2016届高考数学一轮复习 题组层级快练3(含解析)

题组层级快练(三)
1．(2015·衡水调研)下列命题中正确的是( )
A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
B．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分不必要条件
C．命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否定为：“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”
D．已知命题p：∃x∈R，x2＋x－1<0，则綈p：∃x∈R，x2＋x－1≥0
答案 B
解析若p∨q为真命题，则p，q有可能一真一假，此时p∧q为假命题，故A错；易知由“x＝5”可以得到“x2－4x－5＝0”，但反之不成立，故B正确；选项C错在把命题的否定写成了否命题；特称命题的否定是全称命题，故D错．
2．若命题p：x∈A∩B，则綈p：( )
A．x∈A且x∉B B．x∉A或x∉B
C．x∉A且x∉B D．x∈A∪B
答案 B
3．(2015·郑州二模)已知命题p：∀x>2，x3－8>0，那么綈p是( )
A．∀x≤2，x3－8≤0 B．∃x>2，x3－8≤0
C．∀x>2，x3－8≤0 D．∃x≤2，x3－8≤0
答案 B
解析由“∀→∃，>→≤”，可知綈p是：∃x>2，x3－8≤0，选B.
4．命题p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≤1，则( )
A．p是假命题，綈p：∃x0∈[0，＋∞)，(log32)x0>1
B．p是假命题，綈p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≥1
C．p是真命题，綈p：∃x0∈[0，＋∞)，(log32)x0>1
D．p是真命题，綈p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≥1
答案 C
解析因为0<log32<1，所以∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≤1.p是真命题，綈p：∃x0∈[0，＋∞)，(log32)x0>1.
5．(2014·重庆理)已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．綈p∧綈q
C．綈p∧q D．p∧綈q
答案 D
解析依题意，命题p是真命题．由x＞2⇒x＞1，而x＞1 x＞2，因此“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故命题q是假命题，则綈q是真命题，p∧綈q是真命题，选D.
6．(2015·潍坊一模)已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析因为綈p为真，所以p为假，那么p∧q为假，所以“綈p为真”是“p∧q为假”的充分条件；反过来，若“p∧q为假”，则“p真q假”或“p假q真”或“p假q假”，所以由“p∧q为假”不能推出綈p为真．综上可知，“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．
7．若“綈(p∨q)”为假命题，则( )
A．p，q均为真命题
B．p，q均为假命题
C．p，q中至少有一个为真命题
D．p，q中至多有一个为真命题
答案 C
解析綈(p∨q)为假命题，则p∨q为真命题，所以，根据真值表，故选C.
8．已知命题p：∃x∈R，mx2＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．[－2,0)
C．(－2,0) D．(0,2)
答案 C
解析由题可知若p∧q为真命题，则命题p和命题q均为真命题，对于命题p为真，则m<0，对于命题q为真，则m2－4<0，即－2<m<2，所以命题p和命题q均为真命题时，实数m的取值范围是(－2,0)．故选C.
9．已知命题p：|x－1|≥2，命题q：x∈Z，若“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x 为( )
A．{x|x≥3或x≤－1，x∈Z}
B．{x|－1≤x≤3，x∈Z}
C．{0,1,2}
D．{－1,0,1,2,3}
答案 C
解析由题意知q真，p假，∴|x－1|<2.
∴－1<x<3且x∈Z.∴x＝0,1,2.
10．已知p：1
x2－x－2
>0，则綈p对应的x的集合为________．答案{x|－1≤x≤2}
解析p：1
x2－x－2
>0⇔x>2或x<－1，∴綈p：－1≤x≤2.
11．已知命题p ，若ab ＝0，则a ＝0，则綈p 为________；命题p 的否命题为________． 答案 若ab ＝0，则a ≠0；若ab ≠0，则a ≠0.
12．命题“存在实数x 0，y 0，使得x 0＋y 0>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________(填“真”或“假”)命题．
答案 ∃x 0，y 0∈R ，x 0＋y 0>1；∀x ，y ∈R ，x ＋y ≤1；假
13．若命题“存在实数x ，使x 2
＋ax ＋1<0”的否定是假命题，则实数a 的取值范围为________． 答案 a <－2或a >2
解析 因为命题“存在实数x ，使x 2
＋ax ＋1<0”的否定是假命题，所以命题“存在实数x ，使x 2
＋ax ＋1<0”是真命题，所以a 2
－4>0，解得a <－2或a >2.
14．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x
在R 上为减函数． 则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是________． 答案 q 1，q 4
解析 p 1是真命题，则綈p 1为假命题；p 2是假命题，则綈p 2为真命题． ∴q 1：p 1∨p 2是真命题，q 2：p 1∧p 2是假命题．
∴q 3：(綈p 1)∨p 2为假命题，q 4：p 1∧(綈p 2)为真命题． ∴真命题是q 1，q 4.
15．若f (x )＝x 2
－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1,2]，∃x 0∈[－1,2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则实数
a 的取值范围是________．
答案 (0，1
2
]
解析 由于函数g (x )在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，因此问题等价于函数g (x )的值域是函数f (x )值域的子集．函数f (x )的值域是[－1,3]，函数g (x )的值域是[2－a,2＋2a ]，则有2－a ≥－1且2＋2a ≤3，即a ≤12.又a >0，故a 的取值范围是(0，1
2
]．
16．已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2
－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立．若p 且q 为假，p 或q 为真，求实数a 的取值范围．
答案 (0,1]∪[4，＋∞)
解析 ∵y ＝a x
在R 上单调递增，∴p ：a >1. 又不等式ax 2
－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立， ∴Δ<0，即a 2－4a <0，∴0<a <4. ∴q ：0<a <4.
而命题p 且q 为假，p 或q 为真，那么p ，q 中有且只有一个为真，一个为假． (1)若p 真，q 假，则a ≥4； (2)若p 假，q 真，则0<a ≤1.
所以a 的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．
17．(2015·吉林大学附中一模)设a 为实常数，y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝
9x ＋a 2
x
＋7.若“∃x ∈[0，＋∞)，f (x )<a ＋1”是假命题，求实数a 的取值范围．
答案 a ≤－8
7
解析 y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，故可求解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
9x ＋a 2
x
－7，x >0，
0，x ＝0，
9x ＋a 2
x ＋7，x <0.
又“∃x ≥0，f (x )<a ＋1”是假命题，则∀x ≥0，f (x )≥a ＋1是真命题，①当x ＝0时，0≥a ＋1，解
得a ≤－1；②当x >0时，9x ＋a 2x －7≥a ＋1，结合基本不等式有6|a |－7≥a ＋1，得a ≥85或a ≤－8
7
，①②
取交集得a 的取值范围是a ≤－8
7
.
1．设命题p ：∀x ∈R ，x 2
＋1>0，则綈p 为( ) A ．∃x 0∈R ，x 2
0＋1>0 B ．∃x 0∈R ，x 2
0＋1≤0 C ．∃x 0∈R ，x 20＋1<0 D ．∀x ∈R ，x 2
＋1≤0
答案 B
解析 由已知，该命题是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，则綈p ：∃x 0∈R ，x 2
0＋1≤0.故选B.
2．命题“∃x 0∈∁R Q ，x 3
0∈Q ”的否定是( ) A ．∃x 0∉∁R Q ，x 3
0∈Q B ．∃x 0∈∁R Q ，x 3
0∈Q C ．∀x ∉∁R Q ，x 3∈Q D ．∀x ∈∁R Q ，x 3
∉Q
答案 D
解析 该特称命题的否定为“∀x ∈∁R Q ，x 3
∉Q ”．
3．若∀a ∈(0，＋∞)，∃θ∈R ，使a sin θ≥a 成立，则cos(θ－π
6)的值为________．
答案 12
解析 因为∀a ∈(0，＋∞)，∃θ∈R ，使a sin θ≥a 成立，所以sin θ≥1.又sin θ∈[－1,1]，所以sin θ＝1，故θ＝π2＋2k π(k ∈Z )．所以cos(θ－π6)＝cos[(π2＋2k π)－π6]＝cos(π3＋2k π)＝cos
π
3＝1
2
. 4．对于中国足球队参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：甲：中国非第一名，也非第二名；乙：中国非第一名，而是第三名；丙：中国非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．
答案 一
解析 由上可知：甲、乙、丙均为“p 且q ”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知是丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．
5．设命题p ：若a >b ，则1a <1b ；命题q ：1
ab
<0⇔ab <0.给出下面四个复合命题：①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈
p )∧(綈q )；④(綈p )∨(綈q )．其中真命题的个数有________个．
答案 2
解析 p 假，q 真，故①④真．。