余弦定理

B=180o-(51o+75o)=54o
AB AC 55m 所以由 sin C sin B AC sin C 55sin 75 可得 AB 65.7(m) sin B sin 54
51o 75o
答：A,B两点间的距离约为65.7米。
归纳：
平面上测量一个可到达的点到一 个不可到达的点之间的距离的问题， 一般在可到达的点一侧再找一个点， 测出两点距离和不可到达的点与这两 点的相对方位角即可用正弦定理求出 距离.
C
AC 63
例1.在△ABC中，
已知b=8，c=3，A=600， 求a.
解：
2 2 2 ∵a =b +c －2bccosA
0 =64+9－2×8×3cos60
=49 a=7
例2、已知△ABC中，a=8，b=7， 0 B＝60 ，求c.
解：b c a 2ac cos B
2 2 2
变式、在山顶铁塔上B处测得地面 上一点A的俯角α =54°40′， 27.3 在塔底C处测得A处的俯角β =50°1′.已知铁塔BC部分的高为 27.3m，求出山高CD(精确到1m) 解：依题意可知，在△ABC 中，
ABC 90 54 40' 35 20'， ACB 90 50 1' 140 1'
o

北
B
60

BAC为三角形的内角， BAC 30
A
答：甲船应以北偏东30 的方向前进才能尽快 追上乙船。
练习1：教材P13“练习1” S 法1：∵在△ASB中， 65 ∠ABS=180o-65o=115o o o o o ∴∠ ASB=180 -115 -20 =45 B ∵ AB=0.5×32.2=16.1 n mile ∴由正弦定理可得 AB sin ABS 16.1 sin115 AS sin ASB sin 45 ABS 16.1 北 sin115 20 20.63 n mile SB sin 45 西 东 故船与灯塔的最小距离 d=20.63×sin20o≈7.06 n mile 南 所以这艘船可以继续沿正北方向航行 A
65
S
B
20
西
北 东 南
A
法2： 在ASB中, SBA 115, S 45,由 正 弦 定 理 得 AB sin20 16.1 sin20 SB sin45 sin45 7.787( n mile) 设 点S到 直 线 AB的 距 离 为 h, 则 h SB sin65 7.06( n mile) h 6.5n mile 此 船 可 以 继 续 沿 正 北向 方航 行
60 变式：甲船在 A 处观察到乙船在它的北偏东
方向的 B 处， 且乙船正在向正北方向行驶， 如果甲船的速度是乙船的 3 倍， 问甲船应 沿什么方向前进才能尽快追上乙船？ C 解：设甲船在C处追上乙船, 则依题意可知，AC 3 BC , ABC 120
由正弦定理可得
BC sin120 1 sin BAC AC 2
27.3
又 CAD b 50 1'

CD AC sin CAD 194. 75 sin 50 1' 149(m )

答：山的高度约为149米。
例6.一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 o A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15 的 方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏 o o 北25 的方向上，仰角8 ，求此山的高度CD.
1、分析：理解题意，画出示意图. 2 、建模：把已知量与求解量集中在一个三角 形中. 3 、求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序 地解这些三角形，求得数学模型的解. 4、检验：检验所求的解是否符合实际意义，从 而得出实际问题的解.
实际问题→数学问题（三角形） →数学问题的解（解三角形） →实际问题的解
练 2．
解：由余弦定理，得 2 2 2 BC AB AC 2 AB AC cos A
1.95 1.40 2 1.95 1.40 cos66 20
2 2
3.571
BC 1.89(m)
例2. 在△ABC 中，求证：
a b sin A sin B ; （1 ） 2 2 c sin C
2 2 2 2
（2）a 2 b 2 c 2
2 bc cos A ac cos B ab cos C .
例3：在ABC中，求证： a sin 2 B b sin 2 A 2ab sin C
2 2
1.2.2 空间距离问题 例5.如图， AB是底部B不可到达的一个建筑物， A为建筑物的最高点，试设计一种测量建筑物 高度AB的方法。
2 2 2
余弦定理可以解决的有关三角形的问题：
a b c cos C 2ab
b2 c2 a 2 cos A 2bc 2 2 2 c a b cos B 2 ca 2 2 2
推论:
1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。
2、已知三边求三个角；3、判断三角形的形状
4、已知两边及一边的对角，求另一边另两角
b c a cos A 2bc
2 2
2
勾股定理与余弦
定理的关系：
a c b cos B 2ac
2 2 2 2
2
勾股定理是余弦
定理的特例,
余弦定理是勾股
2
a b c cos C 2ab
定理的推广
例3：在 ABC中
a = 7, b = 3, c = 5, 求最大内角和
b c a 3 5 7 1 解： cos A 2bc 2 3 5 2 A 0 ,180 , A=120
D
C
A B
解：∵在△ABC中， o ∠A=15 ， o o o ∠C=25 -15 =10 . ∴根据正弦定理，
AB sin A 5 sin 15 BC 7.4524(km). sin C sin 10

CD=BC×tan∠DBC≈7.4524×tan8°≈1047(m)

故BAC 180 140 1' 35 20' 4 39'

BC AC sin BAC sin ABC
BC sin ABC AC sin BAC 27.3 sin 35 20' sin 4 39' 194.75( m )

c a b 2ab cos C
2 2
余弦定理：
三角形任一边的平方等于其他两边平方的和 减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
(解决:已知两边和一个夹角,求第三边问题)
a b c 2bc cos A
2 2 2
b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
2 2 2 0
7 c 8 2 8 c cos60
2 整理得：c -8c+15=0
解得：c1=3,
c2=5
正本作业题 在△ABC中，已知 (1) b=1，c=2，A=60°，解三角 形;
(2) b 2 13, c=8，B=60°，求 a.
推论： (解决：已知三条边求角度问题)
N
视 线 仰角
目标方 向线
俯 角 视 线
水平 线
1.2.1平面距离问题(1)——测量距离
例1、A、B两点在河的两岸(B点不可到达), 设计一种测量两点间的距离的方法。
B
A
C
分析：已知两角一边，可以用正弦定理解 三角形
例、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的 距离，测量者在A的同侧，所在的河岸边选定一 点C，测出AC的距离是55m，∠BAC＝51o， ∠ACB＝75o，求A、B两点间的距离(精确到0.1m) 解：如图，因为在△ABC中，
例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达）， 设计一种测量两点间的距离的方法。
A
B
d
D
g
a
b
a
C
分析：设CD=a，∠BCA=a，∠ACD=b， ∠CDB=g，∠ADB=d
a sin(g d ) a sin(g d ) AC sin180 ( b g d ) sin( b g d ) a sin g a sin g BC sin180 (a b g ) sin(a b g )
千岛湖
情景问题
千岛湖
岛屿B
岛屿A
120°
?
岛屿C
情景问题
∠B=120o，求 AC.
A岛屿A
千岛湖 在△ABC中，已知AB=6km，BC=3km，
岛屿 B B
120°
?
岛屿 C C
用正弦定理能否直接求出 AC？
问题：若已知三角形的两边及其夹角，如何 求第三边？
例：如图，在△ABC中， 已知a, b和∠C，求边c？ C
D
C
解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点 在同一条直线上。在H、G两点用测角仪器测 得A的仰角分别是a、b， CD=a，测角 仪器的高是h，那么，在△ACD中， 根据正弦定理可得
CD sinADC AC sinCAD a sinb sin ( a b)
a sin a sin b AB AE h AC sin a h h sin(a b )
2 2 2 2 2 2
sinC.
c sin A 由正弦定理，得 sin C a 3 5 5sin120 5 3 2 7 7 14


104.5°
14.6°
1、在△ABC中,若a=4、b=5、c=6，判 断△ABC的形状.
小结:
余弦定理：
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
AB AC BC 2 AC BC cos a
2 2
A
B
d
D
g
a
b
a
C
1.2.1平面距离问题(2)——测量角度
例1.一艘海轮从A出发,沿北偏东75 的方向航行67.5n mile o 后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32 的方向航行 54.0n mile后到达海岛C.如果下次 C 航行直接从A出发到达C，则此船 该沿怎样的方向航行，需要航行 o 多少距离?（角度精确到0.1 ， B 距离精确到0.01n mile） A
根据正弦定理， BC sin ABC sin CAB AC 54.0sin137 113.15 0.3255
因∠CAB是三角形的内角，故∠CAB≈19.0°
∴75°-∠CAB=56.0°.
答：此船应该沿北偏东56.0°的方向 航行，需要航行113.15n mile.
小结: 解斜三角形应用题的一般步骤是：
2 2 2
在△ABC中，已知AB=6km， BC=3km， ∠B=120o，求 A AC.
解：由余弦定理得
2 2 2
解决实际问题
B
120°
AC AB BC 2 AB BC cos B 2 2 o 6 3 2 6 3 cos120 63
答：岛屿A与岛屿C的距离为 63 km.
∴根据余弦定理，
2 2
o
解：∵在△ABC中，∠ABC=180o-75o+32o=137o， 2
AC AB 67.5 113.15
2
AC AB BC 2 AB BC cos ABC 67.5 54.0 2 67.5 54.0 cos137
2 2
正本作业题 在△ABC中，已知 (1) a=7,b=8,c=9,求cosA,cosB,cosC;
(2)
a 2, b 1, c 7, 求最大内角.
1. 2 应用举例
几个概念： • 仰角：目标视线在水平线上方的叫仰角. • 俯角：目标视线在水平线下方的叫俯角. • 方位角：从正北方向沿顺时针方向到目标 方向线的夹角.
A
b
a
c
B
如图，在△ABC中，已知a, b和∠C，求边c？
解： AB AC CB

A
AB AB ( AC CB)(AC CB)
b
a
c
B
2
AC AC 2 AC CB CB CB C
2 2
2
AB AC 2 AC CB cos(1800 C) CB