PH HB =
+1HB 取最小值时，1PB 最小，
由圆的对称性可知，1HB 的最小值为42232= 所以221142PH PB HB =
-=如图，以D 为原点，以2,,DA DC DD 的方向分别为x 轴，y 轴，
z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，
则21(0,0,0),(0,0,142),(2,0,1),(0,2,1),(4,4,1)D D E
F B +，
12(4,4,1),(2,2,0),(2,0,42)DB EF ED ==-=-,
因为112424200,420420DB EF DB ED ⋅=-++=⋅=-++=， 所以112,DB EF DB ED ⊥⊥,
因为EF ⊂平面2D EF ，2ED ⊂平面2D EF ，2ED EF E =,
所以DB 1⊥平面D 2EF ，
（2）解：若D 1D 2＝3，由（1）知()()()1114,0,1,0,4,1,4,4,1A C B , 设(,,4)P a b ，因为2
2
2,0,0a b a b +=≥≥，
设2,2,[0,]2
a b π
θθθ=
=∈
所以2sin()[2,2]4
a b π
θ+=+
∈，
111(4,4,0),(4,,3)AC A P a b =-=-，
设平面11PA C 的法向量为111(,,)n x y z =，
则11111111440(4)30n AC x y n A P a x by z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩
，
令11x =，则4(1,1,
)3
a b
n --=， 取平面111A B C 的一个法向量(0,0,1)m =，
设二面角111P AC B --的大小为θ，θ显然是钝角，
则4
cos cos ,2a b m n
m n
m n
θ+-⋅=
-=-=+， 0,sin 0,sin
θπ
θθ≤≤∴>==
则3
tan []42
7
a b θ=
∈--+-，
所以二面角111P AC B --的正切值的取值范围为3
[]27
--， 点评：
此题考查了利用空间向量证明线面垂直，求二面角，考查了空间想象能力和推理计算能力，属于较难题.
21．设函数f （x ）＝x ln x ，g （x ）＝ae x （a ∈R ）．
（1）若曲线y ＝f （x ）在x ＝1处的切线也与曲线y ＝g （x ）相切，求a 的值． （2）若函数G （x ）＝f （x ）﹣g （x ）存在两个极值点． ①求a 的取值范围；
②当ae 2≥2时，证明：G （x ）＜0． 答案：（1）21
a e =
；（2）①10a e
<<；②证明详见解析. （1）首先求切线方程，设切点()00,P x y ，利用导数的几何意义列式求解；
（2）①由条件转化为y a =与ln 1
x
x y e +=有两个交点，利用函数的导数求解； ②首先由已知条件22a e
≥，转化为()22ln ln x
x G x x x ae x x e e =-≤-，再通过构造函
数()22
ln x
x x e e F x x
-=
，利用导数证明()0F x <恒成立. 解：
（1）()ln 1f x x '=+，()11f '=，()10f =，
则切线方程为1y x =-
设切线与()y g x =相切于点()00,P x y ，
则0000
011
x x
ae y ae y x ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩，解得：02x =，01y =，21a e =；
（2）①()ln x
G x x x ae =-，0x >，
()ln 1x G x x ae '=+-，
当()0G x '=时，ln 1
e x
x a +=
， 若函数()G x 有两个极值点，即y a =与ln 1
x
x y e +=有两个交点， 设()()ln 1
0x
x h x x e
+=
>， ()1
ln 1
x x x h x e --'=，设()1ln 1t x x x
=--， ()211
0t x x x
'=--<，即函数()t x 在()0,∞+上单调递减，且()10t =，
∴在区间()0,1()0h x '>，在区间()1,+∞()0h x '<，
()h x ∴在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，
并且()1
1h e
=
，当x →+∞时，()0h x →，当0x →时，()h x →-∞， 若y a =与()y h x =有两个交点时，1
0a e
<<；
②()()()ln x G x f x g x x x ae =-=-，当2
222ae a e
≥⇔≥，
()22
ln ln x x G x x x ae x x e e
=-≤-，
令()22
2
ln 2ln x
x x x e e e F x x x x e
-==-⋅， ()()222
211212
x
x x e x x e e F x x x e x x e
-⋅-'=-⋅=-⋅， 显然01x <<时，()0F x '>,()F x ∴在()0,1上单调递增， 当()0,1x ∈时，()()2
10F x F e
<=-
<， 当1x >时，()()()2222111221x
x e x x e x F x x x e x e x ---⎛⎫'=-⋅=- ⎪-⎝⎭
，
令()221
x e x H x e x =--，1x >，()()222101x e H x e x '=+>-， ()H x ∴在()1,+∞上单调递增，又()20H =,
()1,2x ∈时，()0H x <，当()2,x ∈+∞时，()0H x >,
∴当()1,2x ∈时，()0F x '>，当()2,x ∈+∞时，()0F x '<，
()F x ∴在()1,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，
当1x >时，()()2ln 210F x F ≤=-<，
综上所述，()()0G x F x ≤<，
所以()0G x <.
点评：
本题考查导数的几何意义，根据极值点的个数求参数的取值范围，以及证明不等式，重点考查转化与化归的思想，逻辑推理，计算能力，属于难题，本题的难点是第三问，需构造函数()22
2ln 2ln x x x x e e e F x x x x e -==-⋅，函数的变形求解.
22．在直角坐标系xOy 中，P （0，1），曲线C 1
的参数方程为122x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）．以
坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=．
（1）求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
（2）曲线C 1与C 2交于M ，N 两点，求||PM |﹣|PN ||．
答案：（1）10x y +-=，2240x y x +-=，（2
（1）把曲线C 1的参数方程消去参数t 可得普通方程，曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=两边同乘以ρ，把互化公式代入可得直角坐标方程；
（2）把曲线C 化成标准参数方程，代入曲线C 2的直角坐标方程，得到关于t 的二次方程，然后利用t 的几何意义求解||PM |﹣|PN ||
解：
解：（1）曲线C 1
的参数方程为12x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），
消去参数t 得普通方程为10x y +-=，
曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=，两边同乘以ρ，
得24cos ρρθ=，所以其直角坐标方程为2240x y x +-=
（2）曲线C 1过点P （0，1）
，则其参数方程为212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，
将其代入方程22
40x y x +-=得，
22()(1)4()0222
-++-⨯-=，
化简得(22104140t ++=∆=-=>，，
设上式方程的根为12,t t
，所以12121t t t t +=-=，
所以12PM PN t t -=-=
==点评：
本题考查了参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，参数的几何意义，考查了计算能力，属于中档题.
23．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝3． （1）求
11+2+a b
的最小值； （2）证明：92+a b b a ab
答案：（1）45；（2）证明见解析 （1）由所给等式得()215
a b ++=，再利用基本不等式即可求得最小值；（2）利用()2222
a b a b ++≥即可逐步证明.
解：
（1）3a b +=，()215
a b ++∴=，且200a b +>>，， ∴()1111112++2225252b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭
14255⎛≥+= ⎝，当且仅当2=2b a a b ++即1522a b ==，时等号成立， ∴11+2+a b 的最小值为45
. （2）因为a ＞0，b ＞0，所以要证92+a b b a ab ，需证2292a b +≥， 因为()2222392
22a b a b ++≥==， 所以92+a b b a ab ，当且仅当32
a b ==时等号成立. 点评：
本题考查条件等式求最值、基本不等式的应用，属于中档题.。