概率统计练习题1
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21. 从装有 3 个白球，3 个黑球的甲箱中，随机地取出二个球，放入装有 4 个白球与 4 个黑 球的乙箱中，然后再从乙箱中取出一球，求此球为白球的概率。
22. 不同的两个小麦品种的种子混杂在一起，已知第一个品种的种子发芽率为 90%，第二 个品种的种子发芽率为 96%，并且已知第一个品种的种子比第二个品种的种子多一倍，求： （1）从中任取一粒种子，它能发芽的概率； （2）如果取到的一粒种子能发芽，那么它是第一个品种的概率是多少？
5. 盒中有 10 只外形相同的晶体管，其中有 4 只次品，6 只正品，现从中随机地抽取一只测 试，测试后不放回，直到找出 4 只次品为止，求最后一只次品晶体管在第 10 次测试时发现 的概率。
6. 盒中装有 10 只外形相同的晶体管，其中有 4 只次品，6 只正品，现从中随机地抽取一只 测试，测试后不放回，直到找出 4 只次品为止，求最后一只次品晶体管在第 5 次测试时发现 的概率。
概率统计练习题
第1章
1. 一口袋装有 10 只球，其中 6 只是红球，4 只是白球，今随机地从中同时取出 2 只球，试 求取到二只球颜色相同的概率。
2. 一口袋装有 10 只球，其中 6 只是红球，4 只是白球，今随机地从中同时取出 2 只球，试 求：（1）2 只都是红球的概率；（2）一只是红球一只是白球的概率。
7. 从 1，2，…，30 这 30 个数中随机地选取 10 个不同的数，求所取出的数都是偶数的概率。
8. 袋中装有 5 个白球，3 个黑球，4 个红球，从中一次取出三个球，问三个球是同色球的概 率。
9. 为了减少比赛次数，把 21 个球队分成三组(每组 7 个队)进行比赛，求其中最强的三个队 被分在不同组内的概率。
1
16. 设一个质点等可能地落在 xoy 平面上的三角形域 D 内 (其中 D 是 x=0，y=0，x+y=2 所
围成的)，设事件 A 为：质点落在直线 y=1 的下侧，求 P( A) 。
17. 设甲、乙两人相约在 8:009:00 之间到车站乘车，已知两人到达车站的时刻是独立的， 等可能的，并设该车站在 8:15，8:30，8:45 和 9:00 各有一班车开出，并且两人见车就乘无 须互相等待，记事件 A 为两人刚好乘上同一班车，求事件 A 的概率。
3. 在 8 件产品中有 5 件是一级品和 3 件是二级品，现从中任取 2 件，求取得的 2 件中只有 一件是一级品的概率. 如果：（1）2 件产品是无放回的逐次抽取；（2）2 件产品是有放回的 逐次抽取。
4. 将 15 名新生平均分配到三个班级中去，新生中有三名是优秀生，问每一个班级各分配到 一名优秀生的概率是多少？
（1）确定常数 A 和 B ；（2）计算 P(1 X 1) ；（3）求 X 的概率密度。
9.
设
f
(x)
x a
e
x2 2a
,
0,
x 0 ，其中 a 0 。（1）证明 f (x) 是某随机变量 X 的概率密度； x0
（2）求出 X 的分布函数；（3）计算 P(0 X 1) 。
24. 在 18 盒同类电子元件中有 5 盒是甲厂生产的，7 盒是乙厂生产的，4 盒是丙厂生产的， 其余是丁厂生产的，该四厂的产品合格品率依次为 0.8，0.7，0.6，0.5，现任意从某一盒中 任取一个元件，经测试发现是不合格品，试问该盒产品属于哪一个厂生产的可能性最大？
25. 无线电通讯中，由于随机干扰，当发出信号“”时，收到信号为“”."不清”和“” 的概率依次为 0.7，0.2 和 0.1，当发出信号“”时，收到信号为“”，“不清”，和“” 的概率为 0.9，0.1 和 0，如果整个发报过程中“”，“”出现的概率分别为 0.6，0.4，求收 到信号“不清”的概率？又当收到信号为“不清”时，原发信号是什么信号的可能性大？
18. 在线段 AD 上任取两点 B，C，将 AD 分为 AB，BC，CD，记事件 E 为：“这三个线段 能构成三角形。”求事件 E 的概率。
19. 任意取两个不超过 2 的正数，记事件 A 为：两正数的乘积介于 1 与 2 之间，求事件 A 的概率。
20. 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是 等可能的，如果甲船的停泊时间是一小时，乙船是二小时，求它们中的任何一艘都不需要等 待码头空出的概率。
x0 ，试确定常数 A ，并计算
x0
0
x a
2.
设连续型随机变量 X
的
分
布
函
数
是
F
(x)
A
B
arcsin
x a
a x a (其中
1
xa
a 0 )。
（1）求系数
A，B
的值；（2）计算 P
a 2
X
a 2
。
3. 设随机变量 X 的分布函数为
10. 设随机变量 X 的概率密度 f (x) Ae x , ( x ) 。（1）确定常数 A ；（2）计 算 X 落在区间（0, 1）内的概率；（3）求出 X 的分布函数。
34. 盒中有 12 个乒乓球，其中 9 个是新的，第一次比赛从中任取 3 个，赛后仍放回盒中， 第二次比赛时再从中任取 3 个，求第二次比赛时取出的球都是新球的概率。
35. 有 a，b，c 三个盒子，a 盒中有一个白球和两个黑球，b 盒中有一个黑球和两个白球，c 盒中有三个白球和三个黑球，扔一骰子以决定选盒，若出现点数为 1，2，3，选 a 盒，若出 现点数为 4，选 b 盒，若出现点数为 5，6，则选 c 盒，再从选中的盒中任取一球，试求： （1）取出的球为白球的概率；（2）当取出的球为白球时，问此球分别来自 a，b，c 盒的概 率。
的分布函数为 F (x)
Ax
2
1
x0 0x 2。 x 2
（1）确定常数 A ；（2）计算 P(0.2 X 2.5) ；（3）求 X 的概率密度。
6.
设随机变量 X
的概率密度为
f (x)
A, 1 x2
0 ,
x 1
。
x 1
（1）确定系数 A ；（2）计算 P{0.5 X 0.5} ；（3）求 X 的分布函数。
0 x 0
F ( x)
x 4
0 x4，
1 x 4
求方程 4 y 2 4 yX X 2 0 无实根的概率。
பைடு நூலகம்
4. 5 个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回，直到查到次品时为止。
用 X 表示检查次数，求 X 的分布函数。
0
5.
已知连续型随机变量 X
4
7.
设随机变量 X
的概率密度为
f (x)
Asin x,
0,
0 x 。
其他
（1）确定常数 A ；（2）求出 X
的分布函数 F (x) ；（3）计算 P2
X
3 4
。
8. 设随机变量 X 的分布函数为 F (x) A B arctan x, x 。
23. 某保险公司把被保险人分成三类：“好的”，“一般的”与“差的”，统计资料表明，对于 上述三种人而言，在一年内出问题的概率依次为 0.05，0.15，和 0.30，如果“好的”被保险 人占总的保险人数的 20%，“一般的”占 50%，“差的”占 30%，试问在固定的一年中出问 题的人在总保险人数中占多大的比例？如某人在这一年内未出问题，他是属于“好的”的概 率为多少？
26. 某校射击队共有 20 名射手，其中一级射手 4 人，二级射手 8 人，三级射手 7 人，四级 射手 1 人，一，二，三，四级射手能通过预选赛进入正式比赛的概率分别为 0.9，0.7，0.5， 0 .2，求任选一名射手能进入正式比赛的概率。
27. 两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为 0.05，第二台出现废品的概率为 0.02，加工的零件混放在一起，若第一台车床与第二台车床加工的零件数为 54，求： （1）任意地从这些零件中取出一个为合格品的概率； （2）若已知取出的一个零件为合格品，那末，它是由哪台机床生产的可能性较大？
3
39. 甲，乙两个盒子里各装有 10 只螺钉，每个盒子的螺钉中各有一只是次品，其余均为正 品，现从甲盒中任取二只螺钉放入乙盒中，再从乙盒中取出两只，问从乙盒中取出的恰好是 一只正品，一只次品的概率是多少？
第2章
0 ,
1.
设随机变量 X
的分布函数为
F
(
x)
A
(1
x)e x
,
P(| X | 1) 。
32. 设某地区成年居民中肥胖者占 10%，不胖不瘦者占 82%，瘦者占 8%，又知肥胖者患高 血压的概率为 20%，不胖不瘦者患高血压病的概率为 10%，瘦者患高血压病的概率为 5%， 试求：（1）该地区居民患高血压病的概率；（2）若知某人患高血压，可否断定他属于肥胖者？
33. 将二信息分别编码为 A 和 B 传送出去，接收站接收时，A 被误收作 B 的概率为 0.02， 而 B 被误收作 A 的概率为 0.01，信息 A 与信息 B 传送的频率程度为 21，若接收站收到的 信息是 A，问原发信息是 A 的概率是多少？
36. 设有 A1,A2,A3,A4,A5 五个相同的元件如图所示的系统，设每一元件能正常工作的概率 为 p，且各元件损坏与否是相互独立的，问此系统能正常工作的概率是多少？
A1
A2
A3
A4
A5
37. 炮战中，在距目标 250 米，200 米，150 米处射击的概率分别为 0.1，0.7，0.2，而在各 距离处射击的命中率依次为 0.05，0.1，0.2，现已知目标被击中，求击中目标的炮弹是在 200 米处射击的概率。
28. 已知产品中 96%为合格品，现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格 品的概率为 0.98，而误认废品为合格品的概率为 0.05，求在简化法检查下被认为是合格品的 一个产品确实是合格品的概率。
2
29. 一项血液化验有 95%的把握将患有某种疾病的人鉴别出来(是阳性)，但是这项化验用于 健康人也会有 2%的呈阳性，如果这种疾病的患者仅占人口的 0.5%，若某人化验的结果呈阳 性，问此人确实患有这种疾病的概率是多少？
P( AC) 1 ，求 A，B，C 至少有一个发生的概率。 7
13. 证明： P( AB AB) P( A) P(B) 2P( AB)
14. 已知 P( A) a ， P(B) b ， P( A B) c ，求 P( A B ) 及 P( A B ) 。 15. 已知 P( A) 0.1， P(B) 0.3， P( A | B) 0.2 。求：（1） P( AB) ；（2） P( A B) ； （3） P(B | A) ；（4） P( AB) ；（5） P( A | B ) 。
30. 共有 18 名射手，其中 5 名命中靶的概率为 0.8，7 名命中靶的概率为 0.7，4 名命中靶的 概率为 0.6，2 名命中靶的概率为 0.5。任意选一名射手进行一次射击，结果未能中靶，试问 该射手属于哪一组最为可能。
31. 有 5 只袋子，各袋装球情况如下：(1)2 只袋子装有 3 个白球，2 个黑球；(2)2 只袋子中 装有 4 个白球，1 个黑球；(3)1 只袋子中装有 5 个白球，任意选一个袋子，并从中任取二个 球。（1）求取出的球都是白球的概率；（2）如果取出的球都是白球，求这二个球是从第(3) 种袋中取出的概率。
38. 假定用血清甲胎蛋白法诊断肝癌，P( A | C) 0.95, P( A | C ) 0.1，这里 C 表示被检
验者确实患有肝癌这一事件，A 表示判断被检验者患有肝癌这一事件，又设在人群中 P(C)=0.0004 ， 现 在 若 有 一 人 被 此 检 验 法 判 断 为 患 有 肝 癌 ， 求 此 人 确 实 患 有 肝 癌 的 概 率 P(CA)，并就此计算结果发表评论。
10. 从一付扑克的 13 张黑桃中，一张接一张地有放回地抽取 3 次，求抽到有同号的概率。
11. 已知 P(B) b, P( A B) c ， 0 b c ，求 P( AB )
12. 设 A，B，C 是三个事件，且 P( A) P(B) P(C) 1 ， P( AB) P(BC) 0 ， 5
22. 不同的两个小麦品种的种子混杂在一起，已知第一个品种的种子发芽率为 90%，第二 个品种的种子发芽率为 96%，并且已知第一个品种的种子比第二个品种的种子多一倍，求： （1）从中任取一粒种子，它能发芽的概率； （2）如果取到的一粒种子能发芽，那么它是第一个品种的概率是多少？
5. 盒中有 10 只外形相同的晶体管，其中有 4 只次品，6 只正品，现从中随机地抽取一只测 试，测试后不放回，直到找出 4 只次品为止，求最后一只次品晶体管在第 10 次测试时发现 的概率。
6. 盒中装有 10 只外形相同的晶体管，其中有 4 只次品，6 只正品，现从中随机地抽取一只 测试，测试后不放回，直到找出 4 只次品为止，求最后一只次品晶体管在第 5 次测试时发现 的概率。
概率统计练习题
第1章
1. 一口袋装有 10 只球，其中 6 只是红球，4 只是白球，今随机地从中同时取出 2 只球，试 求取到二只球颜色相同的概率。
2. 一口袋装有 10 只球，其中 6 只是红球，4 只是白球，今随机地从中同时取出 2 只球，试 求：（1）2 只都是红球的概率；（2）一只是红球一只是白球的概率。
7. 从 1，2，…，30 这 30 个数中随机地选取 10 个不同的数，求所取出的数都是偶数的概率。
8. 袋中装有 5 个白球，3 个黑球，4 个红球，从中一次取出三个球，问三个球是同色球的概 率。
9. 为了减少比赛次数，把 21 个球队分成三组(每组 7 个队)进行比赛，求其中最强的三个队 被分在不同组内的概率。
1
16. 设一个质点等可能地落在 xoy 平面上的三角形域 D 内 (其中 D 是 x=0，y=0，x+y=2 所
围成的)，设事件 A 为：质点落在直线 y=1 的下侧，求 P( A) 。
17. 设甲、乙两人相约在 8:009:00 之间到车站乘车，已知两人到达车站的时刻是独立的， 等可能的，并设该车站在 8:15，8:30，8:45 和 9:00 各有一班车开出，并且两人见车就乘无 须互相等待，记事件 A 为两人刚好乘上同一班车，求事件 A 的概率。
3. 在 8 件产品中有 5 件是一级品和 3 件是二级品，现从中任取 2 件，求取得的 2 件中只有 一件是一级品的概率. 如果：（1）2 件产品是无放回的逐次抽取；（2）2 件产品是有放回的 逐次抽取。
4. 将 15 名新生平均分配到三个班级中去，新生中有三名是优秀生，问每一个班级各分配到 一名优秀生的概率是多少？
（1）确定常数 A 和 B ；（2）计算 P(1 X 1) ；（3）求 X 的概率密度。
9.
设
f
(x)
x a
e
x2 2a
,
0,
x 0 ，其中 a 0 。（1）证明 f (x) 是某随机变量 X 的概率密度； x0
（2）求出 X 的分布函数；（3）计算 P(0 X 1) 。
24. 在 18 盒同类电子元件中有 5 盒是甲厂生产的，7 盒是乙厂生产的，4 盒是丙厂生产的， 其余是丁厂生产的，该四厂的产品合格品率依次为 0.8，0.7，0.6，0.5，现任意从某一盒中 任取一个元件，经测试发现是不合格品，试问该盒产品属于哪一个厂生产的可能性最大？
25. 无线电通讯中，由于随机干扰，当发出信号“”时，收到信号为“”."不清”和“” 的概率依次为 0.7，0.2 和 0.1，当发出信号“”时，收到信号为“”，“不清”，和“” 的概率为 0.9，0.1 和 0，如果整个发报过程中“”，“”出现的概率分别为 0.6，0.4，求收 到信号“不清”的概率？又当收到信号为“不清”时，原发信号是什么信号的可能性大？
18. 在线段 AD 上任取两点 B，C，将 AD 分为 AB，BC，CD，记事件 E 为：“这三个线段 能构成三角形。”求事件 E 的概率。
19. 任意取两个不超过 2 的正数，记事件 A 为：两正数的乘积介于 1 与 2 之间，求事件 A 的概率。
20. 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是 等可能的，如果甲船的停泊时间是一小时，乙船是二小时，求它们中的任何一艘都不需要等 待码头空出的概率。
x0 ，试确定常数 A ，并计算
x0
0
x a
2.
设连续型随机变量 X
的
分
布
函
数
是
F
(x)
A
B
arcsin
x a
a x a (其中
1
xa
a 0 )。
（1）求系数
A，B
的值；（2）计算 P
a 2
X
a 2
。
3. 设随机变量 X 的分布函数为
10. 设随机变量 X 的概率密度 f (x) Ae x , ( x ) 。（1）确定常数 A ；（2）计 算 X 落在区间（0, 1）内的概率；（3）求出 X 的分布函数。
34. 盒中有 12 个乒乓球，其中 9 个是新的，第一次比赛从中任取 3 个，赛后仍放回盒中， 第二次比赛时再从中任取 3 个，求第二次比赛时取出的球都是新球的概率。
35. 有 a，b，c 三个盒子，a 盒中有一个白球和两个黑球，b 盒中有一个黑球和两个白球，c 盒中有三个白球和三个黑球，扔一骰子以决定选盒，若出现点数为 1，2，3，选 a 盒，若出 现点数为 4，选 b 盒，若出现点数为 5，6，则选 c 盒，再从选中的盒中任取一球，试求： （1）取出的球为白球的概率；（2）当取出的球为白球时，问此球分别来自 a，b，c 盒的概 率。
的分布函数为 F (x)
Ax
2
1
x0 0x 2。 x 2
（1）确定常数 A ；（2）计算 P(0.2 X 2.5) ；（3）求 X 的概率密度。
6.
设随机变量 X
的概率密度为
f (x)
A, 1 x2
0 ,
x 1
。
x 1
（1）确定系数 A ；（2）计算 P{0.5 X 0.5} ；（3）求 X 的分布函数。
0 x 0
F ( x)
x 4
0 x4，
1 x 4
求方程 4 y 2 4 yX X 2 0 无实根的概率。
பைடு நூலகம்
4. 5 个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回，直到查到次品时为止。
用 X 表示检查次数，求 X 的分布函数。
0
5.
已知连续型随机变量 X
4
7.
设随机变量 X
的概率密度为
f (x)
Asin x,
0,
0 x 。
其他
（1）确定常数 A ；（2）求出 X
的分布函数 F (x) ；（3）计算 P2
X
3 4
。
8. 设随机变量 X 的分布函数为 F (x) A B arctan x, x 。
23. 某保险公司把被保险人分成三类：“好的”，“一般的”与“差的”，统计资料表明，对于 上述三种人而言，在一年内出问题的概率依次为 0.05，0.15，和 0.30，如果“好的”被保险 人占总的保险人数的 20%，“一般的”占 50%，“差的”占 30%，试问在固定的一年中出问 题的人在总保险人数中占多大的比例？如某人在这一年内未出问题，他是属于“好的”的概 率为多少？
26. 某校射击队共有 20 名射手，其中一级射手 4 人，二级射手 8 人，三级射手 7 人，四级 射手 1 人，一，二，三，四级射手能通过预选赛进入正式比赛的概率分别为 0.9，0.7，0.5， 0 .2，求任选一名射手能进入正式比赛的概率。
27. 两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为 0.05，第二台出现废品的概率为 0.02，加工的零件混放在一起，若第一台车床与第二台车床加工的零件数为 54，求： （1）任意地从这些零件中取出一个为合格品的概率； （2）若已知取出的一个零件为合格品，那末，它是由哪台机床生产的可能性较大？
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39. 甲，乙两个盒子里各装有 10 只螺钉，每个盒子的螺钉中各有一只是次品，其余均为正 品，现从甲盒中任取二只螺钉放入乙盒中，再从乙盒中取出两只，问从乙盒中取出的恰好是 一只正品，一只次品的概率是多少？
第2章
0 ,
1.
设随机变量 X
的分布函数为
F
(
x)
A
(1
x)e x
,
P(| X | 1) 。
32. 设某地区成年居民中肥胖者占 10%，不胖不瘦者占 82%，瘦者占 8%，又知肥胖者患高 血压的概率为 20%，不胖不瘦者患高血压病的概率为 10%，瘦者患高血压病的概率为 5%， 试求：（1）该地区居民患高血压病的概率；（2）若知某人患高血压，可否断定他属于肥胖者？
33. 将二信息分别编码为 A 和 B 传送出去，接收站接收时，A 被误收作 B 的概率为 0.02， 而 B 被误收作 A 的概率为 0.01，信息 A 与信息 B 传送的频率程度为 21，若接收站收到的 信息是 A，问原发信息是 A 的概率是多少？
36. 设有 A1,A2,A3,A4,A5 五个相同的元件如图所示的系统，设每一元件能正常工作的概率 为 p，且各元件损坏与否是相互独立的，问此系统能正常工作的概率是多少？
A1
A2
A3
A4
A5
37. 炮战中，在距目标 250 米，200 米，150 米处射击的概率分别为 0.1，0.7，0.2，而在各 距离处射击的命中率依次为 0.05，0.1，0.2，现已知目标被击中，求击中目标的炮弹是在 200 米处射击的概率。
28. 已知产品中 96%为合格品，现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格 品的概率为 0.98，而误认废品为合格品的概率为 0.05，求在简化法检查下被认为是合格品的 一个产品确实是合格品的概率。
2
29. 一项血液化验有 95%的把握将患有某种疾病的人鉴别出来(是阳性)，但是这项化验用于 健康人也会有 2%的呈阳性，如果这种疾病的患者仅占人口的 0.5%，若某人化验的结果呈阳 性，问此人确实患有这种疾病的概率是多少？
P( AC) 1 ，求 A，B，C 至少有一个发生的概率。 7
13. 证明： P( AB AB) P( A) P(B) 2P( AB)
14. 已知 P( A) a ， P(B) b ， P( A B) c ，求 P( A B ) 及 P( A B ) 。 15. 已知 P( A) 0.1， P(B) 0.3， P( A | B) 0.2 。求：（1） P( AB) ；（2） P( A B) ； （3） P(B | A) ；（4） P( AB) ；（5） P( A | B ) 。
30. 共有 18 名射手，其中 5 名命中靶的概率为 0.8，7 名命中靶的概率为 0.7，4 名命中靶的 概率为 0.6，2 名命中靶的概率为 0.5。任意选一名射手进行一次射击，结果未能中靶，试问 该射手属于哪一组最为可能。
31. 有 5 只袋子，各袋装球情况如下：(1)2 只袋子装有 3 个白球，2 个黑球；(2)2 只袋子中 装有 4 个白球，1 个黑球；(3)1 只袋子中装有 5 个白球，任意选一个袋子，并从中任取二个 球。（1）求取出的球都是白球的概率；（2）如果取出的球都是白球，求这二个球是从第(3) 种袋中取出的概率。
38. 假定用血清甲胎蛋白法诊断肝癌，P( A | C) 0.95, P( A | C ) 0.1，这里 C 表示被检
验者确实患有肝癌这一事件，A 表示判断被检验者患有肝癌这一事件，又设在人群中 P(C)=0.0004 ， 现 在 若 有 一 人 被 此 检 验 法 判 断 为 患 有 肝 癌 ， 求 此 人 确 实 患 有 肝 癌 的 概 率 P(CA)，并就此计算结果发表评论。
10. 从一付扑克的 13 张黑桃中，一张接一张地有放回地抽取 3 次，求抽到有同号的概率。
11. 已知 P(B) b, P( A B) c ， 0 b c ，求 P( AB )
12. 设 A，B，C 是三个事件，且 P( A) P(B) P(C) 1 ， P( AB) P(BC) 0 ， 5