河南省中原名校联盟2016届高三4月高考仿真模拟联考数学(文)试卷

中原名校联盟2016届高三四月高考仿真模联考
数学（文）试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。

）
1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x ｜lgx ≤0}，B ＝{x ｜2x
，则A ∩B ＝ A ．（－∞，1] B ．（0，13] C ．[1
3
，1 ] D ．∅ 2．若复数
2a i
i
＋的实部与虚部相等，则实数a ＝ A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 3．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，
统计两科成绩得到如图所示的散点图（两轴单位长度相
同），用回归直线ˆy ＝bx ＋a 近似的刻画其相关关系，根 据图形，以下结论最有可能成立的是
A ．线性相关关系较强，b 的值为1．25
B ．线性相关关系较强，b 的值为0．83
C ．线性相关关系较强，b 的值为－0．87
D ．线性相关关系太弱，无研究价值
4．某个几何体的三视图如图所示（其中正视图中的圆弧是
半径为2的半圆），则该几何体的表面积为 A ．92＋14π B ．82＋14π C ．92＋24π D ．82＋24π 5．下列说法错误的是
A ．命题“若2x －5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则2x －5x ＋6≠0”
B ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≥2
(
)2
x y ＋”的充要条件 C ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真一假
D ．若命题p ：0x ∃∈R ，2
0x ＋0x ＋1＜0，则p ⌝：x ∀∈R ，2
x ＋x ＋1≥0
6．阅读如图所示的程序框图，则输出结果S 的值为
A ．
12 B ．1
8
C
．
16
D ．116
7．点A （1，2）在抛物线2y ＝2px 上，抛物线的焦点为 F ，直线AF 与抛物线的另一交点为B ，则｜AB ｜＝
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
8．已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组310
3010x y x y x ⎧⎪
⎨⎪⎩
－＋≤＋－≤－≥，设OA uu r 与OB uu u r 的夹
角为θ，则tan θ的最大值为
A ．
12 B ．47 C ．34 D ．94
9．己知角ϕ的终边经过点P （5，－12），函数f （x ）＝sin （ωx ＋ϕ）（ω＞0），满足对任意
的x ，存在x 1，x 2使得f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2）成立，且｜x 1－x 2｜的最小值为
4
π
，则f （
4π
）的值为 A ．513 B ．－513 C ．1213 D ．－12
13
10．设点P 是双曲线22
221x y a b
－＝
（a ＞0，b ＞0）与圆22x y ＋＝22a b ＋在第一象限的交点， F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且｜PF 1｜＝3｜PF 2｜，则双曲线的离心率为 A
B
C
D
11．如果对定义在R 上的函数f （x ），对任意1x ≠2x ，都有x 1f （x 1）＋x 2f （x 2）＞x 1f （x 2）＋
x 2f （x 1）则称函数f （x ）为“H 函数”．给出下列函数：①y ＝－3x ＋x ＋1；②y ＝3x －2（sinx －cosx ）；③y ＝x e ＋1：④f （x ）＝ln ,0
0,x x x ⎧⎪⎨
⎪⎩≠＝0
．其中函数是“H 函数”的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 12．已知函数f （x ）＝x
e －ax 有两个零点x 1＜x 2，则下列说法错误的是 A ．a ＞e B ．x 1＋x 2＞2
C ．x 1x 2＞1
D ．有极小值点0x ，且x 1＋x 2＜2x 0
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上。

）
13．已知a r 与b r 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a r ＋b r 与向量k a r
－b r 垂直，则
k ＝___________．
14．已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）－g （x ）＝x e ＋2x ＋
1，则函数h （x ）＝2f （x ）－g （x ）在点（0，h （0））处的切线方程是______________． 15．已知函数f （x ）＝23
log (1)1,1032,0x x x x x a
⎧⎨
⎩－＋≤＜－＋≤≤的值域是[0，2]，则实数a 的取值范围是
______________．
16．已知直角△ABC 的两直角边AB ，AC 的边长分别为方程2x －2（1
x ＋
0的
两根，且AB ＜AC ，斜边BC 上有异于端点B 、C 的两点E 、F ，且EF ＝1，设∠EAF ＝θ，
则tan θ的取值范围为__________．
三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

） 17．（本小题满分12分） 已知数列{n a }和{n b }满足a 1＝2，b 1＝1，21n a ＋＝n a ，b 1＋
12b 2＋13b 3＋…＋1
n
n b ＝1n b ＋－1（n ∈N ﹡）． （1）求n a 与n b ；
（2）记数列{n a n b }的前n 项和为n T ，求n T ．
18．（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD 为梯形，AB ∥CD ，PD ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，DC
＝2AB ＝2a ，DA
，E 为BC 中点． （1）求证：平面PBC ⊥平面PDE ；
（2）线段PC 上是否存在一点F ，使PA ∥平
面BDF?若存在，请找出具体位置，并进 行证明：若不存在，请分析说明理由．
19．（本小题满分12分）
在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行
学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：
表1：男生 表2：女生
（1）从表2的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格
的概率；
（2）由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90％的把握认为“测评结果优
秀与性别有关”．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C ：32
221x y a b
＋＝
（a ＞b ＞0）的右焦点F 1与抛物线2y ＝4x 的焦点重合，原点到
过点A （a ，0），B （0，－b （1）求椭圆C 的方程； （2）设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个公共点P ，过F 1作PF 1的垂线与直线l 交
于点Q ，求证：点Q 在定直线上，并求出定直线的方程．
21．（本小题满分12分） 已知函数f （x ）＝x －
1
x
－alnx （a ∈R ）． （1）讨论f （x ）的单调区间；
（2）设g （x ）＝f （x ）＋2alnx ，且g （x ）有两个极值点为x 1,x 2，其中x 1∈[0，e]，求
g （x 1）－g （x 2）的最小值． 【选做题】
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题
时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】 如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，AB 的延长
线与DC 的延长线交于点E ，且CB ＝CE ． （1）证明：∠D ＝∠E ；
（2）设AD 不是圆O 的直径，AD 的中点为M ，且MB
＝MC ，证明：△ADE 为等边三角形．
23．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】 极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已
知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝（θ＋
4
π），曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ＝a （a ＞0），射线θ＝ϕ，θ＝ϕ＋4π，θ＝ϕ－4π，θ＝2
π
＋ϕ与曲线C 1分别交异于极点
O 的四点A ，B ，C ，D ．
（1）若曲线C 1关于曲线C 2对称，求a 的值，并把曲线C 1和C 2化成直角坐标方程； （2）求｜OA ｜·｜OC ｜＋｜OB ｜·｜OD ｜的值． 24．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】 已知函数f （x ）＝｜2x －a ｜＋a ．
（1）若不等式f （x ）≤6的解集为{x ｜－2≤x ≤3}，求实数a 的值；
（2）在（1）的条件下，若存在实数n 使f （n ）≤m －f （－n ）成立，求实数m 的取值范
围．
文科数学参考答案
1．
(]10,1 B=,3A ⎛
⎤=-∞ ⎥⎝⎦
10,3A B ⎛⎤
∴⋂= ⎥⎝⎦
故选B
2．112222a i ai a i i +-⎛⎫==+- ⎪⎝⎭
122
a
∴=-即1a =- 故选A 3．由散点图直观观察知，正相关且相关关系较强，故选B 4．由三视图知，直观图是长方体上放一个半圆柱，
2202162202259214s πππ∴=+⨯+⨯+⨯+⨯=+表 故选A
5．由选择支分析得C 显然是错误。

6．由程序框图有：
234cos
cos cos cos 9999S π
πππ=⨯⨯⨯ 2148sin cos cos cos 999298sin
9
ππππ
π
⨯⨯⨯=
18sin 12
9168sin 9
π
π== 故选D
7．由题意知：(1,2)A 在2
2y px =上 24p ∴= ∴抛物线方程为24y x =
(1,0)F ∴
(1,2)B ∴- 24AB p ∴== 故选C
8．由线性约束条件知
由1
30x x y =⎧⎨
+-=⎩
得
(1,2)A ,由310
30x y x y -+=⎧⎨
+-=⎩
得(2,1)B
由图知tan θ最大时 (1,2)A (2,1)B
max 1232tan 114
θ-
∴=
=+ 即选C
9．由三角函数定义知：12sin 13
ϕ=-
由已知有
2
T π
=
4w ∴= ()sin(4)f x x ϕ∴=+
即12()sin 413
f πϕ=-= 故选C
10．由已知有：
122PF PF a -= 又12
3PF PF =
13PF a ∴= 2P F a
=，在12Rt PF F ∆中有：
22104a c ∴= 即 252e =
2
e ∴= 故选D 11．由“H 函数”定义有：
[]1212()()()0x x f x f x -->
即()f x 是R 上的单增函数。

①2
31y x '=-+ 不符
②3)04
y x π
=-+
> 恒成立。

符合
③1x y e =+ 单增, 符合
④图像如图
不符
故符合有2个 ，选B 12．
()x f x e a '=-
①当0a ≤时()0f x '>恒成立 ()f x R 上单增，不符题意 ②当0a >时
由0()0f x '=得01a
x n = ∴当1a x n <时，()0f x '<
当1a
x n >时，()0f x '>
∴()f x (,1
)a n -∞↓ (1,)a n +∞↑ ∴()f x 极小值=(1)a f n =10a a a n -< 得a e > 故A 正确 又
2(2)20f e a =-< (0)1
f =>
101x ∴<< 22x > 122x x ∴+> 故B 正确
由x
e
ax =得11x e ax = 22x e a x =
012221212x x x e a x x e x x +∴==
120212x x x x x e +-= ∴C,D 两项互斥。

由x
e ax =得x
e a x =
令()x
e g x x
=
得图：
不妨取1
12
x =
， 只需比较()g z 与1
()2g 的大小
又21()()022e g z g -=-=>
1
(2)()2
g g ∴>
21()()g x g x ∴< 121x x ∴< 故C 不正确
二、填空题： 13．１
14．04=+-
y x
15．
[]3,1
16．⎥⎦⎤
⎝⎛113493，
解析： 13．
()()0a b ka b +⋅-=
即
1(1)0k k a b -+-⋅=
(1)(1)0k a b ∴-+⋅=
又
10a b +⋅=不恒成立
1k ∴=
14．2
()()1x f x g x e x -=++
2
()()1x f x g x e x -+=++
222()2x x e e x f x -+++∴= ()2
x x
e e g x --=
()2()()h x f x g x ∴=-
2
222
x x
x
x
e e e e x ---=+++-
2
312222
x x e e x -=+++ 31
()(1)422x x h x e e x -'∴=+⋅-+
即31
(0)122
h '=-=
又(0)4h =
∴切线方程是：40x y -+=
15．函数图像如图所示：
1a ∴≤≤
16．由已知有 AB=2 AC=
取EF 中点P,EF=1,由动态三角形有： 当AP 最小时，EAF ∠最小 当AP 最大时，EAF ∠最大
tan θ∴∈⎝
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．解：（1）n n a a a ==+11
2,2得2
121
212--=⋅
=n n n a …………………………………2分
由题意知：
当1=n
时，121-=b b ，故22=b
当2≥n 时，n n n b b b n -=+11
得
n
b n b n
n =++11，所以*)(N n n b n ∈=……………………………………………………6分 （2）由（1）知 222
21--=⋅=n n n n n
n b a ………………………………………………………7分
2
0122221--+++=
∴n n
n T 0111122222n n n T -=++…+
12012
21212121----+++=∴n n n n
T ……………………………………………………9分
12211)
211(2----=n n n …………………………………………………………………10分 故22
2
8-+-=n n n T ………………………………………………………………………………12分
18．证明:（1）连结BD 90BAD ADC ∠=∠=
,AB a DA =
所以2BD DC a == E 为BC 中点 所以BC DE ⊥ ……………3分
又因为PD ⊥平面ABCD , 所以BC PD ⊥
因为DE PD D = ……………………………………………………………………4分 所以BC ⊥平面PDE ……………………………………………………………5分 因为BC ⊂平面PBC ,所以平面PBC ⊥平面PDE ……………………………………6分
（2）当点F 位于PC 三分之一分点(靠近P 点)时, //PA 平面BDF …………………………7分
连结,AC BD 交于O 点 //AB CD ,所以AOB ∆相似于COD ∆
又因为1
2
AB DC =，所以12AO OC =
从而在CPA ∆中,1
3
AO AC = ……10分 而13PF PC =
所以//OF PA ………11分 而OF ⊂平面BDF PA ⊄平面BDF
所以//PA 平面BDF ……………………………………………………………………12分
19．解：（Ⅰ）设从高一年级男生中抽出m 人，则45500500400
m =+，25m =， ∴
21820,52025=-==-=y x ……………………………………………………2分 表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为,,a b c ，尚待改进的2人为,A B ，
则从这5人中任选2人的所有可能结果为：),(b a ，),(c a ，),(c b ，),(B A ，),(A a ，),(B a ，
),(A b ，),(B b ，),(A c ，),(B c 共10种………………… 4分
设事件C 表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”， 则C 的结果为：()()()()()(),,,,,,,,,,,a A a B b A b B c A c B ，共6种…………………5分
∴63()105P C =
=， 故所求概率为3
5
………………………………………………………8分 （Ⅱ）
∵10.90.1-=，
2( 2.706)0.10P K ≥=， 而()224515515109 1.125 2.706301525208
K ⨯-⨯===<⨯⨯⨯……………………………………11分 所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关” ………………………………………12分
20．（1）由于抛物线24y x = 的焦点坐标为(1,0)，所以1c =，因此221a b =+，……………2分
因为原点到直线AB ：
1x y a b -=
的距离为d == 解得：224,3a b ==，所以椭圆C 的方程为22
143
x y +=．…………………………………5分 （2）由22
14
3y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得方程222(43)84120k x kmx m +++-=，（*）………………………6分 由直线与椭圆相切得0m ≠且2222644(43)(412)0k m k m ∆=-+-=， 整理得：22
430k m -+=，……………………8分
将222243,34k m m k +=-=代入（*）式得 2228160m x kmx k ++=，即2(4)0mx k +=，解得4k x m =-，所以43(,)k P m m
-，……10分 又1(1,0)F ，所以13
3441PF m k k k m m
==-+--，所以143F Q k m k +=， 所以直线1F Q 方程为4(1)3
k m y x +=-，……………………………………………………11分 联立方程组4(1)3y kx m k m y x =+⎧⎪+⎨=-⎪⎩
，得4x =， 所以点Q 在定直线4x =上．…………………………………………………………………12分
21．解：（1）)(x f 的定义域),0(+∞，
22211()1a x ax f x x x x
-+'=+-=，令0)(='x f 得012=+-ax x ，……………1分 ①当22≤≤-a 时，042≤-=∆a ，此时，
0)(≥'x f 恒成立，所以，)(x f 在定义域为),0(+∞上单调递增；……………………2分
②当2-<a 时，042>-=∆a 时，但012=+-ax x 的两根21,x x 均为负数，此时，0
)(>'x f 在),0(+∞上恒成立，所以，)(x f 在定义域为),0(+∞上单调递增； 4分、
③当2>a 时，042>-=∆a ，解012
=+-ax x 得两根为2
421--=a a x ， 2422-+=a a x ，当)2
4,0(2--∈a a x 时，)(,0)(x f x f >'单调递增； 当)2
4,24(22-+--∈a a a a x 时，0)(<'x f ，)(x f 单调递减； 当),2
4(2+∞-+∈a a x 时，)(,0)(x f x f >'单调递增； 综上得，当2≤a 时，)(x f 的递增区间为),0(+∞，无递减区间；
当2>a 时，)(x f 的递增区间为),2
4(),24,0(22+∞-+--a a a a ，递减区间为 )2
4,24(22-+--a a a a ； ………………………………………………………………6分 （2）x a x
x x g ln 1)(+-=，定义域为),0(+∞， 222111)(x
ax x x a x x g ++=++='，令0)(='x g 得012=++ax x ，其两根为21,x x ，且 ⎩⎨⎧=⋅-=+1
2121x x a a x ，所以，)1(,11112x x a x x +-==，…………………………………………8分 0<∴a
)1ln 1(ln 1)1()()()(1
111111121x a x x x a x x x g x g x g x g +--+-=-=-∴ =11
111111ln )1(2)1(2ln 2)1(2x x x x x x a x x +--=+-
设x x
x x x x h ln )1(2)1(2)(+--= ]e x ,0(∈，则min min 21)()()(x h x g x g =-，……9分 222ln )1)(1(21)1(ln )11(2)11(2)(x x x x x x x x x x x h -+=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡++--+=' ， 当(]e x ,0∈时，恒有)(,0)(x h x h ∴≤'在(]e ,0上单调递减；
e x g x g e e h x h 4))()((,4)()(min 21min -=-∴-==∴. …………………………………12分
22．证明：（1）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，
∴∠D=∠CBE ，
∵CB=CE ，∴∠E=∠CBE ，∴∠D=∠E ；
（2）设BC 的中点为N ，连接MN ，
则由MB=MC 知MN ⊥BC ，∴O 在直线MN 上，
∵AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，∴OM ⊥AD ，
∴AD ∥BC ，∴∠A=∠CBE ，
∵∠CBE=∠E ，∴∠A=∠E ，由（Ⅰ）知，∠D=∠E ，
∴△ADE 为等边三角形
23．解：（1）1C ：2)1()1(2
2=-+-y x ，……………………………………………………2分 2C ：a y =，……………………………………………………………………………4分
因为曲线1C 关于曲线2C 对称，1=a
，2C ：1=y …………………………………5分 （2）
)
4sin(22||π
ϕ+=OA ； ϕ
π
ϕcos 22)2sin(22||=+=OB
ϕsin 22||=OC ，
)4
cos(22)43sin(22||πϕπϕ+=+=OD ……………………………………………………8分 24||||||||=⋅+⋅OD OB OC OA ……………………………………………………10分
24．解：（1）由26x a a -+≤得26x a a -≤-，∴626a x a a -≤-≤-，即33a x -≤≤，
∴32a -=
-，∴1a =。

（2）由（Ⅰ）知()211f x x =-+,令()()()n f n f n ϕ=+-，
则，()124, 211212124, 22124, n 2n n n n n n n ϕ⎧-≤-⎪⎪⎪=-+++=-<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩
∴()n ϕ的最小值为4，故实数m 的取值范围是[)4,+∞。