天津市南开区2021-2022学年高三上学期期末考试数学试题

= 1，即
e2 4
−
3e2 4 (e2 − 1)
=
1，
解 3：双曲线定义 设双曲线的左焦点为 F1，连结 F1P, F1Q．
同解 2 得 △QOF 为等边三角形，所以，∠QOF1 = 120◦．
因为 |OF1| = |OQ| = c，
√
所以 ∠F1OQ = ∠OQF1 = 30◦，从而有 QF1⊥QF, |QF1| = 3c．
如图，四棱锥 P ABCD 中，P A⊥ 平面 ABCD, AB//DC, DA⊥AB, AB = AP = 2, DA = DC = 1, E 为 P C 上一点，且 P E = 2 P C．
3
（ I ） 求证：AE⊥ 平面 P BC；
P
（ II ） 求证：P A// 平面 BDE；
（III） 求平面 AEB 与平面 AED 的夹角的大小．
（ i ） 求 |P Q| 的取值范围； （ ii ） 若 P Q 的垂直平分线交 y 轴于点 T
1 0,
，求直线 P Q 的斜率．
8
第2
得分 评卷人 L
19.（本题满分 15 分） 在等比数列 {an} 中，a1 = 2，且 a2, a1 + a3, a4 依次是等差数列 {bn} 的第 2 项，第 5 项，第 8 项．
解 2：坐标法 因为以 P Q 为直径的圆过点 F ，
Fx
所以，P F ⊥F Q 且 |OQ| = |OP | = |OF | = c, O 为坐标原点．
因为 ∠QOF = π ， 3
所以，△OF Q 为等边三角形，Q √
解得 e = 3 + 1．
√ c 3c
, 22
代入双曲线方程得
c2 4a2
−
3c2 4b2
=c2
−
a2b2 b2 − 3a2
−
3a2b2 b2 − 3a2
=0.
O P
所以，c2 (c2 − 4a2) = 4a2 (c2 − a2) ⇒ e2 (e2 − 4) = 4 (e2 − 1)．
√ 因为双曲线的离心率 e > 1，所以 e2 = 4 + 2 3 =
√ 3+1
2，解得
e
=
√ 3
+
1．
∈
Z，解得
φ
=
kπ
5π , k 6
∈
Z．
因为 − π < φ < π ，所以 φ = π , f (x) = A sin 2x + π ．
2
2
6
6
A 项，因为 f (0) = A sin π = A ，所以，f (x) 过点
A 0,
．
62
2
B 项，由 2kπ + π ⩽ 2x + π ⩽ 2kπ + 3π , k ∈ Z 得 kπ + π ⩽ x ⩽ kπ + 2π , k ∈ Z．
2
6
2
6
3
第3
所以，当 A > 0 时，f (x) 在
ππ ,
上单调递增，在
12 6
:
上单调递减，在
π 2π ,
上单调递增．
63
π 2π ,
63
上单调递减．当 A < 0 时，f (x) 在
ππ ,
12 6
C 项，因为 f
5π
= A sin π = 0，所以，f (x) 的一个对称中心是
5π ,0
2
2
4. A
解：依题意得，不低于 300 h 的电子元件个数为 100 ×
11
3
++
× 1000 = 800．
400 250 2000
5. B 解：因为
1
√
2 = log3 3 < a = log3 2 < log3 3 = 1,
1√ = ln e < ln 2 < ln e = 1.
2
0<5
1 2
（B） 必要不充分条件 （D） 既不充分也不必要条件
（）
3. 函数 y = 2|x| sin 2x 的图象可能是
y
y
y
（） y
π O πx
π O πx
π Oπx
π O πx
（A）
（B）
（C）
（D）
4. 对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为 1000 的样本，其频率分布直方图如图所示．根据此图可知
E A
D
B
C
得分 评卷人
18.（本题满分 15 分）
已知椭圆 C
:
x2 a2
+
y2 b2
=
1 (a
>
b > 0) 的左、右焦点分别为 F1, F2，离心率为 √
1 ，点 P 2
是椭圆 C
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上的一个
动点，且 △P F1F2 面积的最大值为 3．
（ I ） 求椭圆 C 的方程；
（ II ） 设斜率不为零的直线 P F2 与椭圆 C 的另一个交点为 Q．
a,
b,
c
的大小关系为
（A） a < b < c
（B） c < a < b
（C） b < a < c
（D） 650
（） （D） c < b < a
6. 设 P, A, B, C 为球 O 表面上的四个点，P A, P B, P C 两两垂直，且 P A = 3, P B = 6，三棱锥 P
体积为 1√8，则球 O 的体积为
得分 评卷人
二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分．
10. 设 i 为虚数单位，则 3 + i =
．
1+i
11. 二项式 √3 x
1
8
的展开式中，常数项是
．
2x
12. 直线 l : 3x y 6 = 0 与圆 x2 + y2 − 2x 4y = 0 相交于 A, B 两点，则 |AB| =
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选 涂其他答案标号；
3. 本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分．
参考公式：
•
球的体积公式 V球 =
4 3
πR3，其中
R
表示球的半径．
•
锥体的体积公式 V锥体 =
1 Sh，其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高． 3
（ I ） 当 a = 3 时，求函数 f (x) 的单调区间； （ II ） 若关于 x 的不等式 f (x) ⩽ ax2 + (a 2)x 2 恒成立，求整数 a 的最小值； （III） 是否存在一条直线与函数 y = f (x) + 1 x2 的图象相切于两个不同的点？并说明理由．
2
2页
天津市南开区 2021∼2022 学年度第一学期期末 高三数学 参考答案
16.（本题满分 14 分） √
在 △ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c，且 b sin A + 3a cos B = 0, a = 2c,． （ I ） 求角 B； （ II ） 求 a, c； （III） 求 cos(2A B) 的值．
得分 评卷人
17.（本题满分 15 分）
所以，x21 =
a2b2 b2 − 3a2
,
y12
=
√ 3x1
2
=
3a2b2 ．
b2 − 3a2
y Q
因为以 P Q 为直径的圆过点 F ，所以，P F ⊥F Q．
又因为 F (c, 0)，所以，
#» #» F P · F Q = (x1 − c, y1) · ( x1 − c, y1)
=c2 − x21 − y12
这批样本中寿命不低于 300 h 的电子元件的个数为
（）
频率 组距 1 250
1 400 3 2000 1 2000
O
100 200 300 400 500 600 寿命 (h)
第1
（A） 800
（B） 750
（C） 700
5. 设 a = log3 2, b = ln 2, c = 5
1 2
，则
．
13. 对某实验项目进行测试，测试方法：x 共进行 3 轮测试；y 每轮测试 2 次，若至少合格 1 次，则本轮通过，
否则不通过．已知测试 1 次合格的概率为 2 ，如果各次测试合格与否互不影响，则在一轮测试中，通过的概 3
率为
，在 3 轮测试中，通过的次数 X 的期望是
．
14. 已知 x > 0, y > 0，则 (y + 1)2 + (x + 1)2 的最小值为
因为 |QF1| − |QF | = 2a，
√ 所以， 3
1 c = 2a，故 e = c = √ 2
√ = 3 + 1．
F1
a 31
．
12
12
D 项，因为 f π = A sin π = A，所以 π , 0 不是 f (x) 的对称中心．
̸
6
2
6
8. A
解 1：坐标法 设 P (x1, y1)，则 Q ( x1, y1)．
因为直线
PQ
过原点，且倾斜角为
π ，所以直线
PQ
的方程为
y
=
√ 3x．
y
=
√ 3x,
3
由 b2x2 − a2y2 = a2b2, 得 (b2 − 3a2) x2 = a2b2．
=
1 √
1 <,
52
且 log3 2 < ln 2，所以 c < a < b，选 B．
6. D
解：依题意得， 1 P A 6
·
PB
·
PC
=
18．
因为 P A = 3, P B = 6，
√
所以 P C = 6，球 O 的半径 R =
P A2 + P B2 + P C2
=
9 ，球 O 的体积 V
=
4 πR3
=
4 729 π×
=
243 π．
2
2
3
38 2
7. C 解：因为 f (x) 的最小正周期为 π，所以， 2π = π． |ω|
因为 ω > 0，所以 ω = 2, f (x) = A sin(2x + φ)．
因为 f (x) 的图象关于直线 x = 2π 对称， 3
所以，2
×
2π 3
+
φ
=
kπ
+
π,k 2
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若全集 U = x 0 < x < 5, x ∈ Z , A = {1, 2}, B = {2, 3}，则 ∁U A ∩ B =
（A） {2}
（B） {3}
（C） {4}
（D） {2, 3, 4}
（）
2. 设 x ∈ R，则“x2 − 2x ⩾ 3”是“2 ⩽ x ⩽ 4”的 （A） 充分不必要条件 （C） 充分必要条件
（A） 23
46 π
（B）
343 π
3
6
√ （C） 27 6π
（D）
243 π
2
ABC 的 （）
7. 设函数 f (x) = A sin(ωx + φ) A = 0, ω > 0,
为 π，则
（A） f (x) 的图象过点
1 0,
2
（C） f (x) 的一x 个对称中心是
5π ,0
12
π 2
<
φ
<
π 2
．
x
y
15.
在四边形
AB C D
中，A# B»
=
#» 2DC, AB
=
4, BC
=
AD
=
2，则
#» AC
·
#» BD
=
边 BC, AB
上的点，且满足
BE
=
AF
=
λ，则当
#» AE
·
#» DF
<
0 时，λ 的取值范围是
BC AB
；若 E, F 分别是 ．
1页
三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 得分 评卷人
3. C
解：函数 f (x) = 2|x| sin 2x 的定义域为 R．
因为 f ( x) = 2|−x| sin( 2x) = 2|x| sin 2x = f (x)，
所以，f (x) 是奇函数，排除 A、B．
当 0 < x < π 时，sin 2x > 0；当 π < x < π 时，sin 2x < 0，排除 D，故选 C．
√
√
√
（A） 3 + 1
（B） 2 + 1
（C） 3
√ （D） 2
（）
9. 函数 f (x) = |2x 3| − 8 sin πx (x ∈ R) 的所有零点之和为
（A） 10
（B） 11
（C） 12
第 II 卷
（D） 13
（）
注意事项：
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2. 本卷共 11 小题，共 105 分．
天津市南开区 2021∼2022 学年度第一学期期末
高三数学
2022 年 1 月
试题解答 Mike
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟． 祝各位考生考试顺利！
第I卷
注意事项：
1. 答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目涂在答题卡上；
的图象关于直线 x = 2π 对称，它的最小正周期 3
（）
（B） f (x) 在
π 2π ,
上是减函数
12 3
（D） f (x) 的一个对称中心是
π ,0
6
8.
已知双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1 (a
>
0, b
>
0)，过原点作一条倾斜角
π 3
的直线分别交双曲线左、右两支于 P, Q 两
点，以线段 P Q 为直径的圆过右焦点 F ，则双曲线的离心率为
（ I ） 求 {an} 和 {bn} 的通项公式；
（ II ） 设数列 {a2n an} 的前 n 项和为 Sn．
（ i ） 求 Sn；
n
（ ii ） 求证：
aibi + 2 < 6．
i=1 Si
得分 评卷人
20.（本题满分 16 分） 已知函数 f (x) = 2 ln x ax, a ∈ R．
1. B 解：因为 U = {1, 2, 3, 4}, A = {1, 2}， 所以，∁U A = {3, 4}, ∁U A ∩ B = {3}．
2. D 解：由 x2 − 2x 3 ⩾ 0 得 (x 3)(x + 1) ⩾ 0，解得，x ⩽ 1 或 x ⩾ 3． 所以，“x2 − 2x ⩾ 3”是“2 ⩽ x ⩽ 4”的既不充分也不必要条件．