浅谈辩证思维在中学数学解题中的应用

浅谈辩证思维在中学数学解题中的应用
龙岩二中 郭明荣
恩格斯在《自然辩证法》中指出：“数学：辩证的辅助工具和表现形式。

”他充分肯定了辩证思维在数学中的存在。

在数学教学中教师应注意培养学生的辩证思维能力，这不仅有利于学生对数学知识的深刻理解和对数学思想方法的熟练掌握，而且有助于学生形成良好的思维品质和科学的世界观。

本文将从以下七个方面谈谈辩证思维在中学数学解题中的应用。

一、 运动与静止
辩证法认为：运动是绝对的，静止是相对的，它们在一定条件下可以互相转化。

在解数学问题时，可以用“运动”的观点来处理“静止”的问题，反之亦然。

例１、Ａ为椭圆4422=+y x 上任一点，Ｂ为圆31)2(2
2=-+y x 上任一点，求AB 的最大值和最小值。

分析：Ａ、Ｂ两点分别在两条曲线上运动，AB 无法用一个变量表示出来，这就要求动中求静，先将点Ａ固定起来，让Ｂ在圆上运动，则要求AB 的最值，ＡＢ必过圆心Ｃ（０，２），即AB ＝
33+=+AC CB AC ，这时只要求动点Ａ到定点Ｃ的最值。

例２、在正三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中（如图），求相邻两侧面所成二面角的取值范围。

分析：设Ｏ是正三角形ＡＢＣ的中心，θ是相邻两侧面所成的二面角，当PO ∞
→时，3π
θ→ ，当0→PO 时，πθ→，所以πθπ
<<3。

二、 整体与局部
有时在解题过程中，把“局部”拓展为“整体”，从整体上思考问题容易解决；而
有时是先将问题进行分解，转化为较易解决的几个小问题，再将这些小问题合成，使原
问题得以解决。

例３、求y=sinx+cosx+sinxcosx 的最值。

分析：由于x
x x x cos sin 21)cos (sin 2+=+, 所以可把sinx+cosx 看成一个整体进行换元，令sinx+cosx=t )22(≤≤-t ,则2
1212-+=t t y 是t 的二次函数，容易求出它的最值。

例４、计算2004
20031431321211⋅++⋅+⋅+⋅ 的值。

分析：由于1
11)1(1+-=+n n n n ，所以可对每项进行拆分，再得到最后的结果。

三、 特殊与一般
辩证法告诉我们：特殊性中包含普遍性，普遍性存在于特殊性之中。

一方面我们常从特殊的具体的问题中去概括、归纳出一般的问题；另一方面一般问题的规律和方法又用于指导我们去解决特殊问题。

有些问题则是按“特殊→一般→特殊”的方法去获得巧妙解决。

例５、比较20042003与20032004的大小。

分析：为了比较这两个数的大小，先去考察一般问题：1+n n 与n
n )1(+大小关系。

让n 取特殊值：当n=1,2时，1+n n <n n )1(+;当n=3,4,5时，1+n n >n n )1(+;猜想当3≥n ，1+n n >n n )1(+成立。

事 实上，令),,3()1()(1N n n n n n f n n ∈≥+=+则1)1
22()1(/)1()2()()1(122121<+++=+++=+++++n n n n n n n n n n n n n n f n f ,所以 .181
64)3()1()()1(<=<<-<<+f n f n f n f 即1+n n >n n )1(+).,3(N n n ∈≥特别地，取n=2003,则得 .2004200320032004>
四、 正向与反向
解数学问题一般总是从正面入手进行的，但有些问题从正面入手不易解决时，这时可考虑从反面来思考，往往能得到更简捷的方法。

例6、抛掷两个骰子，当至少有一个2点或3点出现时，就说这次试验成功，求一次试验中成功的概率。

分析：若从正面考虑有许多种情况比较麻烦，为此我们进行逆向思考，转化为求其对立事件——没有出现2点和3
点时的概率P=9
4661414=⨯C C ，从而求得所求概率为1－Ｐ＝５／９。

五、 常量与变量
对于一些数学问题，若只停留在题目中所给的常量与变量上，则难以解决，此时若注意常量与变量的相对性，使他们之间进行相互转化，则问题往往能获得巧妙的解法。

例７、解方程关于x 的方程.03)23(522234=+-++-a ax x a x x
分析：这是关于x 的四次方程，一般无法解出，但我们把x 看成常数可转化为关于a 的一元二次方程，即0)252()(323422=+-+-+x x x a x x a ，解得,22x x a -=或22x x a -=，于是容易解出x.
六、 复杂与简单
复杂与简单也是相对的，有些看似复杂的问题其实它是有规律的，有些看似简单的问题却是难以解决的。

例８、设x 、y 、a 、b 均为正实数，且a/x+b/y=1,求x+y 最小值。

分析：若从a/x+b/y=1解出y ，代入x+y 得到x 的函数，然后去求这个函数的最小值比较麻烦，若能把简单的“１”用“a/x+y/b ”来代换，可得到一种很简捷的方法，即x+y=(x+y)∙1=(x+y)(a/x+b/y)=ay/x+bx/y+a+b b a ab ++≥2.
七、 有限与无限
从有限上升到无限是认识上的一个飞跃，有限组成无限，无限离不开有限。

在数学学习中，总是从有限开始的，通过有限认识无限。

例如，无穷数列的通项公式就是利用“有限”去表达“无限”；又如， +++++=n 2
1212121132。

在数学中，数列极限问题、数学归纳法等等都是利用有限去认识无限的。

通过以上分析可以看出，中学数学中蕴含着极其丰富的辩证思想，上述七个方面的辩证思维是从不同的角度进行考察的，事实上，各种思维往往是交织在一起的，相互结合、相互影响、共同起作用的。

我们的数学教学往往偏重于培养学生的形式逻辑思维能力，而对培养学生的辩证思维能力强调不够，因此，我们应充分挖掘数学教学内容中的辩证因素，培养他们的辩证思维能力，这对他们今后的学习也会带来极大的好处。