2022-2023学年浙江七年级数学上学期同步精讲精练专题2

专题2.8 巧用运算规律简化有理数计算的七种方法【七大题型】
【浙教版】
【题型1 归类法】 ................................................................................................................................................. 14 【题型2 凑整法】 ................................................................................................................................................. 15 【题型3 逆向法】 ................................................................................................................................................. 17 【题型4 拆项法】 ................................................................................................................................................. 18 【题型5 组合法】 ................................................................................................................................................. 20 【题型6 裂项相消法】 .. (21)
【题型7 倒数求值法】 24
【知识点1 归类法】
结合、同分母与同分母结合等. 【题型1 归类法】
【例1】（2022春•普陀区校级期中）计算：8+（﹣11
4）﹣5﹣（−3
4）． 【分析】根据加法交换律、加法结合律，求出算式的值即可． 【解答】解：8+（﹣11
4）﹣5﹣（−3
4） ＝（8﹣5）+[（﹣11
4）﹣（−3
4）] ＝3+（−1
2） ＝21
2．
【变式1-1】（2022春•徐汇区校级期中）计算：−22
3+2
1112
+614
−31
3
．
【分析】利用有理数的加减混合运算，进行计算即可． 【解答】解：原式=(−22
3−31
3)+211
12+61
4 =−6+61
4+211
12=1
4+211
12=31
6．
【变式1-2】（2022秋•青浦区期中）计算：21
9+0.3−12
9+7
10．
【分析】运用加法交换律和结合律计算． 【解答】解：原式＝21
9
+
310
−129
+
7
10
＝（21
9−12
9）+（3
10+710） =8
9+1
＝18
9．
【变式1-3】（2022秋•和平区校级月考）计算： （1）−(−37
12
)+(−11
4
)+(−27
12
)+(+1.25)−41
8
；
（2）﹣556+(−923)+1734+(−31
2)．
【分析】（1）根据有理数加减混合运算和加法结合律计算即可； （2）根据有理数加减混合运算和加法结合律计算即可． 【解答】解：（1）−(−37
12)+(−11
4)+(−27
12)+(+1.25)−41
8 ＝37
12−11
4−27
12+11
4−41
8
＝（37
12−27
12）+（﹣11
4+11
4）﹣41
8 ＝1﹣418
=−25
8；
（2）﹣55
6+(−92
3)+173
4+(−31
2) ＝（﹣55
6−92
3）+（173
4−31
2） ＝﹣151
2+1414 ＝﹣114．
【例2】（2022秋•普陀区期末）计算：3.43﹣22
5+6.57﹣53
5．
【分析】先运用加法的交换结合律进行简便计算，再进行最后的减法运算．
【解答】解：3.43﹣225
+6.57﹣53
5
＝（3.43+6.57）﹣（225+53
5） ＝10﹣8 ＝2．
【变式2-1】（2022秋•济南期末）计算：（﹣3.2）+12.5+（﹣16.8）﹣（﹣2.5）． 【分析】根据有理数加减法放入法则进行计算即可． 【解答】解：原式＝（﹣3.2）+12.5+（﹣16.8）+2.5 ＝[（﹣3.2）+（﹣16.8）]+（12.5+2.5） ＝﹣20+15 ＝﹣5．
【变式2-2】（2022秋•上蔡县月考）计算： （1）22
5
+21
7
+（﹣51
7
）﹣（﹣53
5
）．
（2）3.75+（﹣5.18）﹣（﹣2.25）+5.18．
【分析】（1）先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可； （2）先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可． 【解答】解：（1）22
5
+21
7
+（﹣51
7
）﹣（﹣53
5
）
＝225+217−517+53
5 ＝（22
5
+53
5
）+（21
7
−51
7
）
＝8﹣3 ＝5；
（2）3.75+（﹣5.18）﹣（﹣2.25）+5.18
＝3.75﹣5.18+2.25+5.18＝（3.75+2.25）+（5.18﹣5.18） ＝6．
【变式2-3】（2022秋•石景山区校级期中）计算：（﹣12.7）﹣（﹣52
5）﹣87.3+33
5． 【分析】根据有理数的加减法法则进行计算即可得出结果． 【解答】解：(−12.7)−(−52
5)−87.3+33
5
=−12.7+52
5−87.3+33
5
＝（﹣12.7﹣87.3）+（52
5
+33
5
）
＝﹣100+9
＝﹣91．
【题型3 逆向法】
【例3】（2022秋•红谷滩区校级期中）用简便方法计算
−2
9×(−92)+(−2
9
)×343
5
+2
9
×233
5
．
【分析】先根据同号得正异号得负进行符号运算，然后逆运用乘法分配律，提取2
9
，并利用加法结合律计算，最后进行有理数的乘法运算即可得解．
【解答】解：−2
9×（﹣92）+（−2
9
）×343
5
+2
9
×233
5
，
=2
9×92−2
9
×343
5
+2
9
×233
5
，
=2
9×（92﹣343
5
+233
5
），
=2
9
×（92﹣11），
=2
9
×81，
＝18．
【变式3-1】（2022秋•兰山区月考）25×3
4−25×1
2
+25×（−1
4
）
【分析】逆运用乘法分配律进行计算即可得解．【解答】解：25×3
4−25×1
2
+25×（−1
4
）
＝25×（3
4−1
2
−1
4
）
＝25×0
＝0．
【变式3-2】（2022秋•红谷滩区校级期中）用简便方法计算：
（1）（﹣9）×318
29−（﹣8）×（﹣318
29
）﹣（﹣16）×318
29
；
（2）9971
72
×（﹣36）．
【分析】（1）原式逆用乘法分配律计算即可得到结果； （2）原式变形后，利用乘法分配律计算即可得到结果． 【解答】解：（1）原式＝318
29×（﹣9﹣8+16） ＝31
829
×（﹣1）
＝﹣318
29；
（2）原式＝（100−1
72）×（﹣36） ＝100×（﹣36）−172×（﹣36）
＝﹣3600+1
2
＝﹣35991
2
．
【变式3-3】（2022秋•红谷滩区校级期中）简便计算 （﹣48）×0.125+48×
118
+(−48)×5
4
【分析】利用乘法的分配律先提取48，再进行计算即可得出答案； 【解答】解：（﹣48）×0.125+48×118
+(−48)×5
4
＝48×（−1
8+
118
−
108
）
＝0.
【题型4 拆项法】
【例4】（2022秋•安陆市期中）阅读下面的计算过程，体会“拆项法” 计算：﹣55
6+(−92
3)+173
4+(−31
2)．
解：原式=[(−5)+(−9)+17+(−3)]+[(−5
6)+(−2
3)+3
4+(−1
2)]=0+(−11
4)=(−11
4) 启发应用
用上面的方法完成下列计算：(−33
10)+(−11
2)+23
5−(21
2)
【分析】将原式利用“拆项法”得出原式＝（﹣3﹣1+2﹣2）+（−310
−12
+35
−1
2
），再根据有理数的加
减运算法则计算可得．
【解答】解：原式＝（﹣3﹣1+2﹣2）+（−3
10−1
2+3
5−1
2） ＝﹣4+（−7
10）
＝﹣47
10．
【变式4-1】（2022秋•铁西区期末）计算：1.5﹣（﹣41
4
）+3.75﹣（+81
2
）．
【分析】根据有理数的加减运算法则即可求出答案． 【解答】解：原式＝1+1
2+4+1
4+3+3
4−8−1
2 ＝﹣7+8 ＝1．
【变式4-2】（2022秋•浦东新区期中）计算：51
3−21
6+1
4．
【分析】可按法则从左往右算求出结果；亦可把带分数写成整数与分数和的形式，再利用加法的交换律和结合律，把整数与分数分别相加． 【解答】解：原式＝5+1
3
−2−1
6
+1
4
（5﹣2）+（13
−16
+1
4
）
＝3+（412−212+312）＝3+5
12 ＝35
12．
【变式4-3】（2022秋•凉山州期末）：(−20212
7)+(−20224
7)+4044+(−1
7)． 【分析】写成几个整数的和以及几个分数的和即可．
【解答】解：原式＝[（﹣2021）+（−2
7
）]+[（﹣2022）+（−4
7
）]+4044+（−1
7
）
＝（﹣2021﹣2022+4044）+（−27
−47
−1
7
）
＝1+（﹣1） ＝0．
找出规律，重新组合，然后通过约分或抵消简化题目. 【题型5 组合法】
【例5】（2022秋•南开区期中）计算：﹣1+2﹣3+4﹣5+6+…﹣97+98﹣99＝ ﹣50 ． 【分析】根据结合律，可得答案．
【解答】解：原式＝[（﹣1+2）+（﹣3+4）+（﹣5+6）+…（﹣97+98）]﹣99
=1+1+1+⋯+1︷
49
−99 ＝49﹣99 ＝﹣50， 故答案为：﹣50．
【变式5-1】（2022秋•襄汾县期中）计算：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+……+2013+2014﹣2015﹣2016
【分析】根据每四项运算结果可知，每四项结果为﹣4，2016÷4＝504，正好为4的倍数，从而得出结论． 【解答】解：∵1+2﹣3﹣4＝﹣4，5+6﹣7﹣8＝﹣4，即每四项结果为﹣4，2016÷4＝504， ∴1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+…+2013+2014﹣2015﹣2016＝﹣4×504＝﹣2016．
【变式5-2】（2022秋•工业园区月考）计算1+（﹣2）+3+（﹣4）+……+97+（﹣98）+99+（﹣100）的值为（ ） A ．50
B ．﹣50
C ．101
D ．﹣101
【分析】原式两项两项合并正好得50个（﹣1），最后计算结果即可．【解答】解：原式＝（1﹣2）+（3﹣4）+（4﹣5）+⋯+（99﹣100）
=−1−1−1⋯−1︷
50
＝﹣50， 故选：B ．
【变式5-3】（2022秋•工业园区月考）计算： （1）1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99； （2）|
1102
−
1
101
|+|
1103
−
1102
|﹣|
1
103
−
1
101
|．
【分析】（1）两个一组计算，再相加即可求解； （2）先计算绝对值，再抵消计算即可求解． 【解答】解：（1）1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99 ＝（﹣2）+（﹣2）+…+（﹣2） ＝﹣2×25
＝﹣50； （2）|
1102
−
1
101
|+|
1103
−
1102
|﹣|
1
103
−
1
101
|
=1
101−1102+1102−1
103+1
103−1
101＝0． 【题型6 裂项相消法】
【例6】（2022秋•嘉定区期末）【阅读材料】问题：如何计算1
1×2+1
2×3+1
3×4+⋯+1
19×20呢？小红带领的数学兴趣小组通过探索完成了这题的计算．他们的解法如下： 解：
原式=(1−1
2)+(1
2−1
3)+(1
3−1
4)+⋯+(1
19−1
20)
=1−1
20=19
20
根据阅读材料，请你完成下列问题：（1）计算：21×3
+2
3×5+2
5×7
+⋯+2
21×23； （2）直接写出结果：1
3+1
15+1
35+1
63+1
99=
511
；（不需要计算过程）
（3）计算：1
1×5+1
5×9+1
9×13+⋯+1
2017×2021． 【分析】（1）将原式裂项，再两两抵消计算可得； （2）原式利用
1
(2n−1)(2n+1)
=12
（
1
2n−1
−
1
2n+1
）裂项求和即可得；
（3）利用相同的方法裂项计算可得．
【解答】解：（1）原式=(1−1
3
)+(1
3
−1
5
)+(1
5
−1
7)+⋯+(
121−
1
23)=1−
123
=
2223
；
（2）原式=12
×[（1−13
）+（13
−15
）+（15
−17
）+（17
−19
）+（19
−1
11
）]
=1
2×（1−1
11） =511， 故答案为：5
11；
（3）原式=14×[(1−15)+(15−19)+(19−113)+⋯+(12017−12021)]=14×(1−12021)=505
2021
【变式6-1】（2022秋•遂宁期末）请先阅读下列一组内容，然后解答问题：
先观察下列等式：1
1×2=1−1
2
，1
2×3
=1
2
−1
3
，1
3×4
=1
3
−1
4
⋯1
9×10
=1
9
−1
10
将以上等式两边分别相加得：1
1×2+1
2×3
+1
3×4
+⋯+1
9×10
=+(1
2
−1
3
)+(1
3
−1
4
)+⋯+(1
9
−1
10
)=1
2
−1
3
+1
3
−
1 4+⋯+1
9
−1
10
=1−1
10
=9
10
然后用你发现的规律解答下列问题：
（1）猜想并写出：1
n(n−1)=1
n−1
−1
n
；
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①1
1×2+1
2×3
+1
3×4
+⋯+1
2010×2011
=2010
2011
；
②1
1×2+1
2×3
+1
3×4
+⋯+1
n(n+1)
=n
n+1
；
（3）探究并计算：1
2×4+1
4×6
+1
6×8
+⋯+1
2012×2014
．
【分析】（1）观察上述式子，发现拆项规律，写出即可；（2）利用得出的规律化简所求式子，计算即可得到结果；
（3）根据得出的规律将原式变形，计算即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：1
n(n−1)=1
n−1
−1
n
；
（2）①原式＝1−1
2+1
2
−1
3
+⋯+1
2010
−1
2011
=1−1
2011
=2010
2011
；
②原式＝1−1
2+1
2
−1
3
+⋯+1
n
−1
n+1
=1−1
n+1
=n
n+1
；
（3）原式=1
2×（1
2
−1
4
+1
4
−1
6
+⋯+1
2012
−1
2014
）=1
2
×（1
2
−1
2014
）=503
2014
．
故答案为：（1）1
n(n−1)=1
n−1
−1
n
；（2）①2010
2011
；②n
n+1
【变式6-2】（2022秋•虹口区期末）先阅读，再答题
2 3=3−1
1×3
=1−1
3
，2
15
=5−3
3×5
=1
3
−1
5
，2
35
=7−5
5×7
=1
5
−1
7
，2
63
=9−7
7×9
=1
7
−1
9
⋯⋯
根据你发现的规律，试写出
（1）2
99=1
()
−1
()
；
（2）2
n(n+2)=1
n
−1
n+2
；
计算：2
3+2
15
+2
35
+2
63
+2
99
+2
143
+2
195
．
【分析】（1）根据题目中的式子，可以写出相应的结果； （2）根据题目中式子的特点，可以计算出相应的结果； （3）根据题目中式子的特点，可以计算出相应的结果． 【解答】解：（1）2
99=1
9−1
11； （2）2
n(n+2)=1
n −1n+2；
2
3
+215+235+263+299+2143+2195＝1−13+13−15+15−17+17−19+19−111+111−113+113−1
15 ＝1−1
15
=
1415
．
故答案为：1
9−1
11；1
n −1
n+2．
【变式6-3】（2022秋•高安市期中）阅读下面的文字，完成解答过程．（1）1
1×2=1−1
2，1
2×3=1
2−1
3，1
3×4=1
3−1
4，则
12007×2008
=
12007
−
12008
，并且用含有n 的式子表示发现的规律．
（2）根据上述方法计算：1
1×3+1
3×5+1
5×7+⋯+1
2005×2007．
（3）根据（1），（2）的计算，我们可以猜测下列结论：1
n(n+k)= 1
k （1
n −1
n+k ） （其中n ，k 均为正整数），并计算1
1×4+1
4×7+1
7×10+⋯+1
2005×2008． 【分析】（1）根据题中给出的列子可直接得出结论； （2）分别计算出
11×3，
1
3×5
，
1
5×7
的值，再进行计算即可；
（3）根据（1）、（2）的结论找出规律，并进行计算即可． 【解答】解：（1）∵11×2=1−12
，
12×3
=12
−13
，
13×4
=13
−1
4
，
∴
12007×2008
=
12007
−
1
2008
．
故答案为：1
2007−1
2008；
（2）∵1
1×3=1
3=1
2（1−1
3），1
3×5=1
15=1
2（1
3−1
5），1
5×7=1
35=1
2（1
5−1
7）， ∴1
1×3+1
3×5+1
5×7+⋯+1
2005×2007
=1
2（1−1
3+1
3−1
5+1
5−1
7+⋯+1
2005−1
2007）
=12（1−
12007
）
=1003
2007． 故答案为：1003
2007；
（3）根据（1），（2）的计算，我们可以猜测下列结论：
1n(n+k)
=1k
（1n −
1n+k
）．
1
1×4
+1
4×7+1
7×10+⋯+1
2005×2008=1
3（1−1
4+1
4−1
7+1
7−1
10+⋯+1
2005−1
2008）=669
2008． 故答案为：1
k
（1
n −
1n+k
）．
【题型7 倒数求值法】
【例7】（2022秋•城厢区校级月考）先阅读理解，再回答问题 计算：(−1
30)÷(2
3
−
110
+16
−2
5
)．解：（方法一）原式＝
(−1
30
)÷[(23
+16
)+(−
1
10
−25
)]=(−130
)÷(56
−1
2
)
=−
1
30
×3
=−
110
（方法二）原式的倒数为(23−110+16−25)÷(−130)=(2
3−
1
10
+1
6−2
5)×(−30) ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10． 故原式=−1
10．
请阅读上述材料，选择合适的方法计算：−154÷(16⋅527+23−2
9)．
【分析】首先应用乘法分配律，求出原式的倒数是多少；然后用1除以原式的倒数，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：原式的倒数为： （1
6×
527
+23
−29
）÷（−1
54
）
＝（16×
527
+23
−2
9
）×（﹣54）
=−5
3−36+12 =−77
3∴原式=−3
77．
【变式7-1】（2022秋•南开区期中）（−120
）÷（−14
−25
+
910
−3
2
）．
【分析】先求所求式子的倒数，然后计算即可．
【解答】解：原式的倒数是（−1
4−2
5+9
10−3
2）÷（−1
20） ＝（−1
4
−2
5
+
910
−3
2）×（﹣20）
=−14×（﹣20）−2
5×（﹣20）+9
10×（﹣20）−3
2×（﹣20） ＝5+8+（﹣18）+30 ＝25， 故原式=
125
．【变式7-2】（2022秋•宽城县期末）阅读下列材料：
计算：1
24÷(1
3−1
4+1
12)，
解法一：原式=1
24÷1
3−1
24÷1
4+1
24÷1
12=1
24×3−1
24×4+1
24×12=11
24． 解法二：原式=
124÷(13
−14+
1
12
)=
124
÷
212
=
124
×6=1
4
．
解法三：原式的倒数=(1
3−1
4+1
12)÷1
24=(1
3−1
4+1
12)×24=1
3×24−1
4×24+1
12×24=4． 所以原式=1
4．
（1）上述得到的结果不同，你认为解法 一 是错误的； （2）计算：(1
2−1
4+1
6)×36= 15 ；
（3）请你选择合适的解法计算：(−1
210)÷(3
7+2
15−3
10−5
21)． 【分析】（1）有理理数的除法没有分配律，据此可判断； （2）利用乘法的分配律进行求解即可； （3）仿照解法三进行解答即可．
【解答】解：（1）除法没有分配律，故解法一错误， 故答案为：一； （2）(1
2−1
4+1
6)×36 =1
2×36−1
4×36+1
6×36 ＝18﹣9+6
＝15， 故答案为：15； （3）原式的倒数＝（3
7
+
215
−
310
−
5
21
）÷（−
1
210
）
＝（3
7+2
15−3
10−5
21）×（﹣210） =3
7×（﹣210）+
215
×（﹣210）−
310
×（﹣210）−
521
×（﹣210）
＝﹣90﹣28+63+50 ＝﹣5， ∴(−
1210
)÷(37
+
215−
310−
5
21)=−1
5
．【变式7-3】（2022秋•怀安县期末）先计算，再阅读材料，解决问题：
（1）计算：（1
4+1
6−1
2）×12
（2）选择合适的方法计算：（−1
42）÷（1
6−3
14+2
3−2
7） 【分析】（1）根据乘法分配律可以解答本题； （2）先求出原式倒数，再可以求出所求式子的值． 【解答】解：（1）(1
4+1
6−1
2)×12 =1
4
×12+1
6
×12−12
×12＝3+2﹣6
＝﹣1；
（2）原式的倒数是： (1
6−
314
+23
−27
)÷(−142
)=(16
−
314
+23
−27
)×(−42)=16
×(−42)−
314
×(−42)+23
×(−42)−2
7
×(−42)
＝﹣7+9﹣28+12 ＝﹣14， 故原式=−1
14．。