2017年中考数学《“3,4,5”直角三角形的奇思妙想》复习教学案

“3,4,5”直角三角形的奇思妙想
提到三边长都是整数的直角三角形，我们往往首先想到的就是边长为“3,4,5”的直角三角形.早在西汉时期，算书《周髀算经》中就有“勾三股四弦五”的记载.其实，我们对“3,4,5” 直角三角形进一步探究，还能发现一些有趣且有用的结论. 一、基础准备
如图 1 , Rt ABC V 中，90C ∠=︒，3BC =，4AC =，5AB =，CAB α∠=，CBA β∠=，显然90αβ+=︒.延长CA 至点D ，使得5AD AB ==，连结BD ，则ABD V 是等腰三角形，2
D α
∠=
.在Rt BCD V 中，
31
tan tan 2453
BC D DC α∠====+
同样方法，可求得
41
tan tan
2352
AC E EC β
∠==
==+
同时90452222αβαβ+︒+===︒
提炼如下：
1
tan
23α
=
, 1tan 22
β=,
90αβ+=︒,
452
2
α
β
+
==︒.
用文字语言表述为:
如果两个锐角的正切值分别为
13，1
2
，那么这两个锐角的和为45︒. 我们不妨用约定符号将上述结果简记为“13”+“12”=45︒.(其中“13”，“1
2
”分
别表示正切值为13，1
2
的锐角)
下面我们运用此结论来解决问题，并与常规解法进行比较.
二、运用策略
例1 如图2，在33⨯的网格中标出了1∠和2∠，则1+2=∠∠ .
解法1 构造三角形，从而发现1∠和2∠间的关系.
如图3，显然1=3∠∠，2=4∠∠， 并且90ABC ∠=︒，AB BC =,
1+23445∴∠∠=∠+∠=︒.
解法2 利用“13”+“1
2”=45︒的结论解决问题.
图2中，1tan 13∠=，1
tan 22
∠=.
根据结论“如果两个锐角的正切值分别为13，1
2
，那么这两个锐角的和为45︒，得
1+245∠∠=︒.
例2 如图4，正方形ABCD 的边长为6，点E 、F 分别在AB ，AD 上，若3BE =，且45ECF ∠=︒，则CF 的长为( )
(A) (B) (C)
(D)
解法1 通过作辅助线，构造全等三角形.适当假设线段长，利用勾股定理得出等量关系
式，最终求出CF 的长.
解 如图5，延长FD 到G ，使DG BE =，连结CG 、EF .
∵四边形ABCD 为正方形，
CD CB =，90B CDG ∠=∠=︒, BCE DCG ∴≅V V ,
CG CE ∴=，DCG BCE ∠=∠,
45GCF DCG DCF BCE DCF ECF ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒=∠,
GCF ECF ∴≅V V , GF EF ∴=.
设DF x =,
则6AF x =-，3EF GF GD DF x ==+=+. 在Rt AEF V 中,
222AE AF EF +=, 2223(6)(3)x x ∴+-=+.
解得2x =，则4DF =.
CF ∴==故选A
解法2 利用“13”+“1
2
”=45︒的结论求解. 易见图4中，
45DCF ECB ∠+∠=︒, 且31
tan 62
BE ECB BC ∠===.
根据“13”+“12”=45︒，得1tan 3DCF ∠=,
1
23
DF CD ∴==.
在Rt DCF V 中，求得CF =. 故选A.
点评 比较两种做法，我们发现利用“13”+“1
2
”=45︒解决问题更加方便快捷. 再来一题试试看吧!
例3 如图6，在ABC V 中，45BAC ∠=︒，AD 是BC 边上的高，3BD =，2DC =则AD 的长为 .
解法一 构造正方形，利用勾股定理求AD 长.
如图7，分别以AB 、AC 为对称轴，画出ABD V 、ACD V 的轴对称图形，D 点的对称点为E 、F ，延长EB 、FC 相交于G 点，得到四边形AEGF 是正方形.
根据对称的性质，可得
2BE BD ==，3CF CD ==.
设AD x =，则正方形AEGF 的边长是x ,
2BG EG BE x ∴=-=-,3CG FG CF x =-=-.
在Rt BCG V 中，根据勾股定理，可得222
(2)(3)5x x -+-=,
解得:6x =或1-(舍去). 故边长是6.
解法2 构造全等三角形，利用相似求解.
如图8，过点B 作BE AC ⊥，垂足为E ，交AD 于点F .
45BAC ∠=︒Q ，BE AE ∴=.
90C EBC ∠+∠=︒Q ,90C EAF ∠+∠=︒ EAF EBC ∴∠=∠,
AFE BCE ∴≅V V .
5AF BC BD DC ∴==+=，FBD DAC ∠=∠.
又90BDF ADC ∠=∠=︒Q ,
BDF ADC ∴V :V , FD BD
DC AD
∴=
. 设FD 长为x ，即3
25x x
=+
解得1x =,
即1FD =,
516AD AF FD ∴=+=+=.
故答案为6
解法3 凭借直觉经验，利用“13”+“1
2
”=45︒求解. 图6中，
45BAC BAD DAC ∠=∠+∠=︒，
联想到“13”+“1
2
”=45︒，发现当6AD =时，恰好有
1tan 2BAD ∠=，1
tan 3
DAC ∠=,
从而知6AD =.
点评解法1、解法2中需要作辅助线，构造全等或相似，利用勾股定理来求解，方法不容易想到，解决起来也比较耗时。

像这样的选择题、填空题，我们不妨利用“如果两个锐角的正切值分别为13，1
2
，那么这两个锐角的和为45︒这一结论直接求解.既快又准确!。