数学高考大题专项练

高考大题专项练2向量、三角变换与解三角形

1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos A-2cos C

cos B =2c-a

b

.

(1)求sin C的值;

(2)若cos B=1,b=2,求△ABC的面积S.

2.已知△ABC为锐角三角形,向量m=(3cos2A,sin A),n=(1,-sin A),且m⊥n.

(1)求A的大小;

(2)当AB=p m,AC=q n(p>0,q>0),且满足p+q=6时,求△ABC面积的最大值.

3.已知向量a=(cos x,sin x),b=(-cos x,cos x),c=(-1,0).

(1)若x=π

6

,求向量a与c的夹角;

(2)当x∈π,9π时,求函数f(x)=2a·b+1的最大值,并求此时x的值.

4.已知向量a=(cosλθ,cos(10-λ)θ),b=(sin(10-λ)θ,sinλθ),λ,θ∈R.

(1)求|a|2+|b|2的值;

(2)若a⊥b,求θ;

(3)若θ=π,求证:a ∥b .

5.(2014江苏南京期末)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知c=2,C=π.

(1)若△ABC 的面积等于 求a ,b 的值;

(2)若sin C+sin(B-A )=2sin 2A ,求△ABC 的面积.

6.已知向量a = cos x ,-12 ,b =( 3sin x ,cos 2x ),x ∈R ,设函数f (x )=a ·b .

(1)求f (x )的最小正周期;

(2)求f (x )在 0,π 上的最大值和最小值.

答案：1.解:(1)由正弦定理,得2c -a b =2sin C -sin A

sin B ,

所以cos A -2cos C cos B =2sin C -

sin A sin B ,

即(cos A-2cos C )sin B=(2sin C-sin A )cos B ,

化简可得sin(A+B )=2sin(B+C ).

因为A+B+C=π,

所以sin C=2sin A.

因此sin C

sin A =2.

(2)由sin C

sin A =2,得c=2a.

由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B 及cos B=14,b=2,

得4=a 2+4a 2-4a 2×14

,解得a=1,从而c=2.

因为cos B=14,且0<B<π,所以sin B= 154.

因此S=12ac sin B=12×1×2× 154= 154.

2.解:(1)∵m ⊥n ,∴3cos 2A-sin 2A=0.

∴3cos 2A-1+cos 2A=0.

∴cos 2A=14.

又∵△ABC 为锐角三角形,

∴cos A=12.∴A=π3.

(2)由(1)可得m = 34, 32 ,n = 1,- 32 ,

∴|AB |= 214p ,|AC |= 72

q.

∴S △ABC =12|AB |·|AC |·sin A=2132pq.

又∵p+q=6,且p>0,q>0,

∴ p · q ≤p +q 2.

∴ p · q ≤3,∴p·q ≤9.

∴△ABC 面积的最大值为2132×9=18932.

3.解:(1)设a 与c 的夹角为θ,当x=π6

时,a = 32,12 ,

cos θ=a ·c |a ||c | =

32×+12×0

32 + 12 × (-1)2+02

=- 3

2.

∵θ∈[0,π],∴θ=5π6.

(2)f (x )=2(-cos 2x+sin x cos x )+1

=sin 2x-cos 2x= 2sin 2x -π4

. ∵x ∈ π2,9π8 ,

∴2x-π4∈ 3π

4,2π .

∴当2x-π4=3π

4,即x=π2时,f (x )的最大值为 2× 2

2=1.

4.(1)解:∵|a |= cos 2λθ+cos 2(10-λ)θ,

|b |= sin 2(10-λ)θ+sin 2λθ,

∴|a |2+|b |2=2.

(2)解:∵a ⊥b ,∴cos λθ·sin(10-λ)θ+cos(10-λ)θ·sin λθ=0,

∴sin [(10-λ)θ+λθ]=0,

∴sin 10θ=0.

∴10θ=k π,k ∈Z ,∴θ=kπ10,k ∈Z . (3)证明:∵θ=π20

,cos λθ·sin λθ-cos(10-λ)θ·sin(10-λ)θ

=cos λπ20·sin λπ20

-cos π2-λπ20

·sin π2-λπ

20

=cos λπ20·sin λπ20-sin λπ20·cos λπ20=0,∴a ∥b .

5.解:(1)由余弦定理及已知条件,得a 2+b 2-ab=4.

因为△ABC 的面积等于 所以1

2ab sin C= 3,得ab=4.

联立,得方程组 a 2+b 2-ab =4,

ab =4,解得a=2,b=2.

(2)由题意得sin(B+A )+sin(B-A )=4sin A cos A , 所以sin B cos A=2sin A cos A.

当cos A=0时,A=π2

,所以B=π

6.

所以a=4 3

3,b=2 3

3.

当cos A ≠0时,得sin B=2sin A ,由正弦定理得b=2a , 联立,得方程组 a 2+b 2-ab =4,b =2a ,解得a=2

33,b=4 3

3.

所以△ABC 的面积S=12ab sin C=2 3

3.