学案12：1.2.1 充分条件与必要条件~1.2.2 充要条件

1.2.1 充分条件与必要条件~1.2.2 充要条件
学习目标
(1)正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念；
(2)能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系；
(3)在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系．学习重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义．
学习难点：必要条件的定义、充要条件的充分必要性．
知识点充分条件、必要条件与充要条件
问题导思
观察下面四个电路图，开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q.
1．在上面四个电路中，你能说出p，q之间的推出关系吗？
2．电路图③中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合，两者的关系应如何表述？
知识梳理
1．充分条件与必要条件
命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题
推出关系p q p q
条件关系
p是q的条件
q是p的条件p不是q的条件q不是p的条件
2.充要条件的概念
一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说p是q的条件，简称条件．
概括地说，如果p⇔q，那么p与q条件.
互动探究
类型1 充分条件、必要条件、充要条件的判断
例1(1)已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是()
①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；
②Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件；
③Δ＝b2－4ac＞0是这个方程有实根的必要条件；
④Δ＝b2－4ac＜0是这个方程没有实根的充要条件．
A．③④B．②③
C．①②③D．①②④
(2)若p：(x－1)(x＋2)≤0，q：x＜2，则p是q的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
规律方法
1．判断p是q的什么条件，主要判断p⇒q，及q⇒p两命题的正确性，若p⇒q真，则p是q成立的充分条件；若q⇒p真，则p是q成立的必要条件．要否定p与q不能相互推出时，可以举出一个反例进行否定．
2．判定方法常用以下几种：
(1)定义法：借助“⇒”号，可记为：箭头所指为必要，箭尾跟着充分．
(2)集合法：将命题p、q分别看做集合A，B，当A⊆B时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，即p⇒q，可以用“小范围推出大范围”来记忆；当A＝B时，p、q互为充要条件．变式训练已知如下三个命题中：
①若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件；
②对于实数a，b，c，“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件；
③直线l1：ax＋y＝3，l2：x＋by－c＝0.
则“ab＝1”是“l1∥l2”的必要不充分条件；
④“m＜－2或m＞6”是“y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点”的充要条件．
正确的结论是________．
类型2 充分条件、必要条件、充要条件的应用
例2 设集合A ＝{x |－x 2＋x ＋6≤0}，关于x 的不等式x 2－ax －2a 2＞0的解集为B (其中a ＜0)．
(1)求集合B ；
(2)设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
规律方法
1．利用充分、必要条件求参数的取值范围问题，常利用集合法求解，即先化简集合A ＝{x |p (x )}和B ＝{x |q (x )}，然后根据p 与q 的关系(充分、必要、充要条件)，得出集合A 与B 的包含关系，进而得到相关不等式组(也可借助数轴)，求出参数的取值范围．
2．判断p 是q 的什么条件，若直接判断困难，还可以用等价命题来判断，有时也可通过举反例否定充分性或必要性．
变式训练
已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)．若¬p 是¬q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．
类型3 充要条件的证明
例3 求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不等的实根的充要条件是：0＜m ＜13
.
规律方法
1．证明p 是q 的充要条件，既要证明命题“p ⇒q ”为真，又要证明“q ⇒p ”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．
2．证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．
变式训练
求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
课堂小结
充分条件与必要条件的判断方法
(1)定义法
用定义法判断直观、简捷，且一般情况下，错误率低，在解题中应用极为广泛．
(2)集合法
从集合角度看，设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|满足条件q}．
①若A⊆B，则p是q的充分条件；若A B，则p是q的充分不必要条件．
②若A⊇B，则p是q的必要条件；若A B，则p是q的必要不充分条件．
③若A＝B，则p是q的充要条件．
④若A B，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
(3)等价转化法
当某一命题不易直接判断条件和结论的关系(特别是对于否定形式或“≠”形式的命题)时，可利用原命题与逆否命题等价来解决．
(4)传递法
充分条件与必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒p3⇒…⇒p n，则可得p1⇒p n，充要条件也有传递性．
当堂检测
1．“x＝3”是“x2＝9”的()
A．充分而不必要的条件
B．必要而不充分的条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件
2．设p：x2＋3x－4＞0，q：x＝2，则p是q的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．在“x2＋(y－2)2＝0是x(y－2)＝0的充分不必要条件”这句话中，已知条件是________，结论是________．
4．若p：x＝1或x＝2；q：x－1＝x－1，则p是q的什么条件？
参考答案
知识点充分条件、必要条件与充要条件
问题导思
1．【提示】①开关A闭合，灯泡B一定亮，灯泡B亮，开
关A 不一定闭合，即p ⇒q ，q
p ；②开关A 闭合，灯泡B 不一定亮，灯泡B 亮，开关A 必须闭合，即p q ，q ⇒p ；③开关A 闭合，灯泡B 亮，反之灯泡B 亮，开关A 一定闭合，即
p ⇔q ；④开关A 闭合与否，不影响灯泡B ，反之，灯泡B 亮与否，与开关A 无关，即p
q ，且q p .
2．【提示】 p ⇔q .
知识梳理
1．⇒ 充分 充分 必要 必要
2.充分必要 充要 互为充要
互动探究
类型1 充分条件、必要条件、充要条件的判断
例1 【答案】 (1)D (2)A
【解析】 (1)①对，Δ≥0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根；
②对，Δ＝0⇒方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根；
③错，Δ＞0⇒方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根，但ax 2＋bx ＋c ＝0有实根
Δ＞0；
④对，Δ＜0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根．故选D.
(2)p ：－2≤x ≤1，q ：x ＜2，显然p ⇒q ，但q
p ，即p 是q 的充分不必要条件． 变式训练 【答案】 ①③④
【解析】 ①中，当a ＝2时，有(a －1)(a －2)＝0；但当(a －1)(a －2)＝0时，a ＝1或a ＝2，不一定有a ＝2.
∴“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的充分不必要条件，①正确．
②∵a >b ac 2>bc 2(c ＝0)，但ac 2>bc 2⇒a >b . ∴“a >b ”是“ac 2>bc 2”必要不充分条件，②错．
③中，ab ＝1且ac ＝3时，l 1与l 2重合，但l 1∥l 2⇒a 1＝1b
，即ab ＝1， ∴“ab ＝1”是“l 1∥l 2”的必要不充分条件，③正确．
④中，y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同零点⇔Δ＝m 2－4(m ＋3)＞0⇔m ＜－2或m ＞6. ∴是充要条件，④正确．
类型2 充分条件、必要条件、充要条件的应用
例2 解：(1)x 2－ax －2a 2＞0⇔(x －2a )(x ＋a )＞0，
解得x ＞－a 或x ＜2a .
故集合B ＝{x |x ＞－a 或x ＜2a }．
(2)法一 若¬p 是¬q 的必要不充分条件，
则¬q ⇒¬p ，
由此可得p ⇒q ，
则A ＝{x |x 2－x －6≥0}＝{x |(x －3)(x ＋2)≥0}＝{x |x ≥3或x ≤－2}
由p ⇒q ，
可得A ⊆B ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－a ＜3－2＜2a ，⇒a ＞－1. 法二 A ＝{x |x ≥3或x ≤－2}，∁U A ＝{x |－2＜x ＜3}，而∁U B ＝{x |2a ≤x ≤－a }，
由¬p 是¬q 的必要不充分条件，
可得¬q ⇒¬p ，
也即∁U B ⊆∁U A ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
2a ＞－2－a ＜3，⇒a ＞－1. 变式训练
解：法一 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，
由x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．
∴¬p ：A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}，
¬q ：B ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m }．
∵¬p 是¬q 的充分而不必要条件，∴A B .
∴⎩⎪⎨⎪⎧
m ＞0，1＋m ≤10，1－m ≥－2，
解得0＜m ≤3.
∴m 的取值范围是{m |0＜m ≤3}．
法二 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，
由x 2－2x ＋1－m 2≤0得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，
∴p ：A ＝{x |－2≤x ≤10}，
q ：B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．
∵¬p 是¬q 的充分不必要条件，
∴q 也是p 的充分不必要条件，∴B A .
∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1＋m ≤10，1－m ≥－2，
解得0＜m ≤3.
∴m 的取值范围是{m |0＜m ≤3}.
类型3 充要条件的证明
例3 证明：充分性(由条件推结论)：
∵0＜m ＜13
， ∴方程mx 2－2x ＋3＝0的判别式Δ＝4－12m ＞0，
∴方程有两个不等的实根．
设方程的两根为x 1、x 2，当0＜m ＜13时，x 1＋x 2＝2m ＞0且x 1x 2＝3m
＞0，故方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，即0＜m ＜13
⇒方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．
必要性(由结论推条件)：
若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，
则有⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝4－12m ＞0x 1x 2＞0， ∴0＜m ＜13，即方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根⇒0＜m ＜13
. 综上，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜13
. 变式训练
证明：假设p ：方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1，
q ：a ＋b ＋c ＝0.
(1)证明p ⇒q ，即证明必要性．
∵x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，
∴a ·12＋b ·1＋c ＝0，
即a ＋b ＋c ＝0.
(2)证明q ⇒p ，即证明充分性．
由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b .
∵ax2＋bx＋c＝0，
∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
∴x＝1是方程的一个根．
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
当堂检测
1．【答案】A
【解析】当x＝3时，x2＝9；
但x2＝9，有x＝±3.
∴“x＝3”是“x2＝9”的充分不必要条件．
2．【答案】B
【解析】当x2＋3x－4＞0时，不一定有x＝2；但当x＝2时，必有x2＋3x－4＞0，故p是q的必要不充分条件．
3．【答案】x2＋(y－2)2＝0x(y－2)＝0
4．解：因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1；x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，
所以p是q的充要条件.。