广东省广州市天河区2024届高三毕业班综合测试(二)数学试题及参考答案

广东省广州市天河区2024届高三毕业班综合测试（二）
数学试题及参考答案
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}{}
3,,6,A x
x k k B x x z z ==∈==∈N N ∣∣，则（）
A.A B
⊆ B.B A
⊆ C.A B
= D.A B ⋃=N
2.已知非零向量,,a b “||||||a b a b +=+ ”是“向量,a b
共线”的（
）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.若抛物线2:2(0)C y px p =>上一点()2,M m 到焦点的距离为3，则p =（）
A.6
B.4
C.2
D.1
4.若实数m 满足()2log 1m m -<+，则m 的取值范围为（）
A.()
,0∞- B.()
0,∞+ C.()
,1∞-- D.()
1,0-5.根据分类变量x 与y 的成对样本数据，计算得到27.174χ=.依据0.005α=的独立性检验，结论为（
）
A.变量x 与y 独立
B.变量x 与y 独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005
C.变量x 与y 不独立
D.变量x 与y 不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005
6.若直线1ax by +=与圆22:1O x y +=相切，则圆22
1
()()4
x a y b -+-=
与圆O （）
A.外切
B.相交
C.内切
D.没有公共点
7.6π5πcos ,536
ααα+=<<，则cos α=（）
8.设501054321≤<<<<≤x x x x x ，随机变量1ξ取值12345,,,,x x x x x 的概率均为0.2，随机变量2ξ取值
23344551
12,,,,22222
x x x x x x x x x x +++++的概率也均为0.2，若记12,D D ξξ分别为12,ξξ的方差，则（
）
A.12
D D ξξ< B.12
D D ξξ= C.12
D D ξξ>D.1D ξ与2D ξ的大小关系与12345,,,,x x x x x 的取值有关
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知,m n 是不同的直线，,αβ是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（）
A.若m ∥,n αα⊂，则m ∥n
B.若,,m n m αβ⊥⊥∥n ，则α∥β
C.若α∥,m βα⊂，则m ∥β
D.若α
∥,,m n βαβ⊂⊂，则m ∥n
10.已知函数()()2cos f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则（
）
A.()f x 的最小正周期为π
B.()f x 在5ππ,1212⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上单调递增C.()f x 的图象可由()2sin 2g x x =的图象向左平移π
3
个单位长度得到D.函数()ππ2246x F x f f x ⎛⎫⎛
⎫=-+-
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭的最小值为94-
11.双曲线具有如下性质：双曲线在任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角.设O 为
坐标原点，双曲线22
2:1(0)20x y C b b
-=>的左右焦点分别为12,F F ，右顶点A 到一条渐近
线的距离为2，右支上一动点P 处的切线记为l ，则（）
A.双曲线C 的渐近线方程为12
y x =±
B.双曲线C 的离心率为
305
C.当2PF x ⊥轴时，1952
PF =
D.过点1F 作1F K l ⊥，垂足为,25
K OK =三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若1i +（i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程220x kx ++=的一个虚根，则实数k =__________.
13.已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax
f x =-.若()1
ln28
f =
，则a =__________.14.如图，一块面积为定值的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，当容器的容积最大时，其侧面与底面所成的二面角的余弦值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改普，野生动物数量有所增加.为调查该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量的关系，将其分成面积相近的若干个地块，从这些地块中随机抽取20个作为样区，调查得到样本数据(),(1,2,,20)i i x y i = ，其中i x ，和i y ，分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：只），并计算得
()
()()()20
20
20
2
2
1
1
1
80,9000,800i
i i i i i i x x y y x x y y ===-=-=--=∑∑∑.
（1）求样本(),(1,2,,20)i i x y i = 的相关系数（精确到0.01），并推断这种野生动物的数量y （单位：只）和植物覆盖面积x （单位：公顷）的相关程度；
（2）已知20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，从20个样区中随机抽取2个，记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为X ，求随机变量X 的分布列.
附：相关系数()()
()()
1
2
2
1
1
,2 1.414
n
i
i
i n
n
i i i i x x y y r x x y y ===--=
≈--∑∑∑
16.（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 是菱形，且与平面1A BC 垂直，
BC AC ⊥，11
4,2AA AC BC ===.
（1）证明：BC ⊥平面11ACC A ；
（2）棱1CC 上是否存在一点D ，使得直线1A D 与平面
11ABB A 所成角为30 若存在，请确定点D 的位置；若不存
在，请说明理由.
17.（15分）已知数列{}n a 中，()
*11231111
1,123n n a a a a a a n N n
+=++++=-∈ .（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令2n
n n b a =，记n T 为{}n b 的前n 项和，证明：3n
时，(
)
1
24n n T n +<-.
18.（17分）已知直线1222
:,:22
l y x l y x =
=-，动点,A B 分别在直线12,l l 上，AB =
，M 是线段AB 的中点，记点M 的轨迹为曲线Γ.
（1）求曲线Γ的方程；
（2）已知点()2,1P -，过点P 作直线l 与曲线Γ交于不同的两点,C D ，线段CD 上一点
Q 满足
PC QC
PD QD
=，求OQ 的最小值.19.（17分）已知函数()ln 2(2)f x x x b b =+->.（1）证明：()f x 恰有一个零点a ，且()1,a b ∈；
（2）我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切线法”.任取()11,x a ∈，实施如下步骤：在点()()
11,x f x 处作()f x 的切线，交x 轴于点()2,0x ：在点()()
22,x f x 处作()f x 的切线，交x 轴于点()3,0x ；一直继续下去，可以得到一个数列{}n x ，它的各项是()f x 不同精确度的零点近似值.（i ）设()1n n x g x +=，求()n g x 的解析式；（ii ）证明：当()11,x a ∈，总有1n n x x a +<<.
参考答案
一、选择题
1.B
解析：∵{}N k k x x A ∈==,3，{}{}
N z z z x N z z x x B ∈⋅==∈==,23,6，
当N z ∈时，z 2为非负偶数，∴A B ⊆.
2.A 解析：当b a b a +=+时，2
22222b b a a b b a a +⋅+=+⋅+，
化简得b a b a ⋅=⋅，即1cos =⋅=b a b
a θ，∴0=θ，即a 与
b 共线，
当a 与b 共线时，则存在唯一实数λ，使得b a
λ=，
则b b a λ+=+1，()b b a
1+=+λ，1+λ与λ+1不一定相等，即b a +，b a
+不一定相等，
故“b a +=b a +”是“a 与b
共线”的充分不必要条件.
3.C 解析：由焦半径公式可得
322
=+p
，故2=p .4.D
解析：()1log 2+<-m m ⇔()01log 2<---m m ，
∵函数()x y -=2log ，1--=x y 在()0，∞-上单调递减，
则函数()()1log 2---=x x x f 在()0，∞-上单调递减，又()01=-f ，则
()()()0110<<-⇔-<⇔<m f m f m f .
5.A
解析：∵005.02
879.7147.7x =<=χ，
∴依据005.0=α的独立性检验，我们认为变量x 与y 独立.6.B
解析：直线1=+by ax 与圆12
2
=+y x O ：相切，
则圆心()0,0O 到直线1=+by ax 的距离等于圆O 的半径1，即112
2=+=
b a d ，得122=+b a .
圆()()412
2
=
-+-b y a x 的圆心坐标为()b a ,，半径为2
1
，其圆心在圆O 上，∴两圆相交.
7.B
解析：∵566sin 2cos sin 3=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+
=+πααα，653παπ<
<，则536sin =⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+πα，而
653παπ<
<，∴ππαπ<+<62，故546cos -=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+πα，故6sin 6sin 6cos 6cos 66cos cos ππαππαππαα⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+
=10
3
4321532354-=⨯+⨯-=.
8.C
解析：由题意得()()5432112.0x x x x x E ++++⨯=ξ，
()()
54321155443322122.0222222.0x x x x x x x x x x x x x x x E ++++⨯=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++++++++⨯=ξ故()()21ξξE E =,记()()21ξξE E x ==，则()()()()
[
]
2
52
22
112.0x x x x x x D -++-+-= ξ(
)
()[x x x x x x x x x x 5432122
52221252.0++++-++++= (
)
2
25222152.0x x x x -+++= 同理()⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=22
152322212
52222.0x x x x x x x D ξ∵501054321≤<<<<≤x x x x x ，
则22,,2221252
152
2212
21x x x x x x x x +<⎪⎭
⎫ ⎝⎛++<
⎪⎭⎫
⎝⎛+ ，故2522212
152********x x x x x x x x x +++<⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫
⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ，即得()()21ξξD D >，()1ξD 与()2ξD 的大小关系与54321x x x x x ，，，，的取值无关.
二、多选题
9.BC 解析：对于A，当α∥m ，α⊂n 时，n m ,有可能异面，故A 错误；对于B，∵α⊥m ，β⊥n ，∴n m ,对应的方向向量n m
,分别是βα，的法向量，又n m ∥，∴n m
∥，∴βα∥，故B 正确；
对于C，∵βα∥，α⊂m ，由绵绵平行的性质易知β∥m ，故C 正确；对于D，当βα∥，α⊂m ，β⊂n 时，n m ,有可能异面，故D 错误.10.ABD 解析：由图可得：2=A ，
又∵
03121343>-=ωππ，T ，∴π=T ，又ω
π
2=
T ，∴2=ω，∴()ϕ+=x y 2cos 2，将⎪⎭⎫
⎝⎛21213，π代入()ϕ+=x y 2cos 2得1613cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕπ，即
Z k k ∈=+,2613πϕπ，即Z k k ∈+-=+,26
13613ππ
ϕπ，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛
-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-
=62cos 226132cos 2πππx k x x f ，对于A，最小正周期ππ
==
2
2T ，故A 正确；对于B，令Z k k x k ∈≤-
≤-,2622ππππ，解得Z k k x k ∈+≤≤-,12
125ππππ，可得()x f 的单调递增区间为Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+-
,12125ππππ，，当0=k 时，单调递增区间为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
12125ππ，，故B 正确；对于C，函数x y 2sin 2=的图象向左平移
3
π
个单位长度，所得到的函数解析式为：()x f x x x y ≠⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62cos 2322sin 232sin 2πππ，故C 不正确；
对于D，
())x
x x x x x x f x f x F cos sin 4sin cos 22sin 24cos 26242++=+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππ令[]
2,24sin 2sin cos -∈⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=+=πx x x t ，
所以()()()
1
22cos sin 4sin cos 22-+=++=
t t x x x x x F 49
4222222
2-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=-+=t t t ，故最小值为49-，D 正确.11.ACD 解析：对于A，由双曲线()012022
2>=-b b
y x C ：可知52=a ，右顶点()
0,52A ，
其渐近线方程为x b y 5
2±
=，右顶点A 到一条渐近线的距离为2，
不妨取渐进线052=-y bx ，则220522
=+b b ，解得5=b ，故双曲线C 的渐近线方程为x x b y 2
1
5
2±
=±
=，A 正确；对于B，由于5,52==b a ，∴()()
55522
2
=+=
c ，
故双曲线C 的离心率为
2
5
525=
=a c ，故B 错误；对于C，()052，F ，当x PF ⊥2轴时，将5=x 代入
15
202
2=-y x 中，得⎪⎭
⎫
⎝⎛-=1202552
y ，∴25±=y ，即得252=PF ，由于P 在双曲线的右支上，故2
5
95425221=+=+=a PF PF ，故C 正确；
对于D，连接2PF 并延长交K F 1的延长线于E ，
由题意知，PK 为PE F 1∠的角平分线，结合l K F ⊥1，可知PE PF =1，K 为E F 1的中点，而O 为21F F 的中点，
故()()5222
1
2121212122==-=-==a PF PF PF PE E F OK ，D 正确.三、填空题
12.2
-解析：i +1是关于x 的实系数一元二次方程022
=++kx x 的一个虚根，
i -1也是关于x 的实系数一元二次方程022=++kx x 的一个虚根，
()k i i -=-++11，解得2-=k .
13.3
解析：由题意知()x f 是奇函数，且当0<x 时，()ax
e x
f -=，
故()()8
121ln
2ln 2ln 21ln 2
1ln
=
==⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=--=⎪⎭
⎫ ⎝⎛a
e
e f f f a ，则8121=⎪⎭
⎫
⎝⎛a
，∴3=a .
14.
3
6
解析：如图，正四棱锥为四棱锥ABCD P -，
O 为底面对角线的交点，则⊥OP 平面ABCD ，设E 为AD 的中点，则AD PE ⊥，AD OE ⊥，则OEP ∠即为所求教的平面角，
不妨设题中所给正方形的边长为a 2，x AD 2=，
则x OE AE a PE ===,，故四棱锥ABCD P -的高22x a OP h -==，
∴()()
2222222222222
13434231x a x x x a x x a x V ABCD
P -⋅=-=-⨯=-273832221343
2
222a x a x x =⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-++≤
，当且仅当2
2
2
2
22x a x x -==，即a x 36=
时，取等号，此时a AE OE 3
6==，在POE Rt ∆中，3
6
36cos ===∠a a
PE OE OEP ，∴当容器的容积最大时，其侧面与底面所成的角的余弦值为
3
6
.四、解答题
15.解：（1）样本()()20,,2,1, =i y x i i 的相关系数为
()()
()()
94.03
2
29000
80800201
20
1
2
220
1≈=
⨯=
----=
∑∑∑===i i i i i i i
y y x x y y x x
r .由于相关系数[]1,
75.0∈r ，则相关性很强，r 的值越大，相关性越强，
故[]1,75.094.0∈=r ，故相关性越强.
（2）由题意得：X 的可能取值为0,1,2，
20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，有12个样区的这种野生动物数量不低于样本平均数，
∴()
9533
1906602202
12====C C X P ；()954812
20
11218===C C C X P ；()95
14
19028222028====C C X P .
∴X 的分布列为：
16.解：（1）连接1CA 与A C 1，由于四边形11A ACC 为菱形，故11CA A C ⊥.
由于侧面11A ACC 与平面BC A 1垂直，且两平面的交线是1CA ，⊂1AC 侧面11A ACC ，故⊥1AC 平面BC A 1，⊂BC 平面BC A 1，故BC AC ⊥1，
又AC BC ⊥，A AC AC = 1，⊂AC AC ，1面11A ACC ，故⊥BC 面11A ACC .（2）由（1）知⊥BC 面11A ACC ，⊂BC 平面ABC ，∴平面ABC ⊥面11A ACC ，且交线为AC ，
由于411===AC C A AA ，故三角形C AA 1为等边三角形，
取AC 中点为O ，则AC O A ⊥1，⊂O A 1平面11A ACC ，∴⊥O A 1平面ABC ，故建立如图所示空间直角坐标系，其中y 轴与BC 平行，
()()()
3200,0020021，，，，，，，A C A -,()()
32040221，，，，，--C B ，
()()()
3
202320202411，，，，，，，，-=-=-=CC AA AB 设平面11A ABB 的法向量为()z y x m ,,=
，
则⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=⋅=+-=⋅0
3220241z x m AA y x m AB
，取3=x ，则()
3,6,3=m ，设(
)
m m CC m CD 32,0,21-==，其中[]1,0∈m ，故()
m m D 32,0,22--，
(
)
32
32,0,221---=m m D A
故()()()(
)
2
1
3
232223432323223cos 2
2=
-+---+--=
=m m m m m
，化简得()0122
=-m ，解得21=
m ，故12
1
CC CD =.故存在D，且D 在1CC 的中点.17.解：（1）∵11
31211321-=++++
+n n a a n
a a a ，∴11
11312121321-=++++++++n n n a a n a n a a a ，
作差可得
1211
1
+++-=+n n n a a a n ，变形为2121++=
++n n a a n n ，则
214332214332++⋅
⋅⋅=⋅⋅⋅++n n a a a a a a n n ，整理得2
222+=+n a a n ，∵11=a ，12
1
321-=+
a a a ，3232=a a ，解得22=a ，∴22+=+n a n ，
∴n a n =，∴数列{}n a 的通项公式为n a n =.（2）∵n
n n
n n a b 22⋅==，
∴n
n n T 222212
⋅++⨯+⨯= ，1
3
2
222212+⋅++⨯+⨯=n n n T ，
作差可得()
11
2
22
12122222++⋅---=⋅-+++=-n n
n n
n n n T ，
∴()22
11
+-=+n n n T ，
()()()
24242221421111++-=--+-=--++++n n n n T n n n n n ，
设()3,2422≥++⋅-=x x x f x
，则()42ln 22+⋅-='x
x f 在给定区间递减，
又()042ln 163<+⨯-='f ，
故()x f 在[]∞+，3是减函数，()()02234234
max <-=+⨯+-==f x f ，
∴当3≥n 时，(
)
42
1
-<+n n n T .
18.解：（1）根据条件可设()()
n n B t t A
,2,,2-，
∵22=AB ，∴()()()*822
2
=-++n t n t ，
设()y x M ,，由题意知()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=222n
t y n t x ，∴⎩⎨⎧=+=-y n t n t 22，
代入（*）式得142
2=+y x ，故曲线Γ的方程为14
22=+y x .
（2）设
λ==
QD
QC PD
PC ，则PD PC λ=，QD CQ λ=，设()()2211,,,y x D y x C ，
由PD PC λ=，可知()()1,21,22211-+=-+y x y x λ，
∴()()⎩⎨⎧-=-+=+11222121y y x x λλ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
--=--=-λλλλ11122
121y y x x ①
∵QD CQ λ=，设()y x Q ,，∴⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
++=++=λ
λλλ11212
1y y y x x x ②①×②可得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--=-+=-22
2212
2
221112λλλλy y y x x x （**）
∵D C ,在曲线Γ上，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+2
2222
22212
14
14
λλλy x y x ，
∴2
222212222114λλλ-=-+-y y x x ，化简得：()
11142
2
2221222221=--+--λ
λλλy y x x
，
（**）式代入可得
14
2=+-y x
，即022=+-y x .∴Q 的轨迹方程为：022=+-y x .
∴OQ 的最小值为O 到直线022=+-y x 的距离.
∴5
5
25
2min =
=
OQ .19.解：（1）()()22ln >-+=b b x x x f ，定义域为()∞+，0，∴()021
>+=
'x
x f 在()∞+，0上恒成立，∴函数()x f 在()∞+，0上单调递增，∵()0221ln 1<-=-+=b b f ，()0ln 2ln >+=-+=b b b b b b f ，∴存在唯一()b a ,1∈，使得()0=a f ，即：()x f 有唯一零点a ，且()b a ,1∈；（2）（ⅰ）由（1）知()21
+=
'x
x f ，∴曲线()x f 在()()n n x f x ,处的切线斜率为21
+=
n
n x k ，∴曲线()x f 在()()n n x f x ,处的切线方程为()()()n n n x x x f x f y -'=-，即1ln 21--++=
b x x x x y n n
n
，令0=y 得()n
n
n n x x b x x x 211ln +++-=
，
∴切线与x 轴的交点()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++-0211ln ，n n n n x x b x x ，即()n n
n n n x x b x x x 211ln 1+++-=+，∴()()n
n
n n n x x b x x x g 211ln +++-=
；
（ⅱ）证明：对任意的()+∞∈,0n x ，
由（ⅰ）知，曲线()x f 在()()n n x f x ,处的切线方程为：1ln 21--++=
b x x x x y n n
n
，故令()1ln 21--++=
=b x x x x y x h n n
n
，
令()()()1ln 1
ln +--
=-=n n
x x x x x h x f x F ，∴()x x x x x x x F n n n -=-
='11，∴当()n x x ,0∈时，()0>'x F ，()x F 单调递增；当()+∞∈,n x x 时，()0<'x F ，()x F 单调递减，
∴恒有()()0=≤n x F x F ，即()()x h x f ≤恒成立，当且仅当n x x =时等号成立，另一方面，由（ⅰ）知，()
()
n n n n x f x f x x '-
=+1，且当a x n ≠时，n n x x ≠+1，若a x n =，则()()0==a f x f n ，故任意a x x x n n ====+11 ，显然矛盾，∵1+n x 是()x h 的零点，∴()()()011==<++a f x h x f n n ，∵()x f 为单调递增函数，∴对任意的a x n ≠时，总有a x n <+1，又∵a x <1，∴对于任意*
N n ∈，均有a x n <，∴()0>'n f ，()()0=<a f x f n ，∴()
()
n n n n n x x f x f x x >'-=+1，综上，当()a x ,11∈，总有a x x n n <<+1.。