二重积分(1)

第9 章重积分
9.1 二重积分
1学习指导
1. 基本要求
⑴理解二重积分的概念，知道二重积分的性质。

⑵掌握二重积分的计算方法，能够熟练地计算各种类型的二重积分。

⑶会利用二重积分解决几何、物理中的主要应用。

2. 重点与难点
重点二重积分的概念、计算和在几何、物理中的主要应用。

难点计算二重积分时选择合适的坐标系、积分顺序并恰当地配置累次积分的积分限，二重积分在物理上的应用。

3. 学习方法
⑴二重积分是定积分的推广，因此研究方法、定义、性质都是类似的，学习时应与定积分类比，温故知新，并注意有些性质的几何意义，以便理解和记忆。

⑵计算二重积分的关键是在直角坐标系或极坐标系下将其化为累次积分，选择坐标系和累次积分顺序的目的是使计算简便，它包含两点：一是对被积函数易于寻求原函数；二是对积分区域分块要少且定限容易，当二者不能兼顾时，一般以简化积分区域为主。

通常，当区域是圆形域、扇形域、环形域或它们的一部分，被积函数含有因子n
（X2+y2F或I等形式时，利用极坐标计算较简便，其余情况多采用直X
角坐标系，有时需利用变量代换去计算二重积分。

⑶化二重积分为累次积分的一般方法是“画图定限法”，即画出积
分区域D的草图，将它分割成几个简单区域（X -型区域，Y-型区域或9 一型区域），在直角坐标系下是先对哪个变量积分，就在区域 D
上画哪个坐标轴的平行线，而在极坐标系下，则是从原点出发画射线, 以此确定累次积分的上下限，此法可形象地叙述为“域中一线插，内限定上下，域边两线夹，外限利用它”。

当区域D的草图不易画出时, 可以采用“代数定限法”，即联立区域边界曲线组成的不等式组来分别确定各积分变量的变化范围，从而得到累次积分的各个积分限，有时也兼顾应用两种方法综合定限，注意将二重积分化为累次积分时先
积分的上下限是常数或后积分的积分变量的函数，而后积分的积分上下限都为常数；同时，两次积分的下限都小于上限，切不可弄错。

⑷计算二重积分时，还须考虑积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，尽可能地简化积分计算，在审题过程中注意以下几个原则: 是图形的对称性及被积函数的奇偶性；二是坐标系的选择；三是积分次序的先后顺序；四是计算定积分的准确性，从而更好掌握这一单元的学习。

⑸在计算及理论研究中，有时需要对已知二次积分变换积分顺序，更换的方法是:
由已知二次积分的上下限，写出表示积分区域D的不等式组，画
出积分区域D的草图，应注意不论已知二次积分由几项组成，区域 D
的草图都要在一个坐标系下画出，然后根据区域D的草图，确定另一
种顺序的二次积分的上下限，有时还需改变坐标系后再确定相应的二次积分的上下限。

⑹二重积分的元素法既是定积分微元素法的推广，也是三重积分、曲线积分、曲面积分元素法的基础，应掌握用二重积分元素法导出的解决几何和物理问题的计算公式，这不仅可解决二重积分的应用问题，还可以把这些公式推广到三重积分和线、面积分中去。

一般而言，只需将公式中的积分号“ U ”分别改为相应的积分号“川”
D Q
“ L ”或“”，被积函数从二元函数改为相应的多元函数。

应用积分方法解决应用问题的一般步骤如下:
①分析问题是否为积分问题，即所求量是否对积分区域具有可加性，若是，进行步骤②。

②选择某一种积分，使所求的几何量或物理量能用该积分清楚地表示出来。

③选取适当坐标系，并作草图，使积分表达式简单，定限方便且容易计算，注意选择坐标系时，一般应考虑对称性。

④写出积分表达式并计算所求量。

2解题指导
1.二重积分的性质
例1设积分区域D =D S^D2，其中
D 2关于y =x 对称，有s "2，所以
2 2
x x
JJ —dxdy< JJ —dxdy.
D i
y D 2 y
2 2 2
DI =
(x,y )y >x,y >丄,1< y <2), D 2 ={(x,y b y <x,y >—,1<x<2k
2 2
⑴比较JJ 冷dxdy 与JJ 冷dxdy 的大小，并说明理由; D i
y D 2
y
2 2
⑵JJ 笃dxdy =2 JJ 笃dxdy 对吗？为什么? D y
D i
y
⑶ H Jy 2dxdy = 2H l + y 2dxdy = 2H x
+ y 2dxdy 对吗？为什么? D x
D ；
D
；+y
分析 这是利用二重积分性质来讨论二重积分的问题， 比较被积 函数相等的两个二重积分的大小， 需比较两个积分区域的大小, 即比
较D 1与D 2的大小，关键是判别区域D 1和D 2与被积函数的关系, 估值定理确定被积函数在D 上的最大值和最小值。

解 ⑴作区域D = D i U D 2 .已知D i ：y3x:>0 ,则o /H <i ，
l y 丿
由估值
定理有
2
x
0 =仃Odb 吒仃=db < 仃idb =6 … -y 八
（S 为D i 的面积）。

D i D
i
D 1
又知 D 2 : ^x ，故
W 丿
2
J*
> JJ id b = S
( CT 2 为 D 2 的面积)
D
2。

D i 与
⑵仃笃dxdy = 口务dxdy中f耳dxdy,
D y D i y D y
2
x
dxdy H J Jr dxdy,
D 2
y
2
x
dxdy K2 JJr dxdy.
D I y
⑶ f (x,y )= 由 f (x, y )= f (y,x 知，f (x,y )关于 y = x 对称，区域
X + y
D I ,D 2也关于y=x 对称，从而有
[J 冷 dxdy
¥X^
dxdy
y X + y X + y
岭dxdy =2 ff dxdy = 2 ff dxdy .
y
D
1X +y
D
2X + y
证明I =
|x|
十y| <
JJ (4』xy | + x 2)db + JJ (4xy | + y 2
)db <8
分析 这是一个二重积分不等式证明题，注意到 』xy |与I xy 的
定
义域相
同， 可对|xy 估值，再整理化简，利用不等式及二重积分的性 质证明。

证 作区域D ，由二重积分性质，有
I =
4(J|xy | +|xy|) + ( W t v l < x 2
+y 2)]dcr 因为
0< X + y 兰1，所以
X 2+y 2
+2|x |y 兰1.由于x 2
+ y 2
工2x （，故4刈｛兰1， 即 |x |y |<1.又因为 X 2 + y 2 <1-2|x |y | <1，所以 4(』xy | +|xy)+(X 2
+ y 2
)兰 4(*
十!)+1=4,
2. 二重积分的计算 例3计算下列各题:
⑴I = ffxydxdy ，其中D 是由抛物线y=x 2
及直线y=x + 2所围的区
D
=JJxycosxy 2dxdy ，其中 D = {(x, y)0 <x < 二,0<y <2t ； D I 2
J
-Jj/eAdxdy ，其中D 是以(0,0),(1,1),(0,1)为顶点的三角形;
D
⑷ I = JJxydxdy ，其中 D = dy)|y
X0,x
D
解题思路 计算二重积分的一般步骤是：⑴画出区域的草图；⑵ 正
确选择坐标系；⑶化为二次积分，注意在直角坐标系下应正确选择 积分顺序；⑷计算二次积分。

解 ⑴作区域，在直角坐标系下，若先 x 后y 积分。

积分区域要 分成D i 和D 2，若先y 后X 积分。

则无需分块。

方法1先对y 后对x 积分，有
1 2 2
4
5
dx =1(i X[(x+2
)—xldx^5®
方法2先对X 后对y 积分，有
1 J y
4 J y
5
I = idy ］勺xydx+ 1 dy J y ,xydx = 55 .
⑵作区域，在直角坐标系下计算，注意到积分上下限均为常数, 则由被积函数决定先对x 积分或先对y 积分。

若先对x 后对y 积分，则
域;
2
+ y 2>1,x 2
+ y 2-2X <0}.
2
X 42
2 y
I = L dx l xydy "j X (专)
2
卫
2
I = J0dyJ 02
xycos(xy )dx ，
此时，虽用分部积分可计算对x 的积分，但对y 积分时不易求出原函 数。

若先对y 后对x 积分，则
2
2
2 2 2
1 2 2
I = 02 dx 0 xy cos(xy )dy = 02 dx 0- cos(xy )d (xy )
⑶因为Je^dy 不能用初等函数的有限形式表示出原函数， 所以在 直角坐标系下取先对x 后对y 的积分顺序，有
二1
J0y 2e 』dy 2 =-6(1 + y 2)ey ⑷积分域是圆域的一部分，被积函数形式
为xy 形式，故选择极坐 标计算简单。

由极坐标变换x=rcos8,y=rsin 日，则
- 2COS Q -
I = JJxydxdy=『d £[ r cos 日 siM 仙
D
= -(16『c 0 S 日 s i nd 日-『co Ss i nd 日)
1
<y <x | , U = *(x, y p 兰 y 兰1,丄兰 X 兰
2
1 5
=-[2
(sin xy 2
) 2 0
f
dxJfsi n4 xdx- 1
2 b 8
——cos4x 0=0. 2 e
1-—p
0=6(1 - 弓.
=f
3
co^ sin 日丄 r 」0
4
4 2 cos
1
=1『(16cos^sin H -cos 日sin 日)
JI
J[T6(W 4 6
兀
-2 n
3
/Sin 日
一(丁)
3.二次积分换序与计算
例4交换下列二次积分的积分顺序
1 X
=[
dx^f(X, y)dy + 1 dx 0 f(x, y)dy ;
=1
dx 1 f (x,y)dy ;
耳 2a cos Q
=J 2
兀d 叫 f (r COST, rsin8)rdr (a >■ 0).
解题思路将已知二次积分化为另一种顺序的二次积分，需借助 于二重积分，关键是利用已知二次积分的上下限， 写出积分区域的不 等式组，由不等式组在坐标系中画出积分区域的草图后， 再将其表示 为另一种积分顺序。

注意画图时对区域 D 的边界应明了，且D 的草图 须位于同一坐标系。

解 ⑴由 D i ={( X, y) 0 < X <1,0 < y < X}, D 2 ={( X, y)1 < X < 2,0 < y < 2 — x}，
贝J D 可表示为 D ={(x,y)0 < y <1,y < X <2 —y}.
⑵ 由 D ={( X, y) 0 < X < a, J 2ax — x 2 < y < J2ax},贝J D 可 表示为
的并，即D =D i U D
2，从而
D 2 =t x,y 1 <y <2,y <x <2}可知
12ax
0 d
^f ；^T-f(x,
y )d
y
; ax x 1 2
1
2_y
I = JJ f(X, y)db = [dyjy f(x, y)dx .
D1L D 2
y 2
Wx <a - J a 2
-y 2
}禾口 D 2 ={(x,y) a < y < J2a, y
<xWa}
2a
a a —J a 2
—y 2
2
I = JJ f (x,y)db = 0 dy L
■0
-4' 2a a f (X, y dx + ( dy M f (x,
.
2a
⑶由D 斗（x,y 1兰X 兰2,—
1 2 2 2
I = JJ f (x’y d
b = f i dy 1 f (x, y d
x + 1 dy j y f (x, y J dx .
D 2 y
⑷这是极坐标系下积分次序的交换，一般极坐标系下的二重积 分，若先对0后对r 积分定限较难。

由
D = {(r,0 戶一<0 < — ,0 < r <2acos8 >，
则D 可表示为
兀 d
r —<o <arccos —
6 2a
|j 3a < r < 2a, -arcco”^ 兰日兰 arcco^^
的并，所以
例5解下列各题:
化为另一种顺序下的二次积分，必要时还应转化坐标系（如本题⑵）。

注意将二次积分转化为二重积分时，二重积分的区域 D 应是一个整
体。

解 ⑴由于f 沁dx 不能表示成初等函数形式，故交换积分顺序
x
t 0
D j =*(r,日 J o <r <J 3a,- r
arccos — - 2a 6
r arccos —
・ 2a -arccos-L
2a
V 3a
I rdrj 兀 2a f(rco3,rsi
d 日 + J\a rdr J f (rcos 日，rs in
2a
⑴计算I 打dyf 沁dx ;
■0 八y X
R
⑵计算I =产dyj 0
y e
R \
dx + (R dy 'f 八
严
2
T 2 2 2
' e —dx (R 〉0).
分析计算二次积分的一般方法是将其转化为二重积分,
然后再
后计算。

ff f (x,y d xd ^ i dx ^0S ^d ^ i^^
xdx
D
XX
1
=f sin xdx = -cosx
-0
1
2 2
⑵本题中被积函数e 」，e 」的原函数不是初等函数，因此不便 在直角坐标系下计算。

又积分区域D 是圆的一部分，故采用极坐标系 计算较容易。

I = JJ f (x,y dxdy = g d 8 0 e" rdr
D
4
兀f 1 J 2
1 兀心 -R 2
=一 一-e I = — 1 -e 4(2 丿0 8
4. 利用对称性简化计算 例6计算下列二重积分:
x — +y 2
>1
,x 2
+ y 2
乞2x ］；
2丿 y 4 y
⑵ I = ff x t osy j dxdy ，其中 D : —1 < x <sin y ，y 兰一.
(2)
解题思路与定积分偶倍奇零的性质类似，利用对称性可简化二 重积
分的计算，但应注意，仅当积分区域与被积函数都具有对称性时, 才能利用此方法简化计算。

一般地，若区域关于 y 轴（或x 轴）对称, 且被积函数关于变量x （或变量y ）为奇偶函数时，直接利用对称性 （如⑴题）计算。

有时，被积函数关于某变量具有奇偶性，但区域 D 不对称时，可先对区域D 作辅助曲线，将区域D 分为几个对称区域后 再用对称性计算（如⑵题）。

解 ⑴对区域D 作图，显然，积分区域关于x 轴对称，只需看被
0 = 1 - cos1.
=Hydxdy ，其中 D 詔(x, y l): D L I
积函数是否关于y 为奇函数或偶函数。

由f (X,—y )=—f (x, y 知被积函数关于y 为奇函数，所以JJydxdy =
0.
D
⑵对区域D 作图，注意到函数f (x, y )=xcosy — X 关于x 为奇函数, 关于y 为偶函数，作辅助线y=-arcsi nx(—1兰x<0 )，便可将积分区域分 为D 1和D 2，又D 1关于y 轴对称，D 2关于x 轴对称，则
I = JJxcosydxdy — ffxdxdy ，
D
D
JJxcosydxdy = ffxcosydxd y + JJxcosydxdy
D
D 1
D 2
—
_sin y
=0 + JJxcosydxdy = 2『cosydy L xdx
D
2
= 2『cosy[x2j ：iny
dy =『cosysin 3 4
y-1”y
兀
兀
.3
迈• 2
C 2
. sin y
=0
2
sin yd sin y -『cos ydy = ---
3
-2 -sin y
3!
JJxdxdy = J J xdxdy + J J xdxdy = 0 + JJxdxdy = 2 J 2
dy J xdx = - 一
*■ *■
''0
*■ —1
A
D
D 1
D 2
D 2
片
3 兀 I
4 4
5. 被积函数含有绝对值函数的计算
例7计算下列二重积分:
⑴ I = JJ(X +|y dxdy ，其中 D 由I x +|y 兰 1 围成;
0 —sin y 0
D
⑵ I = JJ x 2 +y 2
Tdxdy ，其中 D 由 D
X 2 + y 2兰2， y 30所确定的区域;
分析计算被积函数含有绝对值符号的二重积分，关键是设法去
6•二重积分的应用
例8求正圆锥面z =J x 2+y 2和球面x 2 + y 2+z 2=18的上半部分所 围体积。

掉绝对值符号，一种方法是利用对称性；另一种方法是把积分区域分 割成若干个使被积函数不变号的区域，利用二重积分对区域的可加性 计算。

解 ⑴利用对称性计算。

I = JJxdxdy+JJiydxdy.对于JJxdxdy ，因为
D
D
D
区域D 关于y 轴对称且被积函数关于x 为奇函数，所以JJxdxdy=0，又
D
1
2
JJ ydxdy=4JJydxdy = 4 Oydy 0 dx = 4[y 。

- y jdy
1
1 -y
所以
I = ff ydxdy + JJxdxdy =-
⑵为去掉绝对值符号, 令其被积函数|f (x,y X 0，则曲线x 2 + y 2=1 将积分区域D 分为两个部分D ,U D 2，且f (x,y )在D i 与02符号相反，又 因为积分区域为圆域一部分，故用极坐标计算。

作辅助线 x^y^1,
则 D = D i U D 2
其 中 D 1 裁x,y b 兰 X 2
+y 2
兰 1,y>o}
D 2 =q x,yi <x 2
+y 2
<2,y >o }.于是
y 2 )dxdy+ jj(x 2
+y 2)-1dxdy D
2
I = jj x 2
+ y 2
—1dxdy = JJ 1 —
(x 2 +
D i
兀 c 1.
2
I
兀 c I
=d ，L(1 -r 2 rdr + T d 叮(r 2 -1 Idr
"iX 2—丄"
12 4才 i U 2 J 4
4 2
分析 利用二重积分计算正圆锥面和上半球面所围的体积,
柱体体积减去以圆锥面为顶，D 为底的曲顶柱体体积，它们的差就是 所求的立体体积。

解由交线
! Z = J x 2 + y 2,
[x 2 +y2 + z 2 =18,
2
兀 3 -------- 2 2 兀 3 2 「0 d
叫 J 18-r rdr-J o 曲匸 r dr
=18 兀(2j 2 —1) —18 兀=36兀(72—1)
说明 本题可利用三重积分V 「M dV 求解（见9.2节）。

事实上,
Q
由C 的具体特征，可知球面与锥面围成，故采用球面坐标计算较简便。

由于球面方程为r 5，圆锥面方程为W ，所以
4
0：0<r <J 18,O <W <-,O <8 <2皿，
4
dV =r 2
sin ®drd ®d 0，
兀 一
故 V =川r 2sin 护drd^A=产d 日 Fsi 门知® 严r 2dr = 36认Q -1). Q
例9求锥面z =J x 2
+y 2
被柱面Z 2
=2x 所割下部分曲面的面积。

u
+ y 2db ,也即为以球面为顶，D 为底的曲顶
应为
消去z ，得xy 面上的投影曲线x 2+y
=9.故投影区域D :
c
d
2
b
d
2
分析 所求面积为锥面与柱面的公共部分的面积， 可将曲面投影 到三个坐标平面的任一个，利用二重积分计算。

投影到哪个坐标面, 关键由曲面的哪一个坐标面上的投影最简单来决定。

解 方法1取2 ： Z = J x2 + y ，由
I z 2
= 2x,
+ y 2=2x ，即（X —12+y 2=1，此时，D 为（x -1卄丫2<1.
因为
需佶，
gw ，
A = jjd dxdy = 2『d 8 f 网72rdr = 72『r 2
| 亍。

汨
D
cos 2
日d 日=472咒巴咒丄=J 2兀.
2 2
消去Z 得x 方法 2 曲面在zOx 面上投影
D zx 是由z = x 和Z 2=2X 所围
z = J x 2 + y 2 可解得 y = ±J z 2 - X 2，取送 1： y = J z 2 -x 2 （右半圆锥面） ，则
ex
x
r~2 2 v z - x
2 一 cz z r~2 2
寸z -x ，J 1 + y 2
+ yz = V Z — X
由对称性，有
A=2JJ
D zx 7 Z
妊
-2
2
-x
L 2 V 2x
z dzdx = 2P 2 f dx r 「
，dz
-0
'x
/ 2
2
比较可知，方法1较简单。

7.错题分析
例10 计算二重积分仃〔1—y'b ，其中D 为矩形区域
D V 5 7
丿
-2 <x<2 , -1 <y <1.
解取D I
：0MX E2 , 0<yW1，由对称性有
'X —H'dlxdy = 4[f dx ff 1
5 7丿 卜 U
J "13 x Y 1 2O4
= 4|[ —0x 1= -------- .
L O
U 4 5丿」35
分析利用二重积分的对称性求解时，应注意 当满足两个条件:
①积分域D 关于x 轴或y 轴对称；②被积函数f(x,y)分别关于y 或
X 为偶函数或奇函数，方可利用对称性质简化计算。

本题积分域虽关
于x 轴及y 轴均对称，但被积函数关于 x 及y 都不是偶函数，故
JJf(x,y)db H 4 JJ f(X, y)dcr .再者由积分的几何意义可知，所示的二重
积
D
D 1
分是以矩形D 为底，斜平面z=1---上为顶的四角柱体体积，而不是
5 7
以D 1为底，斜平面z=1-半-；y 为顶的柱体体积的4倍。

5 7
正解D J 心专” J ；dx L 卜汁匚(吒x)dx =8.
= 242 f J z
2
-X
2
严dx =佢兀.
D H 5
井*r
JJ f (x,y)db 当
且仅
例11计算二重积分H，其中D为圆环域1S2+ y\2
D x +y
错解设D1 :x2+y2 <1,D2 ：x2+y2 <2,D =D2-D1，由积分对区域可
. 卫1 2兀 1 1
「0 d叫产rdr-，0 d叫尹dr
O"2 -2江I nr
=2兀I nr
因为卵，所以J x七d b发散。

分析上述解法是利用两圆之差 D = D2 - D i求解，但条件应是
1
f (x,y)在D1,D2上有定义，且二重积分存在。

因为f(x, y)= ——2在点
X + y (0,0)没有定义，且DJ x4严与£昇严都是发散的广义二重积分,
故上述解法错误。

正确
1 2兀 1 农1 D【右d-・0叫戶dr=2叮严-ln2.
例12 计算I = JJ(x2+ y2+1)dxdy，其中D为x2+ y2=a2所围的区
域。

错解由于积分区域D由x2+y2=a2围成，贝J
U(x2+y2+1)dxdy = U(a2+1)dxdy
D D
=(a2+1) JJ dxdy = (a2+1)
兀a2.
分析JJf(x,y)dxdy的被积函数f(x,y)为定义在区域D上的二元D
函数，D是圆域，而不是圆域的边界曲线。

由于二重积分的本质是对
D内及D的边界各点“求和”，因此不能用边界曲线X2+ y2 = a2来代替被积函数，上述解法中将f(x,y)在D内各点值都取为f(x,y)在D的边
界各点的值，故而出错。

正解由积分域与被积函数的关系可知，用极坐标系较为简便。

因为D:0 <r <a,0 <9 <2兀，所以
9.2三重积分
1学习指导 1. 基本要求
⑴了解三重积分的概念与基本性质。

⑵掌握在直角坐标系、柱坐标系和球坐标系下计算三重积分的方 法。

⑶能够用三重积分解决空间立体的几何和物理应用问题。

2. 重点与难点
重点三重积分的概念、计算和几何及物理的主要应用。

难点三重积分化为累次积分时积分限的确定。

3. 学习方法
⑴三重积分是在空间立体C 上关于三元函数的积分，其基础是空 间解析几何知识，学习这部分内容，应复习空间曲面及其方程等内容, 并善于利用常见的空间曲面画出立体的几何图形， 还需正确求解立体
-J- D
=川『+1)rdrd 6 =
a
2 2
0(r 2 +1)d(r 2
+1)
2 (r +1) ]0
2 2
(r +1) -1 兀.
0在各个坐标面上投影，尤其是在xOy 坐标面上的投影。

⑵三重积分的定义、性质、计算、应用都与二重积分类似，学习 时应注意联系与对比，计算三重积分的基本方法仍然是化为累次 (三 次)积分，有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系中直接化为三次积分 的方法及二重积分套定积分(先二后一，即切片法)及定积分套二重 积分(先一后二，即穿针法)，变量代换法等，用这些方法计算三重 积分是本节重点。

⑶将三重积分化为三次积分的关键是确定三次积分的上下限， 主 要利用画图定限(几何方法)，即利用常见曲面的方程画出空间立体 Q 的图形后确定各次积分的上下限。

但当积分区域
Q 的图形不易画出
时，则利用代数方法分析积分域对某个坐标平面的投影域及其相应的 底和顶，从而列出不等式组确定累次积分的积分限， 应注意累次积分 的下限小于上限，且先积分变量的上下限是后积分变量的函数或常
⑷在计算三重积分时，不仅要善于选择恰当的坐标系及积分顺 还应注意利用积分域的对称性和被积函数的奇偶性简化积分计 例
如，当0关于xOy 面对称时，则有如下结论： ① 若 f (x, y,—z )=—f (X, y,z )，贝打 JJ f(x,y,zdV=0. ② 若 f (x, y,—z )= f(x,y,z )，则川 f(x,y,zdV =2川 f (x,y,z)dV ,其中。

上
Q a 是O 位于xOy 面上方的部分。

③若 f (X, y,-z )= f(x,y,z ), f (x, —y, z )= f (x, y,z ), f (—x,
y,z)= f (x, y, z )同 时成立，贝J 川f (X, y, zdV =8川f (x, y, zdV ，其中C i 是O 位于第一卦限 的部分，且O 关于yOz 面和zOx 面也对称。

⑸三重积分的应用也与二重积分类似，运用微元素法可推出许多 公式，公式的结构也与二重积分的应用公式类似， 只需将被积函数由 二元函数换成三元函数，积分区域由平面区域 D 换成空间立体O ，积 分符号
数, 最后一次积分的上下限是常数。

序, 算。

由JJ换为川，例如，密度不均匀的空间立体Q，对于Oz轴
D Q
的转动惯量I z =川仪2+y2Hx,y,zdxdydz，其中P (x,y,z )为0上任一点(x,y,z处的密度。

2解题指导
1.用不等式组来表示空间区域
例1用不等式组将曲面z=x2 +y2,y=x2,y"及z = 0所围区域表
示出来。

解题思路用不等式组表示空间立体的方法，通常采用四步法: ⑴画出草图；⑵将空间区域向选定的坐标面投影；⑶用“穿针法”定出先积分变量的上下限；⑷将C用不等式组表示。

解将图形向xOy面投影，定出投影区域D xy，再用“穿针法”定出z 的上下限。

同理可得出分别向zOx平面、yOz平面投影的区域。

将立体向xOy面投影，得
『2 f o<z<x2+ y2,
巴爲从而"[x：x：；将立体向yOz面的投影，得
D xy -
将立体向zOx 面的投影，得
2.将三重积分化为三次积分
例2化三重积分I =Mf(x,y,z)dxdydz 为直角坐标系下的三次积 分，其中积分域O 由z=x 2
+y 2
及z=1所围。

分析由于计算三重积分时须将三重积分化为累次积分才能计 算，故关键是将积分区域用不等式组表示。

通常是先由题中条件作出 空间区域的草图，再用不等式组表示积分区域，这需将 O 向不同坐标 面投影(可根据具体情况选择较易的投影平面)
解将C 投影到xOy 平面，有
x 2 + y 2 <z <1,
* - J 1 -x 2
兰 y 兰 J 1 - x 2
, ! -1兰X 兰1；
投影到yOz 平面上有
-J z - y 2 < X 兰 j z 匚
y 2
兰z 兰1,
-1 <y <1;
投影到zOx 平面有 一 J z — X 2 < y < J Z 一 X 2,
2
X <z<1,
D yz J 0兰z 兰x2
+y 2
，从而 y
l 0兰y 兰1,
-J z — y 2
< X < J z 1
2
0 < z< y + y , 0 < y <1,
D zx ：严ZEX 2
，从而
I —1 <x <1,
[J z -x 2
<y <1, 0: { 0 <z <1 +x 2,
-1 <x <1,
-1 <x <1.
1
(1_x Z
1
畧 f (x,y,z)dxdydz =少打口小丫打 f(x, y,z)dz
1
1
R)
=L dy J y 2
d z
L 口 f (x,y
,z)dx
1
1
J z _x
=Ldx[2
dz j 口
f(x,
y
, z)d
y .
例3在柱坐标系下化三重积分 川f （X, y,z ）dxdydz 为三次积分，其 中O 为曲面X 2 +y 2 =2z 及平面z = 2所围的区域。

2
分析曲面x 2
+y 2
=2z
用柱坐标可表示为z 七，类同于直角坐标 系中的“穿针法”，首先确定变量z 的变化范围，然后再将0投影到xOy
面，最后根据平面坐标系下的投影进一步确定 r 月的变化范围。

若注 意到0兰Z 兰2，且用平面z=z 去截立体得截面D z ：x 2 +y 2兰2Z ，也可以最 后对变量z 积分。

解 方法1将C 表示为先z 次r 后0的形式，则
2
0： 0<r <2,
|o 兰日< 2兀,
于是
2
兀
2 2
JJ7 f(X, y,z)dxdydz = ( d 日.打 rdr /2 f (r cos^ ,rsin 日,z)dz .
Q
0 r
/2
方法2将c 表示为先r 次0后z 的形式，则
「0<z<2,
rH
步
O ：«0 <r < [0 裁 <2；!,
于是
2
2
2
兀 F 否
川 f (x, y, z)dV = L dz JJ f (x, y,z)dxdy = [ dz [ d 9 [ f (r cosT ,r sin 0, z)rdr . Q . D ： '0
例4利用球面坐标系化三重积分 川f （x, y,z ）dxdydz 为累次积分，其
中O 为球面x^y^z^l 及坐标面所围在第一卦限内的区域。

解题思路 一般而言，当积分域是球形或上半部是球面， 下半部 的顶点在原点的锥面所围区域时， 考虑采用球坐标系计算。

对球坐标 系的r,®,£的定限选择的一般方法为：对0限，将积分区域0向xOy 面 投影得一平面区域，再就平面区域按平面极坐标系确定 9的办法来确 定日角的变化范围；关于④限，对固定的0角，过z 轴作与zOx 平面夹 角为日的半平面，它与区域C 相交，可得一平面区域D ，将区域D 按 平面极坐标系确定极角变化范围来确定 W 角的取值范围；就r 限，是
对固定的日和W ,从原点出发作射线，它从曲面r*伴月）进入C ,从 曲面 r =「2（9,£）穿出，即 r , <r <「2.
解易知，位于第一卦限的球体在球坐标系下为
c 兀
O <0 <-,
2
O ：
{0 <护 < —,
2 0<r <1,
于是
-1 1 2 1 -
=F-x(1-si nx)dx=[-x +-(xcosx — si nx)]# '0
2 4 2
兀 兀
1
—
—
I
2
川 f(X, y, z)dxdydz=『d Q 02si n ®d ④ C 0f(rsi n ®cos 9,rsi n ®si
. 3.三重积分的计算
例5 计算fffycos(x+z)dV ，其中O 由抛物柱面 Q
x + z= —,y=0,z=0，所围。

2
分析 计算三重积分选择合适的坐标系最为关键，
主要取决于积
分域，本题由抛物柱面和平面所围，故选用直角坐标系, 确定坐标系 后便将O 投影到一个较简单的坐标面，然后根据平面区域的形状确定 在直角坐标系或极坐标系下计算。

解方法1将O 投影到xOy 面，则
|0 < y < J x,
D
卞 x^.
于是
兀
0 < z < - x,
2 0: { 0 兰 y 兰 j x,
J7J ycos(x + z)dV =『dx [ ydy 『 cos(x +
z)dz Q 0 0
=『dx J 0 ydy 『cos(x + z) d (x + z)
ysin(x + z) 0 dy =『dxy(1 - sin x)dy
2
16 2
2将O 投影到xOz 平面，得D z x ：0兰x 』,0兰Z 兰—_x .
2 2
Q <y <4x ,
0:<0<z <—-x,
2
c 兀
0 <x < —
2
寸X
fff y cos(x + z) dV =『dx 『 dz ( y cos(x + z) dy Q .0 ‘
1卫
旦 =-02
xdx - 02
xs in xdx
16 2
例6 计算门y 2Z
dV ，0是由yOz 面上的区域D:y 2 + z 2「， Q J x 2 + y 2
Z X2y -1, y 二0, z 二0绕Oz 轴旋转一周而成的空间区域。

分析 在yOz 面上的圆弧y 2
+z 2
=1（3 "兰1）绕Oz 轴旋转得旋转曲
5
面x 2
+y 2
+z 2
=1，yOz 面的直线段z = 2y -1（0兰z 兰3
）绕Oz 轴旋转得旋转
5
曲面Z =2 J x 2
+ y 2
-1（0兰Z 兰3
）.它们在xOy 面上的投影都是圆域，故选
用
5
柱坐标系。

0可分为01,02，在柱坐标系下 01：0＜日＜2兀0＜「＜
丄，
于是
方法
=f^dx f 2
」0 」0
cos(x+z)dz.0 ydy = 『xdx J 02
cos(x + z)d(x + z)
0 < Z兰J l -r2; Q2：0兰日兰2兀，丄兰r兰4,2r —1 < z兰J l 一r2.则
2 5
2
2
兀—
2
2
兀 一
2
d0£(1-r )dr + [ d£ Ji 5
(-5r -4r)dr
=11“ 叫 12 75
12 75
例7 计算川z 2dV ,
其中O 为两个球面x 2
+y 2
+z 2
<R 2
与
X 2 +y 2 +z 2兰2Rz 的公共部分。

分析 本题取三种坐标系中任一种计算都不简便，若将。

分为
知x2
+ y2
+z2
=2Rz
与-I 围成及fvTU 2
与-I 围成’则
z 的取值分别为与号GR ，且用平面…截。

1及2，截面
分别是圆域故选用“先二后一”的方法。

注意到被积函数f(x,y,z) = z 2
, 此种方法的二重积分无须计算，可直接利用圆面积公式求解。

_
R
解 川 z 2
dV = 0 z 2
dz JJdxdy + J R
z 2
dz JJ
dxdy Q
D iz
2
D 2z
= ^(2Rz
—
z 2)dz
+g z2
E —
z 2)dz
=^R 5
.
4.相关问题
例 8 设 f(x)连续，证明： 川 f(z)dV =兀 J ：(1 -x 2)f
(x)dx.
X 2
+y 2
七2
虫
分析 注意到被积函数仅与z 有关，且-1<zE1，故用“先二后 ”的方法，最后对z 积分。

2z
2z 2z
Sk dV
驾 K dV 驾 L dV
2-Tr
一 X
-J o d 日 j 02
dr [
丝rdz+Qd 盯沁丁乙 2
2z rd
z r
证明 用平面 Z=z 截 0： x'+ySzl 1，得 D z :x 2 + y 2 < 1 — z 2，于是
1 1
2
JJJ f (z)dV = Lf(z)dzJJdxdy 二兀 L (1 —z ) f (z) dz 秦< D z
1
2
=兀 L(1 — X ) f
(x)dx. 设f (u)为连续函数，f(0)=0且「(0)存在，求tlim^FW ，
其中F(t)= 川 f (J x 2 + y 2
+z 2
)dxdydz . X 2
*2
七2
<2
分析 对含有三重积分的极限问题和求导问题，解决的方法是将 三重积分化为变限积分函数后再作相应的计算。

解⑴选择球坐标系，则
2
兀 兀
t
2
川 f(x,y,z)dVp d 叫 S in
®d®.0f(r)r 2dr Q
=4兀 f
(r)r 2
dr
当t =0时，F(0) =0由洛必达法则可知
原式=lim A (4 兀 f (r)r 2
dr = lim 组[⑴=lim^^^^ = lim f(t)~ f (0)
= f \0) t T 十珥 '0 t T 0 十 4t t T 十 t t T 0 十 t - 0
t T p +n t 5.三重积分的应
用
例10 求抛物柱面y =V X,y =2依及平面z=0,z + x = 2所围公共部
分的体积。

分析 被积函数为 在三重积分中，若被积函数f(x,y,z )三1，则n HdV=V ，即
1的三重积分的值在数值上等于积分区域的体积。

2
2
坂 2-x 2
2、匸 解 V =川 1dV = J0dx G dyJ0 dz = [ dx M (2-x)dy
Q 0 0
‘
=f (2 -x)7Xdx 二16
运. 9 15
例11求由密度均匀的圆锥面z =i -4x ^y 与平面z=o 所围立 体的重
心。

分析 由对称性有x = y = 0 ,再由重心公式分别计算圆锥体的质 量M 和它关于z 轴的矩。

A
不妨取 P =1，则 M = JJJdxdydz =-兀
Q 3
2
兀 1
1_r
M xy =川 zdxdydz = J 0
d 9 [ rdr [ zdz Q
=2兀 f
0 ；
r)
rdr =兀 f (r -2r 2
+r 3)dr
一物体质量为a ，密度均匀，其外形为空间区域 Q :
X 2 +y 2 +z 2兰2z,』x 2 +y 2兰z ，试求此物体绕其对称轴转动时的转动惯
量。

分析由条件易知p= a
，故应先求物体的体积V . 解利用球坐标系易得
2
兀 一g 2 cos v = M dv = J 0
d -04
d S 0 Q
设密度为卩，则M =a ，故
6. 错解分析
兀
12
M xy M
由对称性x=y=o ，故重心(0,0」).
4
4
例12
；2sin®dr ". I z 二川(X 2
+y 2
)PdV =三
Q
2
兀
- 2cos
护 4 3 11 r 4
si n 邓 dr =—a.
'
30
例13 计算由抛物面x 2+y 2=6_z ,坐标面yOz,zOx 及平面
y =4z,x =1,y =2所围立体体积。

错解 立体c 在xOy 平面的投影区域
则颠倒而出错的。

正解由
1 2 2 -y <z <6-x -y , 4 0< y<2
0<x<1,
1
2
1 2 2 49
dz —J o dX'Oq y —6 +x +y )dy 二4
"
例14计算 川z j x 2
+y 2
dV , C 是由球面x 2
+y 2
+ z 2
=4及圆柱面
Q
(X —1)2
+ y 2
=1所围的区域。

错解 积分区域关于坐标面xOy, zOx 对称，故有
D xy : ]0<y <2 (0^x 0
；y
V
=md V =JJdxdy 『」2
」 Q D
dzJdx f dyFl y
1 2
1 2 2 dz= J 0dx((4y-6
+ x + y )dy
爲 2 53
49 0
6
6
分析 上述结果为负值，显然为错,
空间的侧面由坐标面yOz, zOx
及x=1,y=2构成，O 的上边界面是抛物面x 2+y 2=6—z ，下边界面是
y =4z.上述解法是在用 川dV 求体积时，将z 的积分“从下至上”的原
0：
川 z j x 2
+y 2
dV =4川 z j x 2
+y 2
dV ,
Q Q
其中01是。

在第一卦限部分的区域，采用柱坐标
fff z j x 2
+y 2
dV = 4 川 z j x 2
+ y 2
dV = 4『d & ( Q 0
「2
洱2drrEzdz = 1664
」 ’0 225
三重积分川f (x, y, z)dV 的积分区域0关于平面z = 0, y = 0
对 fff f(x,y,z)dV = 4出f (x,y,z)dV 却不一定成立。

还需考察
被积
函数f(x,y,z)的特征，即f (x, y,z)关于z 应是偶函数，且f (x, y, z)关于y 分析 称，等式 也应是偶函数，即 f (x,y,—Z)= f(x,y,z), f(X,—y,z) = f(x, y,z)者E 成立，才有 川f (x,y,z)dV =4川f(x,y,z)dV .但本题被积函数关于z 为奇函数，故
川 f(x, y,z)dVH4 川
f(x,y,z)dV . Q Q
正解
-j 4-x2-y2 <z < J 4 -x 2 - y 2 Q ： -J 2x -x 2
兰 y <j 2x -x 2
0 <x <2
旷
2 r 2 2
i —2
2
2
Y 2 X — I
一 2
2
寸 4 — —y
川 z V x +y dV = f dxj _ V x + y dyj 2 2
zdz ,
J4_x 2
, ----------- 因为 LK zdz
=0'所以曙x 2
+y 2dV =0
.
自测题及答案
自测题9.1
1.填空（20分）:
⑴ 面积元素db在直角坐标系中表示为;在极坐标系中表示为
⑵ 曲面Z =91区y ）, Z =g2（x, y ）（g'x, y ）兰g2（x, y））与柱面2x5 6 7+ y2= 1
所围立体的体积，可用二重积分表示为，用三重积分表示为
⑶ 三重积分JJJ f （x, y, zdxdydz可用球坐标系下的累次积分表示
x2旳2保2^
X x-l f+（y-仃乞丿。

⑷封闭曲线X2+（y-1：2=1所围区域的面积为
⑸封闭曲线r=a砖归勺所围面积为
2.利用二重积分的性质确定下列积分值。

（16分）
⑴ JJ（x + y+1\/x2+y2d b，其中D=*x,y）x2+ y2<1｝；
D
⑵ JJ（x2siny -y2sinxd^，其中D=t x, y
D
6 2 ■ 2 2
3.交换积分次序I「1dxj1 f（x,ydy dxj2f（x,y）dy。

（10 分）
—— 1 x
7 x
4.计算下列二重积分（16分）:
⑴ >=仏［晋dy ;
（C\
2 x J LX 4 2
⑵ 1
7
d
xk sin 27dy J 2d
x 护
n
2y
5. 计算下列三重积分:
=fff ydV ，其中 O 是由 z=0， y + z=1 及 y=x 2 所围；（12 分）
Q
「［JJ xzdV ，其中 O 是 z = J x 2 +y 2 及 z=12-x 2-y 2所围；（12 Q
分）
I = fff sin （x 2
+y 2
+z 2
F dV ， 其中 O 是由 z = J 3x 2
+ y 2 ）及 z =
J R 2 -X 2 - y 2 （R 〉0 所围。

（14 分）
自测题9.2
1.填空题（20分）:
⑴ 曲面z=0，x + y+z=1，x 2 + y 2=1所围立体的体积可用二重积 分表示为
⑵ 曲面z =x 2
+ y 2
与z = x + y 所围的立体体积用极坐标形式的二次
积分表示为
⑶曲面z = J x 2
+ y 2
被圆柱面（X -af +（y-bf =R 2
所截，截得的曲面
面积为
⑷ 曲面X 2
+z 2
=1和y ^z 2
=1所围立体的表面积为
⑸ 设D 是平面xOy 内的均匀薄板，其面积为S ，又知
JJ x d X d=yjjy d xdyl ，那么该薄板的重心坐标为
D
D
2 x
n x
dy 。