2019-2020学年浙江省温州市九年级(上)期末数学试卷(解析版)

2019-2020学年浙江省温州市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）：
1．已知O 的半径为4cm ，点P 在O 上，则OP 的长为( )
A ．1cm
B ．2cm
C ．4cm
D ．8cm 2．已知
23a b =，则a b a +的值为( ) A ．52 B ．53 C ．32 D ．23
3．抛物线223y x x =-+ 的对称轴为( )
A ．直线1x =-
B ．直线2x =-
C ．直线1x =
D ．直线2x =
4．如图，在O 中，点M 是AB 的中点，连结MO 并延长，交O 于点N ，连结BN ，若140AOB ∠=︒，则N ∠的度数为( )
A ．70︒
B ．40︒
C ．35︒
D ．20︒
5．在一个不透明的口袋里装有2个白球，3个黑球和3个红球，它们除颜色外其余都相同，现随机从袋里摸出1个球，则摸出白球的概率是( )
A ．12
B ．38
C ．13
D ．14
6．如图， 四边形ABCD 是O 的内接四边形， 若3D B ∠=∠，则B ∠的度数为( )
A ．30︒
B ．36︒
C ．45︒
D ．60︒
7．已知点(2,)A a -，(1,)B b ，(3,)C c 是抛物线222y x x =-+上的三点，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．a c b >>
B ．b a c >>
C ．c a b >>
D ．b c a >>
8．如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，现将它沿AB 方向平移1个单位，得到正六边形
A B C D E F ''''''，则阴影部分A BCDE F '''的面积是( )
A ．
B ．
C
D ．2+
9．如图，在Rt ABC ∆中，20A ∠=︒，6AC =，将ABC ∆绕直角顶点C 按顺时针方向旋转得到△A B C ''，当点B '第一次落在AB 边上时，点A 经过的路径长（即AA '的长）为( )
A ．23π
B ．43π
C ．2π
D ．73
π 10．如图，点A 为x 轴上一点，点B 的坐标为(,)a b ，以OA ，AB 为边构造OABC ，过点O ，C ，B 的抛物线与x 轴交于点D ，连结CD ，交边AB 于点E ，若AE BE =，则点C 的横坐标为( )
A ．a b -
B ．2b
C ．3a
D ．4
a 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）：
11．如图，直线////AB CD EF ，已知3AC =，4CE =， 3.6BD =，则DF 的长为 ．
12．某工厂从一批保温杯中随机抽取1000个进行质量检测，结果有980个保温杯质量合格，那么可以估计这批保温杯的合格率约为 ．
13．请写出一个开口向上，且其图象经过原点的抛物线的解析式 ．
14．已知扇形的圆心角为45︒，半径为3cm ，则该扇形的面积为 2cm ．
15．如图，点P 是ABC ∆的重心，过点P 作//DE AB 交BC 于点D ，交AC 于点E ，若AB 的长度为6，则DE 的长度为 ．
16．一根排水管的截面如图所示，已知水面宽40AB cm =，水的最大深度为8cm ，则排水管的半径为 cm ．
17．函数28(y ax ax a =-为常数，且0)a >在自变量x 的值满足23x 剟时，其对应的函数值y
的最大值为3-，则a 的值为 ．
18．如图是一个摩天轮，它共有8个座舱，依次标为1~8号，摩天轮中心O 的离地高度为50米，摩天轮中心到各座舱中心均相距25米，在运行过程中，当1号舱比3号舱高5米时，1号舱的离地高度为 米．
三、解答题（共6小题，共46分）：
19．有三张分别标有数字2，5，9的卡片，它们的背面都相同．现将它们背面朝上，从中任意抽出一张卡片，不放回，再从剩余的两张卡片里任意抽出一张．
（1）请用树状图或列表法表示出所有可能的结果．
（2）求两张卡片的数字之和为偶数的概率．
20．如图，在所给的方格纸中，每个小正方形边长都是1，ABC ∆是格点三角形（顶点在方格顶点处）．
（1）在图1画格点△111A B C ，使△111A B C 与ABC ∆相似，相似比为2:1．
（2）在图2画格点△222A B C ，使△222A B C 与ABC ∆相似，面积比为2:1．
21．如图，抛物线223y x x =--与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧），顶点为C ．
（1）求A ，B 两点的坐标；
（2）若将该抛物线向上平移t 个单位后，它与x 轴恰好只有一个交点，求t 的值．
22．如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 边上的中点，过A ，C ，D 三点的圆交BA 的
延长线于点E，连接EC．
（1）求证：90
∠=︒；
E
（2）若6
BC=，求AE的长．
AB=，10
23．创客联盟的队员想用3D打印完成一幅边长为4米的正方形作品ABCD，设计图案如图所示（四周阴影是四个全等的矩形，用材料甲打印；中心区是正方形A B C D
''''，用材料乙打印）．在打印厚度保持相同的情况下，两种材料的消耗成本如下表
设矩形的较短边AH的长为x米，打印材料的总费用为y元．
（1）A D
''的长为米（用含x的代数式表示）；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）当中心区的边长不小于3时，预备材料的购买资金700元够用吗？请利用函数的增减性来说明理由．
24．如图，在平面直角坐标系中，(3,4)
A，(5,0)
B，连结AO，AB．点C是线段AO上的动点（不与A，O重合），连结BC，以BC为直径作H，交x轴于点D，交AB于点E，连结CD，CE，过E作EF x
⊥轴于F，交BC于G．
（1）AO的长为，AB的长为（直接写出答案）
（2）求证：ACE BEF
∽；
∆∆
（3）若圆心H落在EF上，求BC的长；
（4）若CEG
∆是以CG为腰的等腰三角形，求点C的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）：
1．已知O 的半径为4cm ，点P 在O 上，则OP 的长为( )
A ．1cm
B ．2cm
C ．4cm
D ．8cm
【解答】解：点P 在O 上，
4OP cm ∴=．
故选：C ．
2．已知
23a b =，则a b a +的值为( ) A ．52 B ．53
C ．32
D ．23 【解答】解：
23a b =， ∴23522
a b a ++==， 故选：A ．
3．抛物线223y x x =-+ 的对称轴为( )
A ．直线1x =-
B ．直线2x =-
C ．直线1x =
D ．直线2x =
【解答】解： 2223(1)2y x x x =-+=-+，
∴对称轴为1x =，
故选：C ．
4．如图，在O 中，点M 是AB 的中点，连结MO 并延长，交O 于点N ，连结BN ，若140AOB ∠=︒，则N ∠的度数为( )
A ．70︒
B ．40︒
C ．35︒
D ．20︒
【解答】解：点M 是AB 的中点，
∴AM BM =，
140AOB ∠=︒，
1702BOM AOB ∴∠=
∠=︒， 1352
N BOM ∴∠=∠=︒， 故选：C ．
5．在一个不透明的口袋里装有2个白球，3个黑球和3个红球，它们除颜色外其余都相同，现随机从袋里摸出1个球，则摸出白球的概率是( )
A ．12
B ．38
C ．13
D ．14
【解答】解：口袋里装有2个白球，3个黑球和3个红球，
∴口袋里共有8个球，
∴摸出白球的概率是2184
=； 故选：D ．
6．如图， 四边形ABCD 是O 的内接四边形， 若3D B ∠=∠，则B ∠的度数为( )
A ．30︒
B ．36︒
C ．45︒
D ．60︒ 【解答】解：四边形ABCD 是O 的内接四边形，
180B D ∴∠+∠=︒，
3D B ∠=∠，
4180B ∴∠=︒，
解得：45B ∠=︒，
故选：C ．
7．已知点(2,)A a -，(1,)B b ，(3,)C c 是抛物线222y x x =-+上的三点，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．a c b >>
B ．b a c >>
C ．c a b >>
D ．b c a >>
【解答】解：抛物线2222(1)1y x x x =-+=-+，
∴该抛物线的对称轴是直线1x =，当1x >时，y 随x 的增大而增大，当1x <时，y 随x 的增大而减小，
点(2,)A a -，(1,)B b ，(3,)C c 是抛物线222y x x =-+上的三点，1(2)3--=，110-=，312-=，
a c
b ∴>>，
故选：A ．
8．如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，现将它沿AB 方向平移1个单位，得到正六边形
A B C D E F ''''''，则阴影部分A BCDE F '''的面积是( )
A ．
B ．
C
D ．2+
【解答】解：连接A E ''，BD ，过F '作F H A E '⊥''于H ，
则四边形A E DB ''是矩形，
正六边形ABCDEF 的边长为2，120A F E ∠'''=︒，
30F A E ∴∠'''=︒，
1F H ∴'=，A H '=，
A E ∴''=，
将它沿AB 方向平移1个单位，
1A B ∴'=，
∴阴影部分A BCDE F '''的面积12112A F E BCD A E DB S S S '''∆''=++=⨯⨯+⨯=矩形， 故选：B ．
9．如图，在Rt ABC
∆中，20
A
∠=︒，6
AC=，将ABC
∆绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到△A B C
''，当点B'第一次落在AB边上时，点A经过的路径长（即AA'的长）为( )
A．2
3
πB．
4
3
πC．2πD．
7
3
π
【解答】解：90
ACB
∠=︒，20
A
∠=︒，
70
B
∴∠=︒，
将ABC
∆绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到△A B C
''，BC B C
∴='，
70
BB C B
∴∠'=∠=︒，
40
BCB
∴∠'=︒，
40
ACA
∴∠'=︒，
∴点A经过的路径长
4064
1803
π
π
⨯
==，
故选：B．
10．如图，点A为x轴上一点，点B的坐标为(,)
a b，以OA，AB为边构造OABC，过点O，
C，B的抛物线与x轴交于点D，连结CD，交边AB于点E，若AE BE
=，则点C的横坐标为()
A ．a b -
B ．2b
C ．3a
D ．4
a 【解答】解：四边形OABC 为平行四边形，
//BC OA ∴，BC OA =，
设(,)C t b ，则BC a t =-，
//BC AD ，
EBC EAD ∴∠=∠，
在EBC ∆和EAD ∆中
BEC AED EB EA
EBC EAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ()EBC EAD ASA ∴∆≅∆，
BC AD a t ∴==-，
∴点A 为OD 的中点，
∴抛物线的对称轴为直线x a t =-，
()a t t a a t ∴--=--，
13
t a ∴=． 故选：C ．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）：
11．如图，直线////AB CD EF ，已知3AC =，4CE =， 3.6BD =，则DF 的长为 4.8 ．
【解答】解：直线////AB CD EF ，
∴AC BD CE DF
=， 即
3 3.64DF =， 解得： 4.8DF =，
故答案为：4.8
12．某工厂从一批保温杯中随机抽取1000个进行质量检测，结果有980个保温杯质量合格，那么可以估计这批保温杯的合格率约为 98% ．
【解答】解：这批保温杯的合格率9801000100%98%=÷⨯=．
故答案为：98%．
13．请写出一个开口向上，且其图象经过原点的抛物线的解析式 2
y x x =+ ．
【解答】解：
设抛物线解析式为2y ax bx c =++，
抛物线开中向上， 0a ∴>，故可取1a =，
抛物线过原点，
0c ∴=，
对称没有限制，
∴可取1b =，
故答案为：2
y x x =+．
14．已知扇形的圆心角为45︒，半径为3cm ，则该扇形的面积为 8 2． 【解答】解：2224539()3603608
n r s cm πππ===， 故答案为98
π． 15．如图，点P 是ABC ∆的重心，过点P 作//DE AB 交BC 于点D ，交AC 于点E ，若AB 的长度为6，则DE 的长度为 4 ．
【解答】解：连接CP 并延长交AB 于F ，由重心的性质得，:2:1CP PF =．
//DE AB ，
::2:1CD DB CP PF ∴==，
:2:3CD CB ∴=， ∴23
DE CD AB CB ==， 6AB =，
4DE ∴=，
故答案为：4．
16．一根排水管的截面如图所示，已知水面宽40AB cm =，水的最大深度为8cm ，则排水管的半径为 29 cm ．
【解答】解：过点O 作OD AB ⊥，交AB 于点E ，
40AB cm =，
11402022
BE AB cm ∴==⨯=， 在Rt OBE ∆中，
8OE OB =-，
222OB OE BE ∴=+，
即22220(8)OB OB =+-，
29OB cm ∴=；
故答案为：29
17．函数28(y ax ax a =-为常数，且0)a >在自变量x 的值满足23x 剟时，其对应的函数值y
的最大值为3-，则a 的值为
4 ． 【解答】解：228(4)16y ax ax a x a =-=--，
∴函数28(y ax ax a =-为常数，且0)a >的大致函数图象如图所示，
在自变量x 的值满足23x 剟
时，其对应的函数值y 的最大值为3-， ∴当2x =时，3y =-最大值，即4163a a -=-，
解得14
a =． 故答案是：
14．
18．如图是一个摩天轮，它共有8个座舱，依次标为1~8号，摩天轮中心O 的离地高度为50米，摩天轮中心到各座舱中心均相距25米，在运行过程中，当1号舱比3号舱高5米时，1号舱的离地高度为 20 米．
【解答】解：如图所示：作BA 、CD 分别垂直于摩天轮水平的直径，A 、D 为垂足，
则90BAO ODC ∠=∠=︒，90AOB B ∠+∠=︒，
由题意得：90BOC ∠=︒，25OB OC ==，5AB CD =+，
90AOB COD ∴∠+∠=︒，
B OCD ∴∠=∠，
在AOB ∆和DCO ∆中，BAO ODC B OCD OB OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()AOB DCO AAS ∴∆≅∆，
OA CD ∴=，AB OD =，
设OA x =，则5AB x =+，
在Rt AOB ∆中，由勾股定理得：222(5)25x x ++=，
解得：15x =，
15520AB ∴=+=（米)，
即号舱的离地高度为20米；
故答案为：20．
三、解答题（共6小题，共46分）：
19．有三张分别标有数字2，5，9的卡片，它们的背面都相同．现将它们背面朝上，从中任意抽出一张卡片，不放回，再从剩余的两张卡片里任意抽出一张．
（1）请用树状图或列表法表示出所有可能的结果．
（2）求两张卡片的数字之和为偶数的概率．
【解答】解：（1）根据题意画图如下：
共有6种等可能的结果数；
（2）共有6种等可能的结果数，抽取的两张卡片的数字之和为偶数的有2种情况，
∴两张卡片的数字之和为偶数的概率是：13
． 20．如图，在所给的方格纸中，每个小正方形边长都是1，ABC ∆是格点三角形（顶点在方格顶点处）．
（1）在图1画格点△111A B C ，使△111A B C 与ABC ∆相似，相似比为2:1．
（2）在图2画格点△222A B C ，使△222A B C 与ABC ∆相似，面积比为2:1．
【解答】解：（1）如图所示：△111A B C 即为所求：
（2）如图所示：△222A B C 即为所求：
21．如图，抛物线223y x x =--与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧），顶点为C ．
（1）求A ，B 两点的坐标；
（2）若将该抛物线向上平移t 个单位后，它与x 轴恰好只有一个交点，求t 的值．
【解答】解：（1）当0y =时，2230x x --=，解得13x =，21x =-，
所以A 点坐标为(1,0)-，B 点坐标为(3,0)；
（2）抛物线223y x x =--向上平移t 个单位后所得抛物线解析式为223y x x t =--+， 则△2(2)4(3)0t =---+=，
解得4t =．
22．如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 边上的中点，过A ，C ，D 三点的圆交BA 的延长线于点E ，连接EC ．
（1）求证：90E ∠=︒；
（2）若6AB =，10BC =，求AE 的长．
【解答】解：（1）如图，连接AD ，
AB AC =，D 是BC 中点，
AD BC ∴⊥，即90ADC ADB ∠=∠=︒，
∴点A ，C ，D 在以AC 为直径的圆上，
90E ∴∠=︒；
（2）
10BC =， 152
BD BC ∴==， B B ∠=∠，90ADB E ∠=∠=︒，
BAD BCE ∴∆∆∽， ∴BA BD BC BE =，即65106AE
=+， 解得：73AE =
． 23．创客联盟的队员想用3D 打印完成一幅边长为4米的正方形作品ABCD ，设计图案如图所示（四周阴影是四个全等的矩形，用材料甲打印；中心区是正方形A B C D ''''，用材料乙打印）．在打印厚度保持相同的情况下，两种材料的消耗成本如下表
设矩形的较短边AH 的长为x 米，打印材料的总费用为y 元． （1）A D ''的长为 42x - 米（用含x 的代数式表示）；
（2）求y 关于x 的函数解析式；
（3）当中心区的边长不小于3时，预备材料的购买资金700元够用吗？请利用函数的增减性来说明理由．
【解答】解：（1）
AH GD x ='=，4AD =，
42A D x ∴''=-； 故答案为：42x -；
（2）y 关于x 的函数解析式为：22604(4)30(42)120480480y x x x x x =⨯⨯-+⨯-=-++；
（3）当中心区的边长不小于3米时，
423x ∴-…，
解得：0.5x …，
2120480480y x x =-++，1200a =-<，22b a
-
=， ∴当0.5x …时，y 随x 增大而增大， 所以当12
x =时，690700y =<， 所以当中心区的边长不小于3米时，预备材料的购买资金700元够用．
24．如图，在平面直角坐标系中，(3,4)A ，(5,0)B ，连结AO ，AB ．点C 是线段AO 上的
动点（不与A，O重合），连结BC，以BC为直径作H，交x轴于点D，交AB于点E，连结CD，CE，过E作EF x
⊥轴于F，交BC于G．
（1）AO的长为5，AB的长为（直接写出答案）
（2）求证：ACE BEF
∽；
∆∆
（3）若圆心H落在EF上，求BC的长；
（4）若CEG
∆是以CG为腰的等腰三角形，求点C的坐标．
【解答】解：（1）(3,4)
A，(5,0)
B．
∴=，5
OA
5
OB=，AB==．
故答案为：5；．
（2）如图1中，
==，
5
OA OB
∴∠=∠，
A EBF
BC是直径，
∴∠=∠=︒，
BEC AEC
90
EF OB
⊥，
∴∠=︒，
90
EFB
AEC EFB
∴∠=∠=︒，
90
∴∆∆
∽．
ACE BEF
（3）如图2中，当GC GE
=时，点G与点H重合，
∴==，
GE GB GC
GEB EBG
∴∠=∠，
∠+∠=︒，
90
GEB ABO
∴∠+∠=︒，
EBG ABO
90
=，
OA OB
∴∠=∠，
A OBA
∴∠+∠=︒，
90
A EBG
∴∠=︒，
90
ACB
∴⊥，
BC AO
OC OB AOB
∴=∠=，
cos3
BC
∴===；
4
（4）①如图2中，当GC GE
=时，点G与点H重合，∴==，
GE GB GC
GEB EBG
∴∠=∠，
∠+∠=︒，
90
GEB ABO
∴∠+∠=︒，
EBG ABO
90
=，
OA OB
A OBA ∴∠=∠，
90A EBG ∴∠+∠=︒，
90ACB ∴∠=︒，
BC AO ∴⊥，
cos 3OC OB AOB ∴=∠=，
9(5C ∴，12)5
． ②如图3中，当CE CG =时，作AK OB ⊥于K ．设4CD k =，3OD k =．
CE CG =，
CEG CGE BGF ∴∠=∠=∠，
90CEG BEF ∠+∠=︒，90BGF CBD ∠+∠=︒， CBD BEF ∴∠=∠，
EF OB ⊥，AK PB ⊥，
//EF AK ∴，
BEF BAK ∴∠=∠，
CBD BAK ∴∠=∠，
90CDB AKB ∠=∠=︒，
CBD BAK ∴∆∆∽， ∴
CD BD BK AK =， ∴45324
k k -=， 511k ∴=
，
15(11C ，20)11．。