数理统计课后习题答案

数理统计课后习题解答
应用数理统计
第一章
1.1 解：已知总体2
(,)X N μσ ，则2
(,
)X N n
σμ ，
2
(0,
)X N n
σμ-
{1}0.95P X P μ-<=<
=
(0,1)N ,从而上式P=(
)σ
Φ
查标准正态分布表得(1.96)0.975Φ=， n 最小要取2
2
1.96σ
1.2 解：(1) 单个元件寿命长于800小时的概率为
{800}1{800}i i P X P X >=-≤=0.001580010.0015e -⨯-⨯=0.9995
∴ 该事件的概率为6
0.9995
(2) 单个元件寿命短于3000小时的概率为
{3000}i P X ≤=0.001530000.0015e -⨯⨯=40.166610-⨯
∴ 该事件的概率为10
0.166610
-⨯
1.3 解：(1) X 1,X 2,X 3的联合概率函数为
1
2
3
3
31231
123(,,)()!!!
x x x
s i i p x x x p x e x x x λλ++-===
∏
(2) X 1,X 2,X 3的联合概率密度为
1233
()1231
(,,)()x x x s i i f x x x f x e λλ-++===∏
(3) X 1,X 2,X 3的联合概率密度为 当i a x b ≤≤时，3
1233
11
(,,)()()s i i f x x x f x b a ==
=
-∏
当i x 取其他值时，3
1231
(,,)()0s i
i f x x x f x ===∏
(4) X 1,X 2,X 3的联合概率密度为
22212331
3
[()()()]22
1231
(,,)()(2)x x x s i i f x x x f x e
μμμπ-
--+-+-===∏
1.4 解：1,...,n X X 的联合概率密度为
当0x <<∞时，2
2
1
1(ln )222
11
1
1
(,...,)()(2)n
i i n n
x s n i
n
i i
i f x x f x e
x
μσπσ=-
--==∑=
=
∏∏
当x 为其他值时，1(,...,)0s n f x x =
1.5 证明：原式＝
21[()()]n
i
i X
X X a =-+-∑
＝
2
211
1
()2()()()n
n
n
i
i i i i X
X X a X X X a ===-+--+-∑∑∑
∵
1
()n
i
i X
X =-∑＝0
∴ 原式＝
2
2
1
1
()()n
n
i
i i X
X X a ==-+-∑∑＝2
2
1
()n
i nS X a =+-∑ ∴ 当a ＝X 时，
21()n
i
i X
a =-∑有最小值且其值等于2nS 。

1.6 证明：(1) 等式左边＝
2
2
1
1
2n
n
i
i
i i X X n μμ==-+∑∑ 等式右边＝
222211
22n
n
i
i i i X
X X nX nX nX n μμ==-++-+∑∑
＝
22
2
2
211
22n
n
i
i i i X
nX nX nX X n μμ==-++-+∑∑
＝
221
1
2n
n
i
i i i X
X n μμ==-+∑∑
= 等式右边
∴ 命题得证。

(2) 等式的左边＝22
1
1
2n
n i
i i i X
X X nX ==-+∑∑＝221
n
i i X nX =-∑＝等式的右边
∴ 命题得证。

1.7 证明: (1) ∵ 11n n i i X X n ==∑,2
21
1()n n i n i S X X n ==-∑
∴1111111
111()1111n n
n
n n i i n i
i i i X X X X X X n n n n ++++=====+=+++++∑∑∑ 111
()111
n n n n n nX X X X X n n n ++=
+=+-+++ ∴ 命题得证。

(2) 12
21
111()1n n i n i S
X X n +++==-+∑121111[()]11n i n n n i X X X X n n ++==---++∑ 121111[()()]11
n i n n n i X X X X n n ++==---++∑ 1221121121[()()()()]11(1)n i n i n n n n n i X X X X X X X X n n n +++==----+-+++∑ 222
112
1111()()()]11(1)
n i n n n n n i X X X X X X n n n ++==-+---+++∑ 2
212
()1(1)
n n n nS n X X n n +=+-++2211[()]11n n n n S X X n n +=+-++ ∴ 命题得证。

1.10解:
(1). 11
11()()()n n
i i i i E X E x E x n n ====∑∑
1
np p n
=
⋅=
2
11
11
()()()
(1)n n
i i
i i D X D x D x n n
mp p n
====-=
∑∑
2
2
1
1()(())n i i E S E x x n ==-∑
22
1
22122
122221[()]1[()()]1[(()())(()())]11
[((1))((1))]1(1)n
i i n
i i n i i i E x x n E x nE x n D x E x n D x E x n n mp p m p n mp p m p n n n mp p n
====-=-=+-+=-+--+-=-∑∑∑
同理，
（2）. 1111()()()n n
i i i i E X E x E x n n λ=====∑∑
2
11
11
()()()
1n n
i i
i i D X D x D x n n
n
λ=====∑∑
2
221
2211()[()()]
1[(()())(()())]1n
i i n
i i i E S E x nE x n D x E x n D x E x n n n
λ===-=+-+-=∑∑ (3). 1111()()()2
n n i i i i a b
E X E x E x n n ==+===∑∑
2
11
2
11
()()()
()12n n
i i
i i D X D x D x n n
b a n
====-=
∑∑
2
221221
21()[()()]
1[(()())(()())]1()12
n
i i n
i i i E S E x nE x n D x E x n D x E x n n b a n ===-=+-+--=⋅∑∑
(4). 11
11()()()n n
i i i i E X E x E x n n λ=====∑∑
2
11
2
11
()()()
n n
i i
i i D X D x D x n n
n
λ
=====
∑∑
2
221
22121()[()()]
1[(()())(()())]1n
i i n
i i i E S E x nE x n D x E x n D x E x n n n
λ===-=+-+-=∑∑ (5). 11
11()()()n n
i i i i E X E x E x n n μ=====∑∑
2
11
2
11
()()()
n n
i i
i i D X D x D x n n
n
σ
=====
∑∑
2
221
221
21()[()()]
1[(()())(()())]1n
i i n
i i i E S E x nE x n D x E x n D x E x n n n
σ===-=+-+-=⋅∑∑
1.11 解：由统计量的定义知，1，3，4，5，6，7为统计量，5为顺序统计量
1.12 解：该样本的顺序统计量：-4，-
2.1，-2.1，-0.1，-0.1，0，0，1.2，1.2，2.01，
2.22，
3.2，3.21 样本中位数131
7()2
0e m X
X +===
样本极差131 3.21(4)7.21r X X =-=--=
抽取2.7后的顺序统计量：-4，-2.1，-2.1，-0.1，-0.1，0，0，1.2，1.2，2.01，2.22，2.7，3.2，3.21 样本中位数781
()0.62
e m X X =+= 1.16
21212
21
(,),(0,1),,,,i.i.d.,,
i.i.d
1.2.1,(
)()
n n n i X N X N X X X X X X n μσμ
σμ
μ
σ
σ
μ
χσ
=~-∴
~---~∑ 又是有
也是据定理有
1.17
'
1'
(){}{
}{}()()(0)
()()
()(,),()(0)
()
)
Y ky
x
X X
Y X k y
Y X
F y P Y y P y P X ky k
f x dx k f
ky dy y F y kf ky k y e X F y y Y k ααλλαλααλ-∞-∞
--=≤=≤=≤=
=
>=~Γ∴=>Γ∴~Γ(,⎰
⎰
1.18
(,)X a b β
1
1
01(1,)()(1)(,)(,)
a b B a b E X x x dx B a b B a b -+∴=-=⎰ 又()()
(,),(1)()()
a b B a b a a a a b ΓΓ=
Γ+=ΓΓ+
(1)()()()(1,)(,)(1)()()a b a a b a
B a b B a b a b a b a b a b
Γ+ΓΓΓ∴+===Γ+++Γ++
()a E X a b
∴=
+ 1
2
11
01(2,)(1)()(1)(,)(,)()(1)
a b B a b a a E X x x dx B a b B a b a b a b +-++=-==+++⎰ 222()()()()(1)
ab
D X
E X E X a b a b ∴=-=
+++
1.19 解：∵ (,)X F n m 分布
2
212(1)
22
()(
(1))()
(1)()()()(1)()()n n m n m
n y
n m
y n m
n n
P Y y P X X y m m
y
P X y n n n x x dx m m m ++--+≤=+≤=<-Γ=+ΓΓ⎰
2
22212222
11
()()
()1()(1)()()11(1)(1)(,)
n n m n m n m
n m n m
f y P Y y y y y y y y y B ++----'=≤Γ=+ΓΓ----= ∴ 22(1)(,)n m n n Y X X m m
β=
+ 分布 1.20 解：∵ ()X t n 分布
1
2221
20
()()
((2)n n P Y y P X y P X x dx n ++-≤=≤=≤≤=+
11
11
22
1
1
21()()
)()1()(1)()()()n n n n n
f y P Y y y y n y y n n n
+++--+--'=≤=
+Γ=+ΓΓ
∴ 2
(1,)2
n
Y X F = 分布
1.21 解: (1) ∵ (8,4)X N 分布
∴ 4(8,
)25X N 分布，即 5(8)(0,1)2
X N - ∴ 样本均值落在7.88.2 分钟之间的概率为：
5(7.88)5(8)5(8.28)
(7.88.2)(
)
222
0.383
X P X P ---≤≤=≤≤= (2) 样本均值落在7.58 分钟之间的概率为：
5(7.58)5(8)5(88)
(7.58)(
)2225(8)
(0 1.25)2
0.3944
X P X P X P ---≤≤=≤≤-=≤≤=
若取100个样品，样本均值落在7.58 分钟之间的概率为：
10(7.88)10(8)10(8.28)
(7.88.2)()
222
2*(0.84130.5)
0.6826
X P X P ---≤≤=≤≤=-= 单个样品大于11分钟的概率为：110.77340.2266P =-= 25个样品的均值大于9分钟的概率为210.97980.0202P =-= 100个样品的均值大于8.6分钟的概率为310.99870.0013P =-= 所以第一种情况更有可能发生
1.23 解：(1) ∵ 2(0,)X N σ 分布 ∴ 2
(0,
)X N n
σ 分布
∴
22(
)(1)χσ
∵
222221
(
)(
)n
i i a X an X an σσ
===∑
∴ 2
1a n σ=
同理 2
1b m σ=
(2) ∵ 2
(0,)X N σ 分布
∴
2
22
(1)X χσ 分布
由2
χ分布是可加性得：
2
22
1
()n
i i X n χσ
=∑
() n
i
c X
t m ==
∑
∴
c=
(3) 由(2)可知
2
2
2
1
()
n
i
i
X
n
χ
σ
=
∑
2
2
2
11
2
2
2
11
(,)
n n
i
i
i i
n m n m
i
i
i n i n
X
d X n
n
d F n m
X
m
X m
σ
σ
==
++
=+=+
=
∑∑
∑∑
∴
m
d
n
=
1.25 证明：∵2
11
(,)
X Nμσ
分布
∴22
1
1
()(1)
i
Xμ
χ
σ
-
∴
1
22
1
1
11
()()
n
i
i
X
n
μ
χ
σ
=
-
∑
同理
2
22
2
2
12
()()
n
i
i
Y
n
μ
χ
σ
=
-
∑
1
1
22
2
221
1
221
1
11
12
222
2
1122
112
()
()
(,)
()()
n
n
i
i
i
i
n n
i
i
i i
X
n
n X
F n n
Y
n Y n
μ
σμ
σ
μ
σμ
σ
=
=
==
-
-
=
-
-
∑
∑
∑∑
第二章
2.1 解：(1) ~()X Exp λ,∵总体均值1
μλ
=
，令ˆX μ
=，即1
ˆλ
=X ， ∴ 参数λ的矩估计为
1
X。

(2) ~(,)X U a b ,∵总体均值2a b μ+=，令ˆX μ=，即ˆˆ2a
b X += (1)
又∵总体方差22
()12b a σ-=，令22
ˆS σ=，即22ˆˆ()12
b a S -= (2)
联立(1)(2)，得：
ˆa
X =
，ˆb X = (3) ∵1α=1
1
1
()1
E X x x
dx x dx θθ
θθθθ-===
+⎰
⎰，令1ˆX α
=，即ˆˆ1X θθ
=+
∴ 参数θ的矩估计为
1X
X
-。

(4) ∵1α=10
()()(1)!(1)!k
k k x
x x k
E X x x
e dx e dx k k βββββ
+∞
+∞
---=
=
=--⎰⎰
，令1ˆX α
= ∴ 参数β的矩估计为
k
X。

(5) ∵1α=()1
()x a a
E X x e dx a λλλ
+∞
--=
=+
⎰
,
2α=2
2()2211
()()x a a
E X x e dx a λλλλ
+∞
--=
=++⎰
令1ˆˆa
X λ+=，2221111ˆ()ˆˆn i i a X n λλ
=++=∑，解之得
ˆX θ=
ˆa = (6) ∵总体均值mp μ=，令ˆX μ
=，即ˆmp =X ， ∴ 参数p 的矩估计为
X
m。

2.2 解：(1)~()X Exp λ,则X 的概率密度为,0
(;)0,0
x e x f x x λλλ-⎧>=⎨≤⎩
∴λ的似然函数为1
1
()(),(0,1,2,,)n
i
i
i n
x x n i i L e e
x i n λ
λ
λλλ=--=∑=
=>=∏
对数似然函数为1
ln ()ln n
i i L n x λλλ
==-∑
令1
ln ()0n i i L x n λλλ=∂=-=∂∑
解得1
1
n
i
i n
x
x
λ∧
==
=
∑ ∴ λ的极大似然估计量1X
λ∧
=
(2)~(,)X U a b ，X 的概率密度为1
,(;,)0,a x b f x a b b a ⎧≤≤⎪
=-⎨⎪⎩其他
由于12,,,n a x x x b ≤≤ ，等价于(1)(),n a x x b ≤≤。

作为a,b 的函数的似然函数为(1)()1
,,()(,)0,n n
a x x
b b a L a b ⎧≤≤⎪-=⎨⎪⎩
其他
∴ 对于满足条件(1)(),n a x x b ≤≤的任意a,b 有()(1)11
(,)()()n n
n L a b b a x x =
≤
-- 即(,)L a b 在(1)(),n a x b x ==时取到最大值()(1)()n
n x x --。

∴ a,b 的极大似然估计值为(1)()
ˆˆ,n a x b x == (3)θ的似然函数为1
11
1()()()n
n
n
i
i i i L x
x θθθθθ--===
=∏∏，其中12(0,,,1)n x x x <<
对数似然函数为1
ln ()ln (1)(
ln )n
i
i L n x θθθ==+-∑
令1
ln ()ln 0n
i i L n x θθθ=∂=+=∂∑
解得，1
ˆln n
i
i n
x
θ
==-∑
∴ θ的极大似然估计量是1
ˆln n
i
i n
X
θ
==-∑
(4)β的似然函数为111
11
()()(1)![(1)!]n
i i i k
nk
n
n
x x k k i i
n i i L x e x e k k β
ββββ=----==∑⎛⎫== ⎪--⎝⎭∏∏ 其中，12(,,,0)n x x x >
对数似然函数为1
1
ln ()ln ln[(1)!](1)
ln n n
i
i
i i L nk n n k x x
βββ===--+--∑∑
令1ln ()0n
i i L nk x βββ=∂=-=∂∑
得，1
ˆn
i
i nk
k
x
x
β
===
∑ ∴ β的极大似然估计量是ˆk X
β
= (5),a λ的似然函数为
1
1
()
()
121
(,),(,,,)n
n
i i i i i n
x a x na
x a n
n
n i L a e
e
e
x x x a λ
λ
λλλλλλ==---+--=∑
∑===>∏
由上式易知，()(1)min()i a x x ≤=，当(1)a x =时，(,)L a λ取最大值，
∴ (1)
1
11ˆn
i i n
x a x x x na
λ
===
=---∑ ∴ λ的极大似然估计量为(1)
1
ˆx X λ
=-，a 的极大似然估计量为(1)ˆa
X = (6)X 的分布律为{}(1),0,1,x
x
m x
m P X x C p p x m -==-=
∴ 似然函数为1
1
1
1()[(1)
]()(1)
n
n
i
i
i i i
i i i n
n
x n m x x x m x x m
m
i i L p C
p p C p
p ==⋅-
-==∑
∑=
-=⋅⋅-∏∏
对数似然函数1
1
1
ln ()ln ()ln ()ln(1)i
n
n n
x m i i i i i L p C x p n m x p ====
++⋅--∑∑∑ 令11ln ()01n
n
i i
i i x n m x d L p dp p p ==⋅-∑∑=-=- 解得1
ˆn
i i x x
p
nm
m
=∑==
∴ p 的极大似然估计量ˆX p
m
= 2.3 解：X 的概率因数为1{}(1)k P x k p p -==- (1,2,)k =⋅⋅⋅⋅⋅⋅
∴P 的似然函数为:1
1
1
()(1)
(1)(1)n
i
i i n
x x n n
i L P p p p p p =--=∑⎡⎤=
-=--⎣⎦∏
对数似然函数为1
()()(1)(1)n
i i LnL p nLn p nLn p x Ln p ==--+
-∑
令
()
0Ln p p
∂=∂ 1111111
01111n i i n n x n n nX p p p p p
p =∴+-=+-=----∑ 解得p 的极大似然估计为1
ˆp
x =, ∴ p 的极大似然估计为1ˆp
x =. 2.4
解：由题知X 应服从离散均匀分布，
1
1()0 k N
p x k N ⎧≤≤⎪==⎨⎪⎩其它
()2
N E X =
矩估计： 令 7102
N
∧
= 1420N ∧
∴=
极大似然估计：1
1710()0 N
L N N ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩ 其它
要使()L N 最大，则710N = 710N ∧
∴= 2.5 令x u μ
σ
-=
22
2
()22
0.025x u dx du μσθ
-+∞
+∞
--∴=
=⎰
0.975u θμ
σ
-∴
= 1.96θσμ∴=+
又2,μσ 的极大似然估计分别为2,X S
1.96X θ
σμ∴=+=
2.6 解: (1) ()(1) 2.14 2.090.05n R X X =-=-=
∴ 5
ˆ0.4299*0.050.214950.0215R
d σ
===≈ (2) 把这些数据等分为三组，每组6个数据： 2.14，2.10，2.15，2.13，2.12，2.13， 2.10，2.15，2.12，2.14，2.10，2.13， 2.11，2.14，2.10，2.11，2.15，2.10， 10.05R =，20.05R =，30.05R =
6
1
(0.050.050.05)0.05
3
1
ˆ0.39460.050.0197R R d σ=++===⨯=
2.7 解：(1) X 服从均匀分布(,1)U θθ+
∴ 1
1()22E X θθθ++=
=+,2(1)1()1212
D X θθ+-==
111
()
1112()()()2
n
n
i i i i n E X E X E X n n n θθ==+====+∑∑
∴ X 是θ的有偏估计量，其偏差为1()2
E X θ-= (2) 取12Y X =-，∵1111
()()()()2222
E Y E X E X E θθ=-=-=+-= ∴ 1
2
X -
是θ的无偏估计量。

(3) 均方误差为
222()111
(,)()[()]()2212D X MSE X D X E X n n
θθθθ=+-=
++-=+ 2.8证明：∵ 11212121212
ˆ()()333333E E X X EX EX μ
μμμ=+=+=+= 21232
ˆ()55E EX EX μ
μ=+= 31211
ˆ()22
E EX EX μ
μ=+= ∴ 1ˆμ
，2ˆμ，3ˆμ都是μ的无偏估计量。

∵ 21121212145
ˆ()()3
3999
D D X X DX DX μ
σ=+=+= 22129413ˆ()252525D DX DX μσ=+=
2312111ˆ()442
D DX DX μ
σ=+= ∵ 3ˆ()D μ
最小 ∴ 估计量3ˆμ最有效。

2.9解：要使1
2
11()n i i i C X X -+=-∑为2
σ的无偏估计,需12211()n i i i E C X X σ-+=⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
∑
()11222111111112
211111111
2
2111111()2()2()()()[()()]2()()[()()](1)(n n i i i i i i i i n n n i i i i i i i n n n i i i i i i i i i E C X X CE X X X X C E X E X E X E X C D X E X E X E X D X E X C n --+++==---++===---+++===⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎡⎤=-+⎢⎥
⎣⎦
⎧⎫=+-++⎨⎬
⎩⎭=-∑∑∑∑∑∑∑∑22222
22
)2(1)(1)()2(1)u n u n u C n σσσσ⎡⎤+--+-+⎣⎦
=-= ∴ 1
2(1)
C n =
-
2.10 证明：~()X P λ，∴ (),()E X D X λλ==
*2*2[(1)]()(1)()(1)E X S E X E S αααααλαλλ+-=+-=+-= ∴ 命题得证。

2.11
令 00
U θ∈所以 0()0E θ= ()
211
()(1)!
!
k
k
k k k E e e e k k λλλλλθ∞
∞
---==-=-==∑
∑
001
(())()0!
k
k E k e k k λλθθ
∞
-===∑
令t λ=- 01()()0!k t k t e k k θ∞
=-∴=∑ 201
()()0!k t
t k t e e k k θ∞-=-∴=∑
01()()0!k t k t e k k θ∞
-=-∴=∑ 00011
()()(1)0!!k k k k k E e e k k λλλλθθθθ∞∞
--==-∴=-==∑∑ (1)k θ
=-是2e λθ-=的唯一无偏估计。

2.12
设()g X 是2p 的无偏估计
(1,)X B p
2(())(1)(0)(1)[(1)(0)](0)E g X g p g p g g p g p ∴=+-=-+≠
所以2
p 的无偏估计不存在
2.13 证明：(1) ~(1,)X B p ，∴ (),()(1)E X p D X p p ==- 2
2
22(1)
()()()p p E X D X E X p p n
-=+=+≠ ∴ 命题得证。

(2) 2
11()()()n n E X X E X E X p p p ==⨯= ∴ 命题得证。

(3) ∵ 1
()(1)
I p p p =
-,则有
2
2222
1113324
24441()
()()()(1)
4(1)14(1)()
n n n n p p nI p e D X X n E X X E X X p p p p p p n p p n p p ==⨯
----=⨯=--
2.14解：泊松分布{}!
x
P X x e x λ
λ-==
，即分布律是(;)(0,1,2,)!
x
p x e x x λλλ-=
=
则有ln (;)ln ln(!)p x x x λλλ=--
∴ 222
2()()[ln (;)](1)X E X I E p X E λλλλλλ
∂-==-=∂ 已知(),()E X D X λλ==
2
()
1
()D X I λλ
λ
=
=
设T 是θ即2
λ的无偏估计量，则有
223
[()]44()1()g D T nI n n
λλλλλ
'≥==
∴ 参数θ的无偏估计量的R-C 下界是3
4n
λ。

2.15 解：因为ˆθ是θ的有效估计量
ˆˆˆ()()()E u
E a b aE b a b u θθθ=+=+=+= 221ˆˆˆˆ()()()()D u D a b a D a D θθθ=+=≤ （其中,1
ˆθ是θ的任意无偏估计量中的一个） 所以 ˆu
是u 的有效估计量
2.19
11221122{,,,,}
{,,,}{}
n n n n P X x X x X x X x P X x X x X x X x P X x =========
=
11221
{,,,,}!
n n n n
i i P X x X x X x X x e x λλ-======
∏
121
11200
1
1
{}!
n n x x x x x x x n n
x x x i i P X x e
x λ
λ------======∑∑∑
∏
121
1
1211221
00
1
1
1
{,,,}1
!!
n n n n n
x x x x x x x
i n
i x x x i i P X x X x X x X x x x -----=====∴=====
∏∑∑∑
∏
1122{,,,}n n P X x X x X x X x ==== 不依赖于λ X 是λ的充分统计量。

2.21 （1）
()X Exp λ 2
1
1
(),()E X D X λ
λ∴=
=
设 00
U θ∈ 0()0E θ∴= 012120
(,)0n n x n n x x x e dx dx dx λθλ+∞
+∞
-∴=⎰⎰
两边对λ求导：
012120
1(,)()0n n x n
n x x x n e x dx dx dx λθλλ
+∞
+∞
-∴-=⎰⎰ 01(())0E x θ
λ
∴-= 0()0E X θ∴= 又1
()()E X E X λ
==
X 是
1
λ
的一致最小方差无偏估计。

（2）
211()()D X D X n n λ
=
= (;)n nx L x e λλλ-= ln (;)ln L x n n x λλλ=-
ln (;)1
()L x n x δλδλλ
=-
22222ln (;)1()()()()L X n
I E n E X n D X δλλδλλλ∴==-==
[]2
2221()1()g n nI n n λλλλλ
'==
[]2
()()()
g D X nI λλ'∴≠
X 不是
1
λ
的有效估计。

2.24 解
: X U =
,当n 充分大时,根据中心极限定理, U 近似服从(0,1)N 分布
因此, n 充分大时, /2{}1P U u αα<≈-
即
/2/21X P U U ααα⎧⎫⎪⎪
-<
<≈-⎨⎬⎪⎪⎩⎭
将不等式
/2/2X U U αα-<<化成
/2/2/2/2((22u u x u x u n n
ααααλ+
<<+ 所以λ的置信度近似为1α-的置信区间为
/2/2/2/2((22u u x u x u n n αααα⎛⎫+
++ ⎪⎝⎭
2．26 解： 因为总体服从正态分布，所以
01U N =
（，）
对于给定的1α-，查标准正态分布表可得2u α，使得 2()1P U u αα<=- 即：
22()1P X p X ααα<<+=-
区间的长度2d L α=<，
所以 2
2
n L
α>
2.27 解: X 满足(1,)B p 分布
因为p 的置信度近似为1α-的置信区间为
11((22b b a a ⎛⎫+
⎪⎝⎭
222
/2/2
,2,a n u b nx u c nx αα=+=+= 精度为0.04,抽样得ˆ0.72p
= 所以区间应为(0.68,0.76)
0.08=,解得485n ≈
2.30 解: (1)
2
*2
122
0.0250.9751676.410,576.4,()19(9)19.032,(9) 2.7
n i
i n x s x x n χχ====-=-==∑ 所以2
σ得置信区间为
22
**22/21/2(1)(1)676.4676.4,,(35.54,250.52)(1)(1)19.032 2.7n s n s n n ααχχ-⎛⎫--⎛⎫
== ⎪ ⎪ ⎪--⎝
⎭⎝⎭ σ的置信区间为(5.963,15.829).
(2) 2
0.05(9)16.919χ=
2
σ的单侧置信下限为2
*2(1)676.439.979(1)16.919
n s n αχ-==-
所以σ的单侧置信下限为6.3229.
2.33 解：大样本时，22
12
12()~(,)S S X Y N n n
μμ--+ ∴12μμ-的置信区间为
(()X Y u α
- ) 100n = 171X = 1 3.5S = 161Y = 2 3.8S =
0.5166= 20.025 1.96u u α==
∴12μμ-的置信区间为[8.9874,11.0126] 2.35 解：
21
2
2
2*21122*11~(1,1)n
n S F n n S
σσ--
∴22
12
σσ的置信区间为 [
2
12
2
*1212*2(1,1)n n S F n n S
α--,
2
122
*11212*2(1,1)n n S F n n S
α---]
单侧置信下限为
2
122*112*2(1,1)n n S F n n S
α--，
单侧置信上限为
21
22
*1112*2(1,1)n n S F n n S
α---
1210n n ==
2
1*21110.54191n A n S S n =
=- 22
*2
2220.60651
n B n S S n ==- 120.025(1
,1)(9,9) 4.03F n n F α--== 0.9750.02511
(9,9)(9,9) 4.03
F F ==
0.050.951
(9,9) 3.18(9,9)
F F ==
∴2
2
12
σσ的置信区间为[0.2217,3.6008] 单侧置信下限为0.2810，单侧置信上限为2.8413
第三章
3.1 证明：
(1).125{(,x ):5 1.645}(1.645)1(1.645)10.950.05p x x ϕϕ⋯≤-=--=-=，＝ (2).125{(,,):1.485 2.066}(2.066)(1.48)0.98060.93060.05P x x x ϕϕ⋯≤≤=-=-= (3).125125{(,,):5 1.96}{(,):5 1.96}(1.96)1(1.96)P x x x x x x φφ⋯≤-⋃⋯≥=-+--
22(1.96)22*0.9750.05φ=-=-=
由此可见这三个集合为拒绝域的检验的显著水平都是0.05。

∴ 命题得证。

3.2
~(0,1)N
取U =
，当U 过分偏大将不利于H0,故拒绝域应有形式W={U ≥k},
显然当H0成立时，有： U
≤
()()00P W P U k μμ∴=≥
≤0P k μ⎫⎪≥⎪⎪
⎭
=1112
2212α
ααμμμ---⎛
⎫⎛
⎫⎛
⎫
Φ--Φ=-Φ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11*22
α
α-=-
= 所以以W 为拒绝域的检验符合水平为α的要求。

3.3.解：依题意，总体2
~(,)X N μσ，其中μ，2
σ均未知，要检验假设
0:83.8%H μ=1:83.8%H μ↔≠
由已知可得：10;n = 83.88%;x = 0.003258;s *
=
0)/83.8%)/0.0032580.7171t x s μ*=--=
又自由度19n -=，对给定的水平0.05α=，查t(9)分布表，得0.025(9) 2.2622t = 由于0.7171 2.2622t =<，因而接受原假设0H ，认为更换了原料之后，成品率没有
发生变化。

3.4 解：依题意，总体X ～()
2N ,μσ，其中μ，2σ均未知。

要检验假设
01:112.6:112.6H H μμ=↔≠
由已知可得：7n =，112.8x =，0.9233;s *=
)0.5731*
o
x t S
μ-=
=，
又自由度16n -=，对给定水平0.05α=，查t(6)分布表得
()0.025
6 2.4469t =，由于
0.5731 2.4469t =<，所以接受原假设0
H
，即认为热敏电阻测温仪间接
测量温度无系统偏差。

3.5 解：依题意，总体2~(,)X N μσ，其中μ，2σ均未知，要检验假设：
01:1260:1260;H H μμ=↔≠
由已知可得：4n =，1267x =， 3.6515;s *=
0)/1260)/3.6515 3.8340t x s μ*=-=-=
又自由度13n -=，对给定的水平0.05α=，查t(3)分布表，得0.025(3) 3.1824t = 由于 3.8340 3.1824t =>，因而拒绝原假设0H ，认为锰的熔点不是1260。

3.6 解：依题意，总体X ～()
2N ,o μσ，o μ＝10已知。

要检验假设
01:0.1:0.1H H σσ=↔≠
由已知可得：n ＝5，
()
2
2
1
2
λ
n
i
i o
x μσ=-=
∑＝0.98
给定水平0.05α=，查()20.975
50.831λ=，()2
0.025512.833λ=，
由于
()20.975
50.831λ
=<20.98λ=<()2
0.025512.833λ=，所以接受原假设0H ，即可
认为总体标准差为0.1。

3.7 解：依题意，总体2
~(,)X N μσ，其中μ，2σ均未知，要检验假设：
01:0.048:0.048H H σσ=↔≠
上述假设等价于2201:0.002304:0.002304H H σσ=↔≠ 由已知可得：
22225;1.414;0.00778;
(1)/4*0.00778/0.00230413.5069
n x s n s χσ**====-==
对于0.05α=，查2(4)χ分布表，得20.025(4)11.143χ=
由于2
13.506911.143x =>，因而拒绝0H ，认为这一天纤度的总体标准查不正常。

3.8 解：依题意，总体X 和Y 分别服从正态分布()2
1
N ,μσ和()2
2
N ,μσ，其中2
σ
未知。

要检验假设：
0121:12H :H μμμμ=↔≠
经计算，有
1
1
2*13,80.02,0.000551x n n S ===，
2
22
*8,79.97875,0.00098392y n n S ===
0.0266S ω=
=
3.4519x y t =
=，
对给定水平0.05α=，查自由度为
1
2
219n n
+-=的t 分布表得，()0.02519 2.0930t =。

()0.025
o,
1,
19 2.0930H H t 3.4519t ==>∴ 拒绝接受即认为这两种方法的总体均值不相等。

3.9．解：由题意可知，总体X 和T 分别服从正态分布1(,5)N μ和正态分布2(,8)N μ，要检验假设：
012112::H H μμμμ=↔≠
经计算得：
125;24.4;5;27;
()/(24.427)/ 1.6125
n x n y v x y =====-=-=-
对于给定的水平0.05α=，查标准正态分布表，可得0.025 1.9600u =
由于 1.6125 1.9600v =<，可以接受0H ，认为两批烟叶的尼古丁平均含量相同。

3.10 解：依题意，总体X 和Y 分别服从正态分布()2
1
1
N
,μσ和()2
2
2N ,μσ，其中
1
76μ
=，279μ=。

要检验假设：
2
2
2
2
01 1212H :H :σσσσ=↔≠
经计算，
()()()()
10
10
2
2
1
2
12
11
10
2
1
110
2
2
1
10,30.39,21.87
30.39
1.389
21.87
i i i i i
i i i n n
x y x F y μμμμ========---===-∑
∑∑∑ 对给定水平0.05α=，查F （10，10）分布表，得：
()()()
()()
0.0250.975
0.025
0.975
0.025
10,10 3.72
1
10,100.268
10,1010,1010,10F F F F F 1.389F ===<<∴= 因此，接受原假设0H ，即可认为这两种方法的得率的方差无显著差异。

3.11 解：要检验两总体是否服从同一正态分布，须先检验： 2222
01121112::H H σσσσ=↔≠ 若01H 成立，在检验假设： 021212
12::H H
μμμμ=↔≠
1μ ，2μ 未知，01H 成立时，2
2*112*2
~(1,1)S F F n n S
=
--
拒绝域为
{}2121212(1,1)(1,1)W F F n n orF F n n αα-=>--<--
18n = 15.0125X = 2*1
0.0956S
=
29n = 15Y =.00 2
*
20.0275S =
2
2*1*2
3.4764S F S
=
= 2120.025(1,1)(7,8) 4.53F n n F α--==
1120.9750.0251
(1,1)(7,8)0.2041(8,7)
F n n F F α---==
=
0.2041 4.53F <<，所以接受原假设01H ，认为22
12σσ= 2212σσ=但21σ，22σ未知，02H 成立时，
12~(2)T t n n =
+-
拒绝域为{}
212(2)W T t n n α=>+- 0.2435w S =
0.4859= 0.1057T = 2120.025(2)(15) 2.1315t n n t α+-== 2.1315T <，所以接受原假设02H ，认为12μμ=
所以X ，Y 服从同一正态分布 3.14
01:22:22H H μμ<↔≥
令
X U =
，当H0
成立时有~(0,1)X U N ≤ 拒绝域形式W={U ≥k}
()(
))000H H H X P W P U k P k S μ⎛⎫
- ⎪=≥≤≥ ⎪⎝⎭
50,21.8,0.9n X S === 1.5713U ⇒=-
0.1α=，得0.9 1.285k u U ==>
接受原假设
3.16 解：由题知，要检验假设： 012112::H H μμμμ>↔≤ 大样本时，当12μμ=
时~(0,1)U N =
拒绝域为{}W U u α=<-
8.03U =
= 0.05 1.6448u u α==
1.6448U >-，所以接受原假设，甲枪弹的平均速度比乙枪弹的平均速度显著的大 3.17 解：由题知，数据与3.11题相同，要检验假设：
2222
012112
::H H σσσσ>↔≤ 拒绝域应为2
2*112*2(1,1)S W F n n S α⎧⎫⎪⎪=>--⎨⎬⎪⎪⎩⎭
2
2
*1*2
3.4764S F S
=
= 120.05(1,1)(7,8) 3.5F n n F α--==
3.5F <，所以接受0H ，乙机床加工精度比甲机床的高 3.18 解：由题知~(01)X -，要检验假设 01:0.05:0.05H H μμ≥↔<
大样本时，~(0,1)U N =
U 过分偏大将不利于0H ，所以拒绝域应为：{
}2
W U u α=>
0.07m X n =
=
0.2551S ==
1.5680U =
= 0.05 1.6448u u α== 1.6448U <，所以接受原假设0H ，这些数据支持负责人的说法
3.19 解：用2χ拟合检验，n=112，r=4 0H 成立时，2
112
1
() 2.2n
i i i i m np K np =-==∑
22(1)(3)7.815r χχ-==
1127.815K <，所以接受0H ，认为X 服从超几何分布 3.21解：提出假设0H ：)(~λExp x 其中λ为未知参数 先由题中数据可以算出λ的极大似然估计67
.1501
1^
=
=
-
x
λ
以^
λ替换λ，把ｘ可能取值的区间[0,∞)分为不相交的６个子区间，
当0H 成立时，分别计算各组的理论频数i np 和实际频数i m ，可得小表：
组号ｉ 1
2
3
4
5
6
分组区间 [)50,0
[)100,50 [)150,100 [)200,150 [)250,200 [)+∞,250
ｐi 0.28240 0.20265 0.14542 0.10435 0.07488 0.1903 ｎｐｉ 3.389 2.432 1.745 1.252 0.899 2.284 ｍｉ
2
2
1
3
3
1
那么可的∑==-=6
12
12036.2176i i
i np m k
本题中分组数ｒ＝６，未知参数个数ｋ＝１，自由度ｒ－ｋ－１＝４
对给定1.0=α查)4(2χ分布表，可得779.7)4(21.0=χ可见)4(2
1.012χ<K
所以拒绝原假设，即认为仪器的无故障时间不服从指数分布。

3.23解：对于本题，提出假设0H ：F=G G F H ≠:1，拒绝域为ｗ＝{α,2,121n n n n D D ≥} 对于甲也就是F 分布有下表：
i X(i) ｙ（ｉ） ))((i y G n ))1((-i x F n ))((i x F n
di
1
19.0
19.2
71
71
71
2 19.7 19.4 72
71
72
71
3 19.8 19.7 7
3
7
2
7
3
7
1
4 20.0 19.8
74
73
74
71
5 20.1 20.5
75
74
75
71
6 20.4 20.6
7
6
75
7
6
71
7 20.5 20.8 1
7
6 1
7
1
∴712,1=
n n D n=37777=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⨯<100 56481.02.03,2,1==，D D n n α ∴2.0,32,1D D n n < ∴接受原假设，认为两个工人加工的主轴外径服从相同的分布。

3.24解： 地震与水位变化有关
地震与水位变化无关::10H H ↔
-0.0189700
10001520180)
8290261898(17001700=⨯⨯⨯⨯-⨯=
K
化无关
可以认为地震与水位变∴<=)
1(||841
.3)1(2
05.01700205.0χχK
3.25解：记疗效为X ，年龄为Y ，对于指标X ，取３种值：分别记显著、一般、较差分别
为:A1,A2,A3;对于指标Y 也取三种值：儿童B1、成年B2、老年B3
于是有r=s=3，本题要检验如下假设：
　。

:3,2,1,:10H i p p p H j i ij ↔==至少对某组（ｉ，ｊ）有j i ij p p p 。

≠ 其中3,2,1,}{},{},,{========j i Bj Y p p Ai x p p Bj Y Ai x p p j i ij ，。

那么可得：
∑
∑==-
=
3
1
2
3
1
)(j j
i j
i ij i n n
n n n n n n k 。

=
300
91*128)3009112832(300100128)30010012838(300109128)30010912858(2
22⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-
+30091117)3009111728(2⨯⨯-
+300100117)30010011744(2
⨯⨯-+30091117)3009111745(2⨯⨯- +30010955)3001095523(2⨯⨯-+30010055)3001005518(2⨯⨯-+300
9155)
3009155114(2
⨯⨯- =2.8404+0.5104+1.2003+4.9527+0.6410+2.5483+0.4554+0.1767+0.4316
=13.757
拒绝域为ｗ＝))}1)(1(({2
--≥s r k n αχ 又488.9)4(205.0=χ 可见：n k >)4(205.0χ
所以拒绝原假设，也就是说疗效与年龄无关
第四章
4.1 解：假设0H : 流动速率对硅晶圆蚀刻的均匀性无显著影响。

方差分析表如下图：
其中r=3，n=18，对于给定的水平0.05α=，0.05F (2,15)=3.68，因为F=3.5852<0.05F (2,15)=3.68，所以接受0H ,认为流动速率对硅晶圆蚀刻的均匀性无显著影响。

4.2 解：假设0H :三组玻璃片的平均折射率无显著差异。

方差分析表如下图：
其中r=3，n=30，对于给定的水平0.05α=，0.05F (2,27)=3.35，因为F=32.05>0.05F (2,27)=3.35，所以拒绝0H ,认为三组玻璃片的平均折射率有显著差异。

4.3 解：假设0H :三种净化器的行车里程之间无显著差异。

方差分析表如下图：
其中r=4，n=12，对于给定的水平0.05α=，0.05F (3,8)=4.07，因为F=7.10>0.05F (3,8)=4.07，所以拒绝0H ,认为三种净化器的行车里程之间有显著差异。

4.4 （1）
0H ：1δ=…=r δ=0，即五种抗生素与血浆蛋白质结合的百分比的均值之间没有显著差别
1H ：1δ…r δ不全为零，即五种抗生素与血浆蛋白质结合的百分比的均值之间有显著差别
α=0.05
计算结果：
所以,拒绝0H ，接受1H 。

可以认为五种抗生素与血浆蛋白质结合的百分比的均值之间有显
著差别。

（2）置信区间
4.5 解：(1)在方差分析表中填入所缺项目：
(2)假设01H ：不同处理方案各组均值无显著差异；
02H ：不同区组方案因子各组均值无显著差异。

其中r=3，s=3，n=9，对于给定的水平0.05α=，0.05F (2,4)=6.94，因为1F ＝5.5427<0.05F (2,4)=6.94, 2F =0.2286<0.05F (2,4)=6.94，所以各组均值无显著差异。

4.6 解：依题意提出假设
01H ：不同促进剂对定强无显著影响 02H ：不同份量的氧化锌对定强无显著影响
4
111141j j S X ∙===∑ 4
21114991.5j j SS X ∙===∑
4
221147.5j j S X ∙===∑ 4
2221
5458.75j j SS X ∙===∑
4
331156j j S X ∙===∑ 4
2331
6111.5j j SS X ∙===∑
3
111101.5i i S X ∙===∑ 3
2111
3442.25i i SS X ∙===∑
3
221109i i S X ∙===∑ 3
2221
3963.5i i SS X ∙===∑
3
331113i i S X ∙===∑ 3
23314264.5i i SS X ∙===∑
3
441
121i i S X ∙===∑ 3
2441
4891.5i i SS X ∙===∑
3
41
1
444.5ij i j S X ====∑
∑,3
4
2
1
1
16561.75ij i j SS X ====∑
∑ 22
11128.2917r A i i Q S S S rs ==-=∑ ,2211166.0625s B j j Q S S r rs
==-=∑
2
196.7292T Q SS S rs
=-
=, 2.3750E T A B Q Q Q Q =--= _
14.145851A A Q Q r ==-,_22.02081B B Q Q s ==-,_
0.3958(1)(1)
E
E Q Q r s ==--
_
0.05_
35.7369(1,(1)(1))(2,6) 5.14A A E Q F F r r s F Q α=
=>---==
_0.05_55.6362(1,(1)(1))(3,6) 4.76B B E
Q F F s r s F Q α==>---==
由此可见，两种因素对定强都有显著影响。

4.8解：补充好的因素方差分析表如下：
方差来源
离差平方和
自由度 均方离差
F 值
A 130 1 130 15.6 B
630 2 315 37.80 ⨯A B
40
2 20 2.4 误差 150 18 8.3333
总和
950
23
A 、因素
B 以及因素A 、B 的交互作用对结果的影响大小，若给定参数α可以对相关假设进行检验。

4.10解：正交表的选择范围为2水平且至少有6列的正交表，那么选择正交表：）（7
8
2L 作表头设计
因素 A B ⨯A B
C D ⨯C D
列号 1 2 3
4 5 6
7 可作试验方案如下：
A 1
B 2 ⨯A B 3
C 4
D 5 ⨯C D
6 7 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 3 1 2 2 1 1 2 2 4 1 2 2 2 2 1 1 5 2 1 2 1 2 1 2 6 2 1 2 2 1 2 1 7 2 2 1 1 2 2 1 8
2
2
1
2
1
1
2
4.11解：（1）先认为表头如下：
因素 A B ⨯A B
C ⨯A C
D 列号
1
2
3
4
5
6
7
由题意计算得：
83.7T A 1= 11.6T A 2= 14.7T B 1= 80.6T B 2=
25.7T C 1= 69.6T 2C = 76.5T D 1= 18.8T D 2= 55.7T B A 1=⨯ 39.6T B A 2=⨯
84.7T C A 1=⨯ 10.6T C A 2=⨯
计算极差可得：
72.1R A = 34.0R B = 56.0R C = 42.2R D = 16.1R B A =⨯ 74.1R C A =⨯
那么由极差可得各因素（包括虚因素）的重要性依次为：
D C A ⨯→A →B A ⨯→C →B →
要求效价越高越好，这样各因素应取较大的值，显然因素D 的重要性可以确定取水平2D ，
对于虚因素C A ⨯，各种情况取值如下：
1C
2C
1A 4.49 3.34 2A
2.76
3.35
根据以上表格可得因素A 和C 分别取水平1A 和1C ，对于最后一个因素B 显然要取水平1B ， 这样可得最优试验方案为2D 1A 1C 1B 。

（2）由（1）中数据可得：7425.1y =
7778.1y y Q 2
8
1
i i T =-=∑
=）（
3698.08
72.1Q 2
A == 01445.0834.0Q 2
B == 0392.0856.0Q 2
C == 73205.0842.2Q 2
D ==
1682.0816.1Q 2B
A ==⨯ 37845.08
74.1Q 2C A ==⨯
可得07565.0Q Q Q Q Q Q Q Q C A B A D C B A T e =------=⨯⨯
T Q 的自由度为7，A Q ，B Q ，C Q ，D Q ，B A Q ⨯，C A Q ⨯的自由度都为1，e Q 的自由度也
为1，那么有：
8883.4Q Q F e A A ==
1910.0Q Q
F e B B == 5182.0Q Q F e
C C == 6768.9Q Q F e
D D ==
; 2234.2Q Q
F e B A B A ==⨯⨯ ;0026.5Q Q F e
C A C A ==⨯⨯ 对给定的01.0=α，查F 分布表，得405211F 0.01=），（ 由方差分析来看各因素对试验指标均无显著影响。

4.14解：采用L 16（212
）正交表：
A B C D E
指标
1 1 1 1 1 1 694
2 1 1 1 1 1 664
3 1 2 2 2 2 71
4 4 1 2 2 2 2 650
5 2 1 1 2 2 650
6 2 1 1 2 2 646
7 2 2 2 1 1 670
8 2 2 2 1 1 652
9 3 1 2 1 2 646 10 3 1 2 1 2 600 11 3 2 1 2 1 630 12 3 2 1 2 1 670 13 4 1 2 2 1 660 14 4 1 2 2 1 670 15 4 2 1 1 2 670 16
4 2 1 1 2 650 T 1j 680.
5 653.75 659.25 655.75 663.75 T 2j 654.5 663.25 657.75 661.25 653.25 T 3j 636.5 T 4j 662.5 R j
44 9.5 1.5 5.5 10.5
由于产量越高越好：A1 E1 B2 D2 C1。