2021-2022学年吉林省四平市第一高一年级下册学期期初验收考试数学试题【含答案】

2021-2022学年吉林省四平市高一下学期期初验收考试数学试题
一、单选题1．已知集合， ，则=（ ）
{}03|A x x =≤≤{}|14B x x =<<A B ⋃A ．B ．{}|13x x <≤{}
|04x x ≤<C ．
D ．
{}|13x x ≤≤{}
|04x x <<【答案】B
【分析】利用并集的概念求解即可.【详解】由， ，
{}03|A x x =≤≤{}|14B x x =<<则=.
A B ⋃{}|04x x ≤<故选：B
2．是的
2x >2
20x x ->A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解不等式得出解集，根据集合之间的包含关系得出两条件的充分必要性．
2
20x x ->【详解】由解得：或，，
2
20x x ->0x <2x >{}{}
202x x x x x ⊂
>≠ 或因此，是的充分不必要条件，故选A ．
2x >2
20x x ->【点睛】本题考查充分必要条件的判断，一般利用集合的包含关系来判断两条件的充分必要性：（1），则“”是“”的充分不必要条件；A B x A ∈x B ∈（2）
，则“”是“”的必要不充分条件；
A B
x A ∈x B ∈（3），则“”是“”的充要条件．
A B =x A ∈x B ∈3．已知函数则（ ）()1
22,0,log ,0,
x x f x x x ⎧≤⎪
=⎨>⎪⎩()()2f f -=A ．-2B ．-1
C ．1
D ．2
【答案】D
【分析】先根据分段函数求出，再根据分段函数，即可求出结果.
()
2f -【详解】因为
，
()21
224f --==
所以.
()()12112log 2
44f f f ⎛⎫
-=== ⎪⎝⎭故选：D.
4．函数的零点所在区间是（ ）
()2
12x f x -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭A ．B ．C ．
D ．
()0,1
()
1,2()
2,3()
3,4【答案】B
【分析】根据解析式，结合指数函数、幂函数的单调性判断的单调性，再应用零点存在性定
()
f x 理判断零点所在区间.
【详解】由递增，递增，则递增，又递增，
2y x =-1
()2x
y =-21()2x y -=-y =
∴
在定义域上递增，
()2
12x f x -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
又，，()1
11110
2f -⎛⎫
=-=-< ⎪⎝⎭()210f =>∴零点所在区间是.()1,2
故选：B.
5．设，，，则a ，b ，c 三个数的大小关系为（ ）2log 0.5a =0.5log 0.2b =1
22c =A ．B ．C ．D ．a b c <<a c b
<<b a c
<<b<c<a
【答案】B
【分析】由指对数函数的单调性判断a ，b ，c 三个数的大小.【详解】由，
12
0.50.522log 0.5log 10122log 0.25log 0.2
c a b =<=<==<=<<∴.a c b <<故选：B.6．函数
的部分图象可能是（ ）
()e e sin x x y x
-=-
A ．
B ．
C
．D
．
【答案】B
【分析】根据函数解析式，由奇偶性定义判断函数的对称性，再由上的函数值符号确定可
()
0,πx ∈能图象.
【详解】令，则
且定义
()y f x =()()1
()e e sin()(
e )sin (e e )sin ()e x x x x x x
f x x x x f x -----=--=--=-=域为R ，易知：该函数是偶函数，排除A ，C ；当
时，
，排除D.
()
0,πx ∈()0
f x >故选：B ．
7．2021年，我国先后发射天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱后，中国空间站—“天宫空间站”基本完成组装，并拟在2022年完成建设.“天宫空间站”运行轨道可以近似看成圆形环地轨道，已知“天宫空间站”约90分钟绕地球飞行一圈，平均轨道高度约为388.6千米，地球半径约为6371.4千米，据此计算“天宫空间站”每分钟飞过的长度约为（ ）千米.（参考数据）3.14π≈A ．471.70B ．450.67
C ．235.85
D ．225.33
【答案】A
【分析】由题设以千米为轨道半径计算轨道长度，再除以飞行一圈的时间即可.(388.66371.4)+【详解】由题设，“天宫空间站”每分钟飞过的长度约为
千米.
()2388.66371.426760 3.14
471.70
90
90π
⨯+⨯⨯≈
=故选：A.
8．已知
则（ ）412cos ,cos ,,0,,
656136πππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos()αβ+=A ．B ．C ．D ．16
65
3365
56656365
【答案】D
【分析】先利用同角三角函数基本关系式求出和，然后利用两角和的余弦公sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝
⎭sin 6πβ⎛
⎫- ⎪
⎝⎭式展开代入即可求出cos （α+β）．
【详解】∵
412cos ,cos ,,0,656136πππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴
(,),(,0)
66366
π
ππππ
αβ+
∈-∈-∴，
sin 0sin 0
66ππαβ⎛⎫⎛⎫+>-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
∴，35sin sin 65613ππαβ⎛⎫⎛⎫+==-==-
⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭∴
()cos cos 66ππαβαβ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎣⎦．4123563cos cos sin sin ()666651351365ππππβαβα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=-+--+=⨯-⨯-=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭故选：D
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）A ．若，，则B ．若且，则a b >c d <a c b d ->-0ab >a b >11
a b
<C ．若，，则D ．若，则0a b >>0c d <<ac bd <0a b <<22
a a
b b
<<【答案】ABC
【分析】A 、C 、D 应用不等式性质即可判断真假；B 应用作差法，结合不等式性质判断真假.【详解】A ：由题设，且，则，真命题；a b >c d ->-a c b d ->-B ：由且，则，真命题；
0ab >a b >110
b a
a b ab --=<C ：由，，则，即，真命题；
0a b >>0c d ->->ac bd ->-ac bd <D ：由，则，假命题.
0a b ->->22
a a
b b >>故选：ABC.
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）．
()π
πtan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪
⎝⎭A ．函数的定义域为()f x 1
2,3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z B ．函数
的最小正周期为()
f x 4
T =
C ．函数的单调递增区间为，()f x 12π,2π33k k 5⎛⎫
-++ ⎪⎝⎭k ∈Z D ．函数的对称中心为，()f x 2,03k ⎛⎫- ⎪⎝⎭k ∈Z 【答案】AD
【分析】利用整体代入法，由正切函数的定义域可判断A ；由三角函数的周期公式可判断B ；由正切函数的单调区间可判断C ；由正切函数的对称中心可判断D.
【详解】由得，
πππ232π+≠+x k ()1
2,3≠+∈x k k Z 所以函数的定义域为，故A 正确；()f x 1
2,3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩
⎭Z 函数
的最小正周期为，故B 错误；
()
f x 22
T π
π
=
=由得，
ππ2
232π
πππ-
+<
+<+k x k ()51
2233-+<<+∈k x k k Z 函数的单调递增区间为，故C 错误；()f x 12,23
35⎛⎫
-++ ⎪⎝⎭k k k ∈Z 由得,
πππ
232+=x k ()
23=-∈x k k Z 所以函数的对称中心为，故D 正确.()f x 2,03k ⎛
⎫- ⎪⎝⎭k ∈Z 故选：AD.11．已知
，且满足
，，则下列说法正确的是（ ）
()
0,θπ∈12
sin cos 25θθ⋅=-
sin cos θθ>A ．
B ．
C ．
D ．
,2
πθπ⎛⎫∈ ⎪
⎝
⎭
4tan 3
θ=-
4tan 3
θ=
1sin cos 5
θθ+=
【答案】ABD
【分析】由于，且满足
，可得
，再结合，()0,θπ∈12sin cos 0
25θθ⋅=-
<,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22sin cos 1θθ+=可求出的值，进而可求出的值
sin ,cos θθtan θ【详解】因为，且满足
，可得
，所以A 正确，()
0,θπ∈12sin cos 0
25θθ⋅=-
<,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为，
22
sin cos 1θθ+=所以
，
22241sin cos 2sin cos 12525θθθθ++=-
=
，
222449sin cos 2sin cos 12525θθθθ+-=+
=
所以，
，()
2
1
sin cos 25θθ+=
()249sin cos 25θθ-=
因为，，
sin cos θθ
>sin 0,cos 0θθ><所以
，
，所以D 正确，1
sin cos 5θθ+=
7sin cos 5θθ-=
所以解得
，43
sin ,cos 55θθ==-
所以
，所以B 正确，C 错误，sin 4
tan cos 3θθθ==-
故选：ABD 12．函数
的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，，设函数
[]
y x =[]1.11=[]2.32
=则下列说法正确的是（ ）
()[]21,0,0x x f x x x x ⎧-<⎪
=⎨
-≥⎪⎩A ．函数
的值域为()
f x (
],0-∞B ．若，则0x ≥()0f x ⎡⎤=⎣
⎦C ．方程
有无数个实数根
()1
f x =D ．若方程
有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是()f x x a
=-+[
)0,∞+【答案】BD
【分析】由题意可知，当时，
，所以，作出函数
[),1,x n n n N
∈+∈[]x n =()[]f x x x x n =-=-和的图象，由图象即可判断A ，B ，C 是否正确；在同一直角坐标系中作出函数
()
f x 1y =和函数的图象，由图象即可判断D 是否正确.
()
y f x =y x a =-+【详解】当时，
，所以；
[)
0,1x ∈[]0x =()[]f x x x x =-=当时，，所以；[)
1,2x ∈[]1x =()[]1f x x x x =-=-当时，
，所以；
[)
2,3x ∈[]2x =()[]2f x x x x =-=-当
时，，所以；
[)
3,4x ∈[]3x =()[]3f x x x x =-=-……当
时，
，所以；
[),1,x n n n ∈+∈N
[]x n =()[]f x x x x n =-=-
作出函数
的图形，如下图所示：()[]2
1,0,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨
-≥⎪⎩
由图像可知，函数
的值域为
，故A 错误；
()
f x (),1∞-由图像可知，若，则，所以，故B 正确；0x ≥()[)
0,1f x ∈()0f x ⎡⎤=⎣
⎦由图像可知，函数
与没有交点，所以方程
无实数根，故C 错误；
()
f x 1y =()1
f x =在同一直角坐标系中作出函数
和函数的图象，如下图所示：
()
y f x =y x a =-+
由图像可知，若方程有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是
，故D 正
()f x x a
=-+[)0,+∞确.故选：BD.
三、填空题
13．命题“，”的否定是___________.R x ∃∈2
10x x -+>【答案】，R x ∀∈2
10
x x -+≤【分析】由特称命题的否定：将存在改任意并否定原结论，即可写出否定形式.【详解】由特称命题的否定为全称命题，
∴原命题的否定为：“，”.
R x ∀∈2
10x x -+≤故答案为：，.
R x ∀∈2
10x x -+≤14．在平面直角坐标系中，已知角的始边是x 轴的非负半轴，终边经过点
，则
xOy θ()
1,2P -___________.
sin θ=
【分析】利用终边上的点坐标，结合正弦函数的定义求值.
sin θ
【详解】由题设，
sin θ=
=
.
15．已知
是奇函数，当时，
，则
___________.
()
y f x =0x ≥()()
83
f x x m m R =+∈()8f -=
【答案】256
-【分析】先由奇函数的性质求出的值，从而可求出函数解析式，进而可求得结果(0)0f =m 【详解】因为
是奇函数，当时，
，
()
y f x =0x ≥()()
83
f x x m m R =+∈所以，得，83
(0)00f m =+=0m =所以，，
()83
f x x
=0x ≥因为是奇函数
()
y f x =所以
，
()883
8(8)82256
f f -=-=-=-=-故答案为：256
-
16．已知函数具有以下性质：如果常数，那么函数在区间上单调递
()k
f x x x =+
0k >()f x (
减，在区间上单调递增，若函数的值域为
，则实数a 的取值范围∞+）()11a y x x x -=+≥[),a +∞是___________.【答案】(,2]
-∞
【分析】当判断单调性，进而确定最值即可求范围，当的大小关系，结合1a ≤1a >的性质，判断上的单调性，进而确定最值，结合已知值域求参数范围.
()k
f x x x =+
[1,)+∞【详解】1、当时，在上递增，故，满足题设；
10a -≤1
a y x x -=+
[1,)+∞1|x y a ==2、当，即，
10a ->1a >
，即时，函数在上递减，在上递增，故，
1≥2a ≥)+∞|
x y a
=可得；
2a =
，即时，函数在上递增，故，满足题设；
1<12a <<[1,)+∞1|x y a ==综上，.(,2]a ∈-∞故答案为：.
(,2]-∞【点睛】关键点点睛：应用分类讨论，并根据的性质，结合目标函数的解析式及值域
()k
f x x x =+
研究单调性及最值，即可求参数范围.
四、解答题
17．已知全集为R ，集合
，或.
{}12A x x =≤≤{B x x m =<}21,0x m m >+>(1)当时，求；2m =A B ⋂(2)若
，求实数的取值范围.
R A B ⊆ m 【答案】(1)
{}
12x x ≤<(2)1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【分析】（1）根据，求出集合，再根据集合的交集运算，即可求出结果；
2m =B （2）先求出，再根据，可得，求解不等式即可.R B R A B ⊆ 1
221m m ≤⎧⎨
≤+⎩【详解】（1）解：当时，或
，
2m ={2
B x x =<}5x >又
，所以；
{}12A x x =≤≤{}12A B x x ⋂=≤<（2）因为或
，所以，
{B x x m
=<}21,0x m m >+>{}R 21B x m x m =≤≤+
又，所以，解得，即
.R A B ⊆ 1221m m ≤⎧⎨≤+⎩11
2m ≤≤1,12m ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦所以实数m 的取值范围
.1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦18．已知.()()()()()sin cos sin 23sin cos 2tan 2f παπαααπαπαπα⎛⎫
++- ⎪⎝⎭=
⎛⎫--- ⎪⎝⎭(1)化简
；
()
f α(2)若，求的值.1
3
3f πα⎛⎫-=
⎪⎝⎭22cos cos 63ππαα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)；
()cos αα
=f (2).
5
9【分析】（1）利用诱导公式化简
即可.
()
f α（2）由题设有，又、，再由诱导公式、同角
1cos()33πα-=()
326πππ
αα-=-+2()33ππαπα+=--三角函数的平方关系求目标式的值.
【详解】（1）.
()()()
()()
sin cos sin cos (cos )(sin )2cos 3cos cos (tan )sin cos 2tan 2f παπαααααααπααααπαπα⎛⎫
++- ⎪⋅-⋅-⎝⎭===-⋅⋅-⎛⎫
--- ⎪⎝⎭（2）由，1cos()3
33f ππαα⎛⎫
-=-=
⎪⎝⎭又
，1
cos()cos[()]sin()32663ππππααα-=-+=+=
，21cos cos[()]cos()3333πππαπαα⎛⎫+=--=--=-
⎪⎝⎭
π1cos 33
α⎛⎫∴-=
⎪⎝⎭∴
.2225cos cos 1sin cos()63639ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+--=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭19．已知函数（且）．
()221
f x ax x a =-+-a R ∈0a ≠(1)若函数
在区间
内为单调函数，求实数的取值范围；
()
f x []0,1a
(2)若，解关于的不等式．
0a >x ()()1f x a a x
>+【答案】(1)或
a<0102
a <≤
(2)
()1,1,a a ⎛⎫
-∞+
+∞ ⎪⎝
⎭
【分析】（1）利用二次函数的单调性可得出或，解之即可；
1
02a <112a ≥（2）将所求不等式变形为，比较与的大小关系，利用二次不等式的解()110a x a x a ⎛⎫---> ⎪⎝⎭1a a +
1法解原不等式即可.
【详解】（1）解：由题设，二次函数
的对称轴为
且，
()
f x 1
2x a =
0a ≠所以要使在内为单调函数，则或，解得或
．()f x []0,1102a <112a ≥a<0102a <≤因此，实数的取值范围是.
a ()1,00,
2⎛⎤
-∞⋃ ⎥⎝
⎦（2）解：由题设，
，
()()
2221f x ax x a a a x
=-++>+所以，
()
()22211110
ax a a x a a x a x a ⎛
⎫-++++=---> ⎪⎝⎭
由，则
，当且仅当时等号成立，所以．
0a >12a a +
≥=1a =1
1a a +>解可得或
，()110a x a x a ⎛⎫---> ⎪⎝⎭1x <1x a a >+故原不等式的解集为
.
()1,1,a a ⎛⎫
-∞+
+∞ ⎪⎝
⎭ 20．已知函数
的部分图象如图所示．()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫=+>>< ⎪
⎝⎭
(1)求函数
的解析式及其对称轴方程；
()
f x (2)设，且方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围和这两个根的1111212x ππ
<<()2f x m =m 和．
【答案】(1)，的对称轴方程为
()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 1,26x k k Z ππ=+∈
(2)的取值范围为： ；当时，两根和为； 时，
m 10m -<<1m <<10m -<<43π
1
m <<两根和为3
π
【分析】（1）由最值点可得，由
可得
，由
可得；令
2A =()01
f =6π
ϕ=
2332ππ
ωϕ⨯
+=2ω=，可得对称轴方程.
2,6
2
x k k Z
π
π
π+
=+
∈（2）在同一坐标系中画出
和的图象，由图可知，当或2sin 26y x π⎛
⎫=+ ⎪
⎝⎭y 2m =220m -<<
时，直线与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根.结合三角函22m <<y 2m =数的对称性，分两种情况讨论即可得结果.【详解】（1）显然，又图象过
点，即2A =()0,1()01
f =所以
又，所以 1sin ,2ϕ=2πϕ<6π
ϕ=
由图象结合“五点法”可知，对应函数图象的点，2,23
π⎛⎫- ⎪⎝⎭sin y x =3,12π⎛⎫
- ⎪
⎝⎭,即得＝2
2332ππωϕ⨯
+=23326πππ
ω⨯=-ω所以所求的函数的解析式为：
()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪
⎝⎭，得
2,62x k k Z π
π
π+
=+
∈1,26x k k Z
π
π=
+∈所以的对称轴方程为
()f x 1,26x k k Z ππ=+∈（2）如图所示，在同一坐标系中画出
和（）的图象，2sin 26y x π⎛
⎫=+ ⎪
⎝⎭2y m =m R ∈
由图可知，当时，直线与曲线有两个不同的交点，
220m -<<22m <<2y m =
即原方程有两个不同的实数根.，则的取值范围为：
m 10m -<<1
m <<
当时，两根和为; 时，两根和为10m -<<43π
1
m <3
π
21．某校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2021年元旦开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过一年的观察发现，自2021年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的，最初测得该水生植物面积为，二月底测得该水生植物的面积为24，三月底测得该水生植物的面积为40，
2
m k 2
m 2
m 该水生植物的面积y （单位：）与时间x （单位月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是同2
m 学甲提出的
，另一个是同学乙提出的
，记2021年元旦
()
0,1x
y ka k a =>>()
1
3
0,0y px k p k =+>>最初测量时间x 的值为0.
(1)根据本学期所学，请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式；(2)池塘水该水生植物面积应该在几月份起是元旦开始研究探讨时该水生植物面积的10倍以上？（参考数据：，）
lg 20.3010≈lg30.4771≈【答案】(1)同学甲提出的函数模型更适合，解析式为
，2165253x
y ⎛⎫=⨯ ⎪
⎝⎭(2)6
【分析】（1）由于三月份面积增量快是二月份的2倍，所以选择，然后利用待
()
0,1x y ka k a =>>定系数法求解即可，
（2）假设月后水生植物的面积是一月水生植物面积的10倍以上，则由题意得
x ，化简后两边取常用对数可求得结果
2165216
1025315x
⎛⎫⨯≥⨯ ⎪⎝⎭【详解】（1）因为三月底面积增量几乎是二月份的一倍，所以选择同学甲提出的
比较合适，
()
0,1x y ka k a =>>
由题意得，解得，23
2440ka
ka ⎧=⎨=⎩53
21625a k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以
，2165253x
y ⎛⎫=⨯ ⎪
⎝⎭（2）由（1）可知，一月底时水生植物的面积为
，2165216
25315⨯=假设月后水生植物的面积是一月水生植物面积的10倍以上，即
x ，2165216
1025315x
⎛⎫⨯≥⨯ ⎪⎝⎭所以，550
33x
⎛⎫≥
⎪⎝⎭
所以
，55
lg 1lg
33x ≥+因为，所以
，
5lg 03>11
11 5.551lg 2lg 3lg 3x ≥+
=+≈--所以从6月份起是元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上22．已知函数
为偶函数.
()()()
3log 31R x f x kx k =++∈(1)求实数k 的值；(2)若方程
有且仅有一个实数根，求实数a 的取值范围.
()()()31
log 3R 2x f x x a a a =
+⋅-∈【答案】
(1)
；
12k =-
(2).
{3(0,)--⋃+∞【分析】（1）利用偶函数构造方程，即可求参数值.
（2）由题设可得，有且仅有一个实数根，讨论、，结
(31)0x
a ->23(1)310x x a a ⋅-+-=0a >a<0合指数函数、二次函数的性质求参数范围.
【详解】（1）由题设，，即
，()()f x f x -=33log (31)log (31)x x
kx kx --++=++∴
，可得，则
.
32log 3x
kx x -==-21k =-12k =-
（2）由题设，，则
，()33log (31)log 322x x x x
a a -++=+⋅-33log (31)log (31)x x
x a +=+-∴，且，整理得，
(31)0x
a ->2313(31)(33)x x x x x a a +=⋅-=-23(1)310x x a a ⋅-+-=
令，则有且仅有一个零点，，，
3x
t =2()(1)1g t at a t =-+-(0)10g =-<(1)20g =-<当时，， 此时，且开口向上，0a >0x >(1,)t ∈+∞()g t ∴在上有且仅有一个零点；
()g t (1,)+∞当时，，此时，且开口向下且对称轴
，a<00x <(0,1)t ∈()g t 11(1)
2x a =+
∴，即时，仅当，可得符合条件；1012a <+<1a <-22
(1)4610a a a a ∆=++=++=3a =--，即时，在上无零点.110a +<10a -<<()g t (0,1)
综上，.
{3(0,)a ∈--⋃+∞【点睛】关键点点睛：第二问，注意，讨论、对应定义域区间不同，另外结
(31)0x
a ->0a >a<0合二次函数的性质判断在定义域内的零点(根)的情况求参数.。