(新课标)高三理科数学二轮复习名师指导考前提分题型练(全书完整版)

（新课标）高三理科数学二轮复习（全册）名师指导
考前提分题型练
题型专项集训
题型练1选择题、填空题综合练(一)
能力突破训练
1.已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B=()
A.{1}
B.{4}
C.{1,3}
D.{1,4}
2.若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z=()
A.1+2i
B.1-2i
C.-1+2i
D.-1-2i
3.若a>b>1,0<c<1,则()
A.a c<b c
B.ab c<ba c
C.a log b c<b log a c
D.log a c<log b c
4.
执行如图所示的程序框图,若输入的a值为1,则输出的k值为()
A.1
B.2
C.3
D.4
5.等差数列{a n}的公差d≠0,且a3,a5,a15成等比数列,若a1=3,S n为数列{a n}的前n项和,则S n的
最大值为()
A.8
B.6
C.4
D.4
6.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是()
A.2+
B.4+
C.2+2
D.5
7.已知直线l1:x+2y+1=0,l2:Ax+By+2=0(A,B∈{1,2,3,4}),则l1与l2不平行的概率为()
A.B.C.D.
8.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气
温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃,B点表示四月的平均最低气温约
为5 ℃.下面叙述不正确的是()
A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上
B.七月的平均温差比一月的平均温差大
C.三月和十一月的平均最高气温基本相同
D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个
9.将函数y=sin图象上的点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数
y=sin 2x的图象上,则()
A.t=,s的最小值为
B.t=,s的最小值为
C.t=,s的最小值为
D.t=,s的最小值为
10.函数f(x)=x cos x2在区间[0,2]上的零点的个数为()
A.2
B.3
C.4
D.5
11.如图,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的
动点,则()·的最小值为()
A.B.9 C.-D.-9
12.函数f(x)=(1-cos x)sin x在[-π,π]上的图象大致为()
13.已知圆(x-2)2+y2=1经过椭圆=1(a>b>0)的一个顶点和一个焦点,则此椭圆的离心率e=.
14.的展开式中的常数项为.(用数字表示)
15.(2017浙江,11)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6=.
16.曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为.
思维提升训练
1.设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=()
A.(-1,1)
B.(0,1)
C.(-1,+∞)
D.(0,+∞)
2.已知i是虚数单位,是z=1+i的共轭复数,则在复平面内对应的点在()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.(2017山东,理7)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是()
A.a+<log2(a+b)
B.<log2(a+b)<a+
C.a+<log2(a+b)<
D.log2(a+b)<a+
4.若变量x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为()
A.-7
B.-1
C.1
D.2
5.某算法的程序框图如图,若输出的y=,则输入的x的值可能为()
A.-1
B.0
C.1
D.5
6.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直,则双曲线C的离心率为()
A.B.C.D.
7.函数y=x sin x在[-π,π]上的图象是()
8.在△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C所对的边,若函数f(x)=x3+bx2+(a2+c2-ac)x+1有极值点,则∠B的取值范围是()
A.B.
C.D.
9.将函数y=sin 2x(x∈R)的图象分别向左平移m(m>0)个单位、向右平移n(n>0)个单位所得到的图象都与函数y=sin(x∈R)的图象重合,则|m-n|的最小值为()
A.B.C.D.
10.(2017安徽江南十校联考)质地均匀的正四面体表面分别印有0,1,2,3四个数字,某同学随机地抛掷此正四面体2次,若正四面体与地面重合的表面数字分别记为m,n,且两次结果相互独
立,互不影响.记m2+n2≤4为事件A,则事件A发生的概率为()
A. B. C. D.
11.已知O是锐角三角形ABC的外接圆圆心,∠A=60°,=2m·,则m的值
为()
A.B.C.1 D.
12.设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为()
A. B. C. D.1
13.(2017江苏,10)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.
14.在平面直角坐标系中,设直线l:kx-y+=0与圆O:x2+y2=4相交于A,B两点,,若点M在圆O上,则实数k=.
15.如图,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD的体积的最大值是.
16.已知等差数列{a n}前n项的和为S n,且满足=3,则数列{a n}的公差为.
参考答案
题型练1选择题、填空题综合练(一)
能力突破训练
1.D解析由题意知集合B={1,4,7,10},则A∩B={1,4}.故选D.
2.B解析设z=a+b i(a,b∈R),则2z+=3a+b i=3-2i,故a=1,b=-2,则z=1-2i,选B.
3.C解析特殊值验证法,取a=3,b=2,c=,
因为,所以A错;
因为3>2,所以B错;
因为log3=-log32>-1=log2,所以D错;
因为3log2=-3<2log3=-2log32,所以C正确.故选C.
4.B解析由程序框图可知,输入a=1,则k=0,b=1;进入循环体,a=-,a=b不成立,k=1,a=-2,a=b
不成立,k=2,a=1,此时a=b=1,输出k,则k=2,故选B.
5.D解析由题意得(a1+4d)2=(a1+2d)(a1+14d),即(3+4d)2=(3+2d)(3+14d),解得d=-2或d=0(舍去).
所以S n=3n+(-2)=-n2+4n.
所以当n=2时,S n=-n2+4n取最大值(S n)max=8-4=4.故选D.
6.C解析由三视图还原几何体如图.
∴S表面积=S△BCD+2S△ACD+S△ABC
=2×2+21+2
=2+=2+2
7.A解析由A,B∈{1,2,3,4},则有序数对(A,B)共有16种等可能基本事件,而(A,B)取值为(1,2)时,l1∥l2,故l1与l2不平行的概率为1-
8.D解析由题图可知,0℃在虚线圈内,所以各月的平均最低气温都在0℃以上,A正确;易知B,C正确;平均最高气温高于20℃的月份有3个,分别为六月、七月、八月,D错误.故选D.
9.A解析设P'(x,y).由题意得,t=sin,且P'的纵坐标与P的纵坐标相同,即y=又P'在函数y=sin2x的图象上,则sin2x=,故点P'的横坐标x=+kπ或+kπ(k∈Z),由题意可得
s的最小值为
10.A解析令f(x)=0,即x cos x2=0,得x=0或cos x2=0,则x=0或x2=kπ+,x∈Z.
∵x∈[0,2],∴x2∈[0,4],得k的取值为0,即方程f(x)=0有两个解,则函数f(x)=x cos x2在区间上的零点的个数为2,故选A.
11.C解析=2,
∴()=2=-2||·||.
又||+||=||=3≥2||·||,
∴()-故答案为-
12.C解析由函数f(x)为奇函数,排除B;当0≤x≤π时,f(x)≥0,排除A;
又f'(x)=-2cos2x+cos x+1,令f'(0)=0,则cos x=1或cos x=-,结合x∈[-π,π],求得f(x)在(0,π]上的极大值点为,靠近π,排除D.
13解析因为圆(x-2)2+y2=1与x轴的交点坐标为(1,0),(3,0),所以c=1,a=3,e=
14解析T k+1=x4-k(-1)k x4-2k(-1)k,令4-2k=0,得k=2,展开式中的常数项为
15解析将正六边形分割为6个等边三角形,
则S6=6
16解析在同一平面直角坐标系中作出函数y=x2与y=x的图象如图,所围成的封闭图形如图中阴影所示,设其面积为S.
由故所求面积S=(x-x2)d x=
思维提升训练
1.C解析A={y|y>0},B={x|-1<x<1},则A∪B={x|x>-1},选C.
2.C解析=1-i,则=-i,
对应复平面内点的坐标为,在第三象限.
3.B解析不妨令a=2,b=,则a+=4,,log2(a+b)=log2(log22,log24)=(1,2),即<log2(a+b)<a+故选B.
4.A解析画出约束条件对应的可行域(如图).
由z=3x-y得y=3x-z,依题意,在可行域内平移直线l0:y=3x,当直线l0经过点A时,直线l0的截距最大,此时,z取得最小值.由则A(-2,1),故z的最小值为3×(-2)-1=-7.
5.C解析由算法的程序框图可知,给出的是分段函数y=当x>2时y=2x>4,若输出的y=,则sin,结合选项可知选C.
6.C解析∵双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦点在x轴上,∴其渐近线方程为y=±x.
∵渐近线与直线x+2y+1=0垂直,
∴渐近线的斜率为2,=2,
即b2=4a2,c2-a2=4a2,c2=5a2,
=5,,双曲线的离心率e=
7.A解析容易判断函数y=x sin x为偶函数,可排除D;当0<x<时,y=x sin x>0,排除B;当x=π
时,y=0,可排除C.故选A.
8.D解析函数f(x)的导函数f'(x)=x2+2bx+(a2+c2-ac),若函数f(x)有极值点,
则Δ=(2b)2-4(a2+c2-ac)>0,得a2+c2-b2<ac,由余弦定理,得cos B=,则B>,故选
D.
9.C解析函数y=sin2x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位可得y=sin2(x+m)=sin(2x+2m)的图象,向右平移n(n>0)个单位可得y=sin2(x-n)=sin(2x-2n)的图象.若两图象都与函数
y=sin(x∈R)的图象重合,
则(k1,k2∈Z),
即(k1,k2∈Z).
所以|m-n|=(k1,k2∈Z),当k1=k2时,|m-n|min=故选C.
10.A解析根据要求进行一一列举,考虑满足事件A的情况.两次数字分别为(0,0),(0,1),(1,0),(0,2),(2,0),(0,3),(3,0),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(1,1),(2,2),(3,3),共有16种情况,其中满足题设条件的有(0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(2,0),(0,2),共6种情况,所以由古典概型的概
率计算公式可得事件A发生的概率为P(A)=,故选A.
11.A解析如图,当△ABC为正三角形时,A=B=C=60°,取D为BC的中点,
,则有=2m,
)=2m,
2,∴m=,故选A.
12.C解析设P(2pt2,2pt),M(x,y)(不妨设t>0),F,
则
,
∴k OM=,
当且仅当t=时等号成立.
∴(k OM)max=,故选C.
13.30解析一年的总运费与总存储费用之和为4x+6=44×2=240,当且仅当x=,即x=30时等号成立.
14.±1解析如图,,则四边形OAMB是锐角为60°的菱形,此时,点O到AB距
离为1.由=1,解得k=±1.
15解析由题意易知△ABD≌△PBD,∠BAD=∠BPD=∠BCD=30°,AC=2设AD=x,则0≤x≤2,CD=2-x,在△ABD中,由余弦定理知BD=设△PBD中BD边上的高为d,显然当平面PBD⊥平面CBD时,四面体PBCD的体积最大,
从而V P-BCD d×S△BCD=BC×CD×sin30°=, 令=t∈[1,2],则V P-BCD,即V P-BCD的最大值为
16.2解析∵S n=na1+d,=a1+d,
d.
又=3,∴d=2.
题型练2选择题、填空题综合练(二)
能力突破训练
1.已知集合M={x|(x+2)(x-2)≤0},N={x|-1<x<3},则M∩N=()
A.{x|-1≤x<2}
B.{x|-1<x≤2}
C.{x|-2≤x<3}
D.{x|-2<x≤2}
2.已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=()
A.1+i
B.1-i
C.-1+i
D.-1-i
3.一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为()
A.π
B.π
C.π
D.1+π
4.已知sin θ=,cos θ=,则tan等于()
A.B.
C.D.5
5.已知p:∀x∈[-1,2],4x-2x+1+2-a<0恒成立,q:函数y=(a-2)x是增函数,则p是q的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.已知x,y∈R,且x>y>0,则()
A.>0
B.sin x-sin y>0
C.<0
D.ln x+ln y>0
7.已知实数x,y满足约束条件则z=2x+4y的最大值是()
A.2
B.0
C.-10
D.-15
8.已知函数f(x)=log2x,x∈[1,8],则不等式1≤f(x)≤2成立的概率是()
A. B. C. D.
9.已知等差数列{a n}的通项是a n=1-2n,前n项和为S n,则数列的前11项和为()
A.-45
B.-50
C.-55
D.-66
10.已知P为椭圆=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则
|PM|+|PN|的最小值为()
A.5
B.7
C.13
D.15
11.以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.
该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数为()
A.2 017×22 013
B.2 017×22 014
C.2 017×22 015
D.2 016×22 016
12.已知a>0,a≠1,函数f(x)=+x cos x(-1≤x≤1),设函数f(x)的最大值是M,最小值是N,则
()
A.M+N=8
B.M+N=6
C.M-N=8
D.M-N=6
13.(2017天津,理12)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为.
14.已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是.
15.执行如图所示的程序框图,若输入a=1,b=2,则输出的a的值为.
16.已知直线y=mx与函数f(x)=的图象恰好有三个不同的公共点,则实数m的
取值范围是.
思维提升训练
1.设集合A={x|x+2>0},B=,则A∩B=()
A.{x|x>-2}
B.{x|x<3}
C.{x|x<-2或x>3}
D.{x|-2<x<3}
2.复数z=(i为虚数单位)的虚部为()
A.2
B.-2
C.1
D.-1
3.已知a=,b=,c=2,则()
A.b<a<c
B.a<b<c
C.b<c<a
D.c<a<b
4.已知x,y满足约束条件则z=-2x+y的最大值是()
A.-1
B.-2
C.-5
D.1
5.若实数x,y满足|x-1|-ln=0,则y关于x的函数图象的大致形状是()
6.已知简谐运动f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则该简谐运动的最小
正周期T和初相φ分别为() A.T=6π,φ=B.T=6π,φ=
C.T=6,φ=
D.T=6,φ=
7.设a,b是两个非零向量,则使a·b=|a|·|b|成立的一个必要不充分条件是()
A.a=b
B.a⊥b
C.a=λb(λ>0)
D.a∥b
8.在△ABC中,AC=,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于()
A.B.
C.D.
9.(2017河南安阳一模)已知圆(x-1)2+y2=的一条切线y=kx与双曲线C:=1(a>0,b>0)有
两个交点,则双曲线C的离心率的取值范围是()
A.(1,)
B.(1,2)
C.(,+∞)
D.(2,+∞)
10.已知数列{a n}的前n项和为S n,若S1=1,S2=2,且S n+1-3S n+2S n-1=0(n∈N*,n≥2),则此数列为
()
A.等差数列
B.等比数列
C.从第二项起为等差数列
D.从第二项起为等比数列
11.一名警察在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下,甲说:“罪犯在
乙、丙、丁三人之中”;乙说:“我没有作案,是丙偷的”;丙说:“甲、乙两人中有一人是小偷”;丁
说:“乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人
中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是()
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
12.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)
具有T性质.下列函数中具有T性质的是()
A.y=sin x
B.y=ln x
C.y=e x
D.y=x3
13.已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为m3.
14.设F是双曲线C:=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的
一个端点,则C的离心率为.
15.下边程序框图的输出结果为.
16.(x+2)5的展开式中,x2的系数等于.(用数字作答)
参考答案
题型练2选择题、填空题综合练(二)
能力突破训练
1.B解析由已知,得M={x|-2≤x≤2},N={x|-1<x<3},则M∩N={x|-1<x≤2},故选B.
2.D解析由已知得z==-1-i.
3.C解析由三视图可知,上面是半径为的半球,体积为V1=,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积V2=1×1=,故选C.
4.D解析利用同角正弦、余弦的平方和为1求m的值,再根据半角公式求tan,但运算较复
杂,试根据答案的数值特征分析.由于受条件sin2θ+cos2θ=1的制约,m为一确定的值,进而推知tan也为一确定的值,又<θ<π,所以,故tan>1.
5.A解析关于p:不等式化为22x-2·2x+2-a<0,令t=2x,∵x∈[-1,2],∴t,则不等式转化为t2-2t+2-a<0,即a>t2-2t+2对任意t恒成立.令y=t2-2t+2=(t-1)2+1,当t时,y max=10,所以a>10.关于q:只需a-2>1,即a>3.故p是q的充分不必要条件.
6.C解析由x>y>0,得,即<0,故选项A不正确;由x>y>0及正弦函数的单调性,可知sin x-sin y>0不一定成立,故选项B不正确;由0<<1,x>y>0,可知,即<0,
故选项C正确;由x>y>0,得xy>0,xy不一定大于1,故ln x+ln y=ln xy>0不一定成立,故选项D不正确.故选C.
7.
B解析实数x,y满足约束条件对应的平面区域为如图ABO对应的三角形区
域,当动直线z=2x+4y经过原点时,目标函数取得最大值为z=0,故选B.
8.B解析由1≤f(x)≤2,得1≤log2x≤2,
解得2≤x≤4.由几何概型可知P=,故选B.
9.D解析因为a n=1-2n,S n==-n2,=-n,所以数列的前11项和为=-66.故
选D.
10.B解析由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7.
11.B解析如图,
当第一行3个数时,最后一行仅一个数,为8=23-2×(3+1);
当第一行4个数时,最后一行仅一个数,为20=24-2×(4+1);
当第一行5个数时,最后一行仅一个数,为48=25-2×(5+1);
当第一行6个数时,最后一行仅一个数,为112=26-2×(6+1).
归纳推理,得当第一行2016个数时,最后一行仅一个数,为22016-2×(2016+1).故选B.
12.B解析f(x)=+x cos x=3++x cos x,设g(x)=+x cos x,则g(-x)=-g(x),函数g(x)是奇
函数,则g(x)的值域为关于原点对称的区间,当-1≤x≤1时,设-m≤g(x)≤m,则3-m≤f(x)≤3+m, ∴函数f(x)的最大值M=3-m,最小值N=3+m,得M+N=6,故选B.
13.4解析∵a,b∈R,且ab>0,
=4ab+
≥4
14.y=-2x-1解析当x>0时,-x<0,
则f(-x)=ln x-3x.
因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=ln x-3x,
所以f'(x)=-3,f'(1)=-2.
故所求切线方程为y+3=-2(x-1),
即y=-2x-1.
15.32解析第一次循环,输入a=1,b=2,判断a≤31,则a=1×2=2;
第二次循环,a=2,b=2,判断a≤31,则a=2×2=4;
第三次循环,a=4,b=2,判断a≤31,则a=4×2=8;
第四次循环,a=8,b=2,判断a≤31,则a=8×2=16;
第四次循环,a=16,b=2,判断a≤31,则a=16×2=32;
第五次循环,a=32,b=2,不满足a≤31,输出a=32.
16.(,+∞)解析作出函数f(x)=的图象,如图.
直线y=mx的图象是绕坐标原点旋转的动直线.当斜率m≤0时,直线y=mx与函数f(x)的图象只有一个公共点;当m>0时,直线y=mx始终与函数y=2-(x≤0)的图象有一个公共点,故要使直线y=mx与函数f(x)的图象有三个公共点,必须使直线y=mx与函数y=x2+1(x>0)的图象有两个公共点,即方程mx=x2+1在x>0时有两个不相等的实数根,即方程x2-2mx+2=0
的判别式Δ=4m2-4×2>0,解得m>故所求实数m的取值范围是(,+∞).
思维提升训练
1.D解析由已知,得A={x|x>-2},B={x|x<3},则A∩B={x|-2<x<3},故选D.
2.B解析z==1-2i,得复数z的虚部为-2,故选B.
3.A解析因为a==b,c=2=a,
所以b<a<c.
4.A解析作出约束条件的可行域如图阴影部分所示,平移直线l0:y=2x,可得在点A(1,1)处z取得最大值,最大值为-1.
5.B解析已知等式可化为y=根据指数函数的图象可知选项B正
确,故选B.
6.C解析由图象易知A=2,T=6,∴ω=
又图象过点(1,2),∴sin=1,
∴φ+=2kπ+,k∈Z,
又|φ|<,∴φ=
7.D解析因为a·b=|a|·|b|cosθ,其中θ为a与b的夹角.若a·b=|a|·|b|,则cosθ=1,向量a与b方向相同;若a∥b,则a·b=|a|·|b|或a·b=-|a|·|b|,故选D.
8.B解析设AB=a,则由AC2=AB2+BC2-2AB·BC cos B知7=a2+4-2a,即a2-2a-3=0,∴a=3(负值舍去).
∴BC边上的高为AB·sin B=3
9.D解析由已知得,解得k2=3.
由消去y,得(b2-a2k2)x2-a2b2=0,
则4(b2-a2k2)a2b2>0,即b2>a2k2.
因为c2=a2+b2,所以c2>(k2+1)a2.
所以e2>k2+1=4,即e>2.故选D.
10.D解析由S1=1得a1=1,又由S2=2可知a2=1.因为S n+1-3S n+2S n-1=0(n∈N*,且n≥2),
所以S n+1-S n-2S n+2S n-1=0(n∈N*,且n≥2),即(S n+1-S n)-2(S n-S n-1)=0(n∈N*,且n≥2),
所以a n+1=2a n(n∈N*,且n≥2),
故数列{a n}从第2项起是以2为公比的等比数列.故选D.
11.B解析因为乙、丁两人的观点一致,所以乙、丁两人的供词应该是同真或同假.
若乙、丁两人说的是真话,则甲、丙两人说的是假话,由乙说真话推出丙是罪犯;由甲说假话,推出乙、丙、丁三人不是罪犯,矛盾.所以乙、丁两人说的是假话,而甲、丙两人说的是真话,由甲、丙的供词内容可以断定乙是罪犯.
12.A解析当y=sin x时,y'=cos x,因为cos0·cosπ=-1,所以在函数y=sin x图象存在两点x=0,x=π使条件成立,故A正确;函数y=ln x,y=e x,y=x3的导数值均非负,不符合题意,故选A.
本题实质上是检验函数图象上存在两点的导数值乘积等于-1.
13.2解析由三视图知四棱锥高为3,底面平行四边形的底为2,高为1,因此该四棱锥的体积为V=(2×1)×3=2.故答案为2.
14解析不妨设F(c,0)为双曲线右焦点,虚轴一个端点为B(0,b),依题意得点P为(-c,2b),又
点P在双曲线上,所以=1,得=5,即e2=5,因为e>1,所以e=
15.8解析由程序框图可知,变量的取值情况如下:
第一次循环,i=4,s=;
第二次循环,i=5,s=;
第三次循环,i=8,s=;
第四次循环,s=不满足s<,结束循环,输出i=8.
16.80解析通项公式为T r+1=x5-r2r,令5-r=2,得r=3.
则x2的系数为23=80.
题型练3大题专项(一)
三角函数、解三角形综合问题1.(2017江苏,16)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x∈[0,π].
(1)若a∥b,求x的值;
(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(tan A+tan B)=.
(1)证明:a+b=2c;
(2)求cos C的最小值.
3.(2017全国Ⅰ,理17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为.
(1)求sin B sin C;
(2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长.
4.已知函数f(x)=4tan x sin·cos.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)讨论f(x)在区间上的单调性.
5.已知函数f(x)=a cos2a sin ωx-a(ω>0,a>0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A 为图象上的最高点,点B,C为图象与x轴的两个相邻交点,且△ABC是边长为4的正三角形.
(1)求ω与a的值;
(2)若f(x0)=,且x0∈,求f(x0+1)的值.
6.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈.
(1)若m⊥n,求tan x的值;
(2)若m与n的夹角为,求x的值.
参考答案
题型练3大题专项(一)
三角函数、解三角形综合问题
1.解(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-),a∥b,
所以-cos x=3sin x.
若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,
故cos x≠0.
于是tan x=-
又x∈[0,π],所以x=
(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-)
=3cos x-sin x=2cos
因为x∈[0,π],所以x+,
从而-1≤cos
于是,当x+,即x=0时,f(x)取到最大值3;
当x+=π,即x=时,f(x)取到最小值-2
2.(1)证明由题意知2,
化简得2(sin A cos B+sin B cos A)=sin A+sin B,
即2sin(A+B)=sin A+sin B,
因为A+B+C=π,
所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C.
从而sin A+sin B=2sin C.
由正弦定理得a+b=2c.
(2)解由(1)知c=,
所以cos C=
=,
当且仅当a=b时,等号成立.
故cos C的最小值为
3.解(1)由题设得ac sin B=,即c sin B=
由正弦定理得sin C sin B=
故sin B sin C=
(2)由题设及(1)得cos B cos C-sin B sin C=-,即cos(B+C)=-
所以B+C=,故A=
由题设得bc sin A=,即bc=8.
由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=
故△ABC的周长为3+
4.解(1)f(x)的定义域为
f(x)=4tan x cos x cos
=4sin x cos
=4sin x
=2sin x cos x+2sin2x-=sin2x+(1-cos2x)-=sin2x-cos2x=2sin,
所以,f(x)的最小正周期T==π.
(2)令z=2x-,函数y=2sin z的单调递增区间是,k∈Z.由-+2kπ≤2x-+2kπ,得-+kπ≤x+kπ,k∈Z.设A=,B=,易知A∩B=所以,当x时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.
5.解(1)由已知可得f(x)=a=a sin
∵BC==4,∴T=8,∴ω=
由题图可知,正三角形ABC的高即为函数f(x)的最大值a,得a=BC=2
(2)由(1)知f(x0)=2sin,
即sin
∵x0,x0+,
∴cos,
∴f(x0+1)=2sin
=2sin
=2
=2
6.解(1)∵m=,n=(sin x,cos x),且m⊥n,
∴m·n=(sin x,cos x)
=sin x-cos x=sin=0.
又x,∴x-
∴x-=0,即x=tan x=tan=1.
(2)由(1)和已知,得cos
=
=sin
又x-,∴x-,即x=
题型练4大题专项(二)
数列的通项、求和问题1.设数列{a n}的前n项和为S n,满足(1-q)S n+qa n=1,且q(q-1)≠0.
(1)求{a n}的通项公式;
(2)若S3,S9,S6成等差数列,求证:a2,a8,a5成等差数列.
2.已知等差数列{a n}的首项a1=1,公差d=1,前n项和为S n,b n=.
(1)求数列{b n}的通项公式;
(2)设数列{b n}前n项和为T n,求T n.
3.已知数列{a n}的前n项和S n满足:S n=(a n-1),a为常数,且a≠0,a≠1.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)若a=,设b n=,且数列{b n}的前n项和为T n,求证:T n<.
4.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公比为q的等比数列{b n}的首项是,且
a1+2q=3,a2+4b2=6,S5=40.
(1)求数列{a n},{b n}的通项公式a n,b n;
(2)求数列的前n项和T n.
5.已知数列{a n}满足a1=,且a n+1=a n-(n∈N*).
(1)证明:1≤≤2(n∈N*);
(2)设数列{}的前n项和为S n,证明:(n∈N*).
6.已知数列{a n}的首项为1,S n为数列{a n}的前n项和,S n+1=qS n+1,其中q>0,n∈N*.
(1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列{a n}的通项公式;
(2)设双曲线x2-=1的离心率为e n,且e2=,证明:e1+e2+…+e n>.
参考答案
题型练4大题专项(二)
数列的通项、求和问题
1.(1)解当n=1时,由(1-q)S1+qa1=1,a1=1.
当n≥2时,由(1-q)S n+qa n=1,得(1-q)S n-1+qa n-1=1,两式相减,得a n=qa n-1.
又q(q-1)≠0,所以{a n}是以1为首项,q为公比的等比数列,故a n=q n-1.
(2)证明由(1)可知S n=,又S3+S6=2S9,
所以,
化简,得a3+a6=2a9,两边同除以q,得a2+a5=2a8.故a2,a8,a5成等差数列.
2.解(1)∵在等差数列{a n}中,a1=1,公差d=1,
∴S n=na1+d=,∴b n=
(2)b n==2,∴T n=b1+b2+b3+…+b n=2+…+=2+…+=2故T n=
3.(1)解因为a1=S1=(a1-1),所以a1=a.
当n≥2时,a n=S n-S n-1=a n-a n-1,得=a,
所以数列{a n}是首项为a,公比也为a的等比数列.
所以a n=a·a n-1=a n.
(2)证明当a=时,a n=,
所以b n=
因为,
所以b n=
所以T n=b1+b2+…+b n<+…+
因为-<0,所以,即T n<
4.解(1)设{a n}公差为d,由题意得解得故a n=3n-1,b n=
(2)+22n+1,
∴
T n=+…+(22n+3-8)=
5.证明(1)由题意得a n+1-a n=-0,即a n+1≤a n,故a n由a n=(1-a n-1)a n-1,得
a n=(1-a n-1)(1-a n-2)…(1-a1)a1>0.
由0<a n,得[1,2],
即12.
(2)由题意得=a n-a n+1,所以S n=a1-a n+1.①
由和12,得12,所以n2n,
因此a n+1(n∈N*).②由①②得(n∈N*).
6.解(1)由已知,S n+1=qS n+1,S n+2=qS n+1+1,
两式相减得到a n+2=qa n+1,n≥1.
又由S2=qS1+1得到a2=qa1,
故a n+1=qa n对所有n≥1都成立.
所以,数列{a n}是首项为1,公比为q的等比数列.
从而a n=q n-1.
由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得2a3=3a2+2,
即2q2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,
由已知,q>0,故q=2.
所以a n=2n-1(n∈N*).
(2)由(1)可知,a n=q n-1.
所以双曲线x2-=1的离心率e n=
由e2=,解得q=
因为1+q2(k-1)>q2(k-1),所以>q k-1(k∈N*).
于是e1+e2+…+e n>1+q+…+q n-1=,
故e1+e2+…+e n>
题型练5大题专项(三)
统计与概率问题
1.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会
的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中
随机选择4人参加比赛.
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.
2.袋子中装有大小相同的白球和红球共7个,从袋子中任取2个球都是白球的概率为,每个球
被取到的机会均等.现从袋子中每次取1个球,如果取出的是白球则不再放回,设在取得红球之前已取出的白球个数为X.
(1)求袋子中白球的个数;
(2)求X的分布列和数学期望.
3.某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;
(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;
(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
4.某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;
(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和数学期望.
5.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐
获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各
次击鼓出现音乐相互独立.
(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列.
(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?
(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
6.某工厂为了检查一条流水线的生产情况,从该流水线上随机抽取40件产品,测量这些产品的质量(单位:g),整理后得到如下的频率分布直方图(其中质量的分组区间分别为(490,495],(495,500],(500,505],(505,510],(510,515]).
(1)若从这40件产品中任取两件,设X为质量超过505 g的产品数量,求随机变量X的分布列;
(2)若将该样本分布近似看作总体分布,现从该流水线上任取5件产品,求恰有两件产品的质量超过505 g的概率.
参考答案
题型练5大题专项(三)
统计与概率问题
1.解(1)由已知,有P(A)=
所以,事件A发生的概率为
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
P(X=k)=(k=1,2,3,4).
所以,随机变量X的分布列为
X1234
P
随机变量X的数学期望E(X)=1+2+3+4
2.解(1)设袋子中有n(n∈N*)个白球,依题意,得,即,化简,得n2-n-6=0,
解得n=3或n=-2(舍去).
故袋子中有3个白球.
(2)由(1)得,袋子中有4个红球,3个白球.X的可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=;P(X=1)=;
P(X=2)=;
P(X=3)=
则X的分布列为
X0123
P
故E(X)=0+1+2+3
3.解(1)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,
故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.
(2)设B表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,
故P(B)=0.1+0.05=0.15.
又P(AB)=P(B),
故P(B|A)=
因此所求概率为
(3)
X0.85a a1.25a1.5a1.75a2a
P0.300.150.200.200.100.05
E(X)=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.
因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.
4.解(1)由题意知,参加集训的男、女生各有6名.
参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为
因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-
(2)根据题意,X的可能取值为1,2,3.
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=
所以X的分布列为
X123
P
因此,X的数学期望为
E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=1+2+3=2.
5.解(1)X可能的取值为10,20,100,-200.
根据题意,
P(X=10)=;
P(X=20)=;
P(X=100)=;
P(X=-200)=
所以X的分布列为
X1020100-200
P
(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件A i(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=
所以,“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为
1-P(A1A2A3)=1-=1-
因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是
(3)X的数学期望为E(X)=10+20+100-200=-
这表明,获得分数X的均值为负,因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.
6.解(1)根据频率分布直方图可知,质量超过505g的产品数量为[(0.01+0.05)×5]×40=12.
由题意得随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
P(X=0)=;
P(X=1)=;
P(X=2)=
则随机变量X的分布列为
X012
P
(2)由题意得该流水线上产品的质量超过505g的概率为=0.3.
设Y为该流水线上任取5件产品质量超过505g的产品数量,则Y~B(5,0.3).故所求概率为P(Y=2)=0.32×0.73=0.3087.
题型练6大题专项(四)
立体几何综合问题
1.
如图,已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形.A1A=6,且A1A ⊥底面ABCD.点P,Q分别在棱DD1,BC上.
(1)若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ;
(2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P-QD-A的余弦值为,求四面体ADPQ的体积.
2.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B⊥底面ABC,侧棱AA1与底面ABC所成角为60°,AA1=2,底面ABC是边长为2的正三角形,点G为△ABC的重心,点E在BC1上,且BE=BC1.
(1)求证:GE∥平面AA1B1B;
(2)求平面B1GE与底面ABC所成锐角二面角的余弦值.
如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F 分别是线段BE,DC的中点.
(1)求证:GF∥平面ADE;
(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.
4.
在如图所示的组合体中,ABCD-A1B1C1D1是一个长方体,P-ABCD是一个四棱锥.AB=2,BC=3,点P∈平面CC1D1D,且PD=PC=.
(1)证明:PD⊥平面PBC;
(2)求P A与平面ABCD所成角的正切值;
(3)当AA1的长为何值时,PC∥平面AB1D.
5.
如图,在四棱锥P-ABCD中,P A⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,P A=AD=2,AC=1.
(1)证明:PC⊥AD;
(2)求二面角A-PC-D的正弦值;
(3)设E为棱P A上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.
6.已知四边形ABCD满足AD∥BC,BA=AD=DC=BC=a,E是BC的中点,将△BAE沿AE翻折成△B1AE,使平面B1AE⊥平面AECD,F为B1D的中点.。