高考数学一轮总复习 114数学归纳法课后强化作业 新人

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 11-4数学归纳法课后强化

作业 新人教B 版

基础巩固强化

一、选择题

1．若f (n )＝1＋12＋13＋14＋…＋1

6n －1(n ∈N ＋)，则f (1)为( )

A ．1 B.15

C ．1＋12＋13＋14＋1

5

D ．非以上答案

[答案] C

[解析] 注意f (n )的项的构成规律，各项分子都是1，分母是从1到6n －1的自然数，故f (1)＝1＋12＋13＋14＋1

5

.

2．在用数学归纳法证明“2n >n 2对从n 0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n 0最小值为( )

A ．1

B ．3

C ．5

D ．7 [答案] C

[解析] n 的取值与2n ，n 2的取值如下表：

由于2n 2n >n 2.

3．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( )

A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立

B ．若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立

C ．若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )>k 2成立

D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立 [答案] D

[解析] 对于A ，f (3)≥9，加上题设可推出当k ≥3时，均有f (k )≥k 2成立，故A 错误． 对于B ，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B 错误． 对于C ，没有奠基部分，即没有f (8)≥82，故C 错误．

对于D ，f (4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D.

4．(2013·安徽黄山联考)已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1

n ＋1＝

2(1n ＋2＋1n ＋4

＋…＋1

2n )时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设

再证n ＝( )时等式成立．( )

A ．k ＋1

B ．k ＋2

C ．2k ＋2

D ．2(k ＋2)

[答案] B

[解析] ∵n ＝k 为偶数，∴下一个偶数应为n ＝k ＋2，故选B. 5．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1

n 2，则( )

A ．f (n )中共有n 项

B ．f (n )中共有n ＋1项

C ．f (n )中共有n 2－n 项

D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项 [答案] D

[解析] f (n )的分母从n 开始取自然数到n 2止，共有n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1项． 6．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图(1)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个挖去，得图(2)；如此继续下去……则第n 个图共挖去小正方形( )

A ．(8n －1)个

B ．(8n ＋1)个 C.1

7(8n －1)个 D.1

7

(8n ＋1)个 [答案] C

[解析] 第1个图挖去1个，第2个图挖去1＋8个，第3个图挖去1＋8＋82个……第n 个图挖去

1＋8＋82＋…＋8n －1＝

8n －1

7

个． 二、填空题

7．用数学归纳法证明命题“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，第二步假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真．

[答案] 2k ＋1

8．凸k 边形内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋________. [答案] π

[解析] 将k ＋1边形A 1A 2…A k A k ＋1的顶点A 1与A k 连接，则原k ＋1边形分为k 边形A 1A 2…A k 与三角形A 1A k A k ＋1，显见有f (k ＋1)＝f (k )＋π.

9．在数列{a n } 中，a 1＝1

3且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是

____________．

[答案] a n ＝1

(2n －1)(2n ＋1)

[解析] 由已知，a 1＝13＝11×3，a 1＋a 2＝2(2×2－1)a 2，解得a 2＝115＝13×5，同理a 3＝

1

35＝

15×7，a 4＝163＝17×9，故猜想a n ＝1

(2n －1)(2n ＋1).

三、解答题

10．设n ∈N *，n >1，求证：1＋

12＋13＋…＋1

n

>n . [证明] (1)当n ＝2时，不等式左边＝1＋

1

2

>2＝右边． (2)假设n ＝k (k >1，k ∈N *)时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1

k

>k ，那么当n ＝k ＋1时，有

1＋

12＋13＋…＋1

k

＋1

k ＋1

>k ＋

1k ＋1

＝

k (k ＋1)＋1

k ＋1

>k 2＋1k ＋1＝k ＋1k ＋1

＝

k ＋1.

所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 由(1)(2)可知对任何n ∈N *，n >1， 1＋

12＋13＋…＋1

n

>n 均成立.