江西省九江市修水第一中学2022年高二数学理模拟试卷含解析

江西省九江市修水第一中学2021-2022学年高二数学理模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若过椭圆内一点P(3,1)的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（）．A．3x+4y－13=0 B．3x－4y－5=0 C．4x+3y－15=0 D．4x－3y－9=0
参考答案：
A
解：设弦的两端点为，，为中点得，，在椭圆上有两式相减得
，
则，且过点，有，
整理得．
故选．
2. 函数y=ln（﹣1）的定义域为（）
A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
参考答案：
B
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则﹣1＞0，即＞1，则0＜x＜1，
即函数的定义域为（0，1），
故选：B．
3. 已知是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于
两点，若为钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A． B．
C．D．
参考答案：
B
4. 设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），则c的值是（）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
参考答案：
C
考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
专题：计算题；概率与统计．
分析：随机变量ξ服从正态分布N（2，9），得到曲线关于x=2对称，根据P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），结合曲线的对称性得到点c与点c﹣2关于点2对称的，从而做出常数c的值得到结果．
解答：解：随机变量ξ服从正态分布N（2，9），
∴曲线关于x=2对称，
∵P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），
∴，
∴c=3
故选：C．
点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．
5. 设数列{a n}的前n项和为S n，a4=7且4S n=n（a n+a n+1），则S10等于（）
A．90 B．100 C．110 D．120
参考答案：
B
【考点】8E：数列的求和．
【分析】由题意可得4S3=3（a3+7），4S2=2（a2+a3），4S1=a1+a2，运用数列的递推式可得a1=1，a2=3，a3=5，进而得到a n=2n﹣1，，即可得到所求值．
【解答】解：由数列{a n}的前n项和为S n，a4=7且4S n=n（a n+a n+1），
可得4S3=3（a3+7），4S2=2（a2+a3），4S1=a1+a2，
∴a2=3a1，a3=5a1，
从而4×9a1=3（5a1+7），
即a1=1，∴a2=3，a3=5，
∴4S4=4（a4+a5），
∴a5=9，同理得a7=13，a8=15，…，a n=2n﹣1，
∴，经验证4S n=n（a n+a n+1）成立，
∴S10=100．
故选：B．
6. 等差数列{a n}的首项为a，公差为1，数列{b n}满足b n=．若对任意n∈N*，b n≤b6，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣8，﹣6）B．（﹣7，﹣6）C．（﹣6，﹣5）D．（6，7）
参考答案：
B
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由等差数列的通项公式，求得数列{a n}的通项，进而求得b n，再由函数的性质求得．
【解答】解：∵{a n}是首项为a，公差为1的等差数列，
∴a n=n+a﹣1．
∴b n==．又∵对任意的n∈N*，都有b n≤b6成立，可知，
则必有7+a﹣1＜0且8+a﹣1＞0，
∴﹣7＜a＜﹣6；
故选：B．
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，用函数处理数列思想的方法求解，是基础题．
7. 如图：在平行六面体中，为与的交点.若，，
则下列向量中与相等的向量是（）
A． B．
C． D．
参考答案：
A
略
8. 若函数且在R上为减函数，则函数的图象可以是( )
A. B.
C. D.
参考答案：
D
【分析】
由函数为减函数，得，又由当时，函数，在根据图象的变换和函数的奇偶性，即可得到函数图象，得到答案.
【详解】由题意，函数且在R上减函数，可得，
又由函数的定义域为或，
当时，函数，
将函数的图象向右平移1个单位，即可得到函数的图象，
又因为函数为偶函数，图象关于轴对称，
故选D
【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质，以及合理利用图象的变换求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9. 若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则P的值为（）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4
参考答案：
C
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】通过椭圆、抛物线的焦点相同，计算即得结论．
【解答】解：由a2=6、b2=2，可得c2=a2﹣b2=4，
∴到椭圆的右焦点为（2，0），
∴抛物线y2=2px的焦点（2，0），
∴p=4，
故选：C．
10. 已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率之积的最小值为（）
A．B．C．D．1参考答案：
C
【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．
【分析】先设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c．因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找a1，a2，c之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用a1，a2表示出|PF1|，
|PF2|，在△F1PF2中根据余弦定理可得到，利用基本不等式可得结论．
【解答】解：如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|+|PF2|=2a1，|PF1|﹣|PF2|=2a2，
∴|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1﹣a2，
设|F1F2|=2c，∠F1PF2=，则：
在△PF1F2中由余弦定理得，
4c2=（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos
∴化简得：a12+3a22=4c2
，又因为，∴e1e2≥，
故选：C
【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，求出焦点三角形的边长来，属于难题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图算法中，输出S的值是
参考答案： 52 略
12. 已知函数f （x ）=x 3﹣ax 2+1在区间[0，2]内单调递减，则实数a 的取值范围是 ．
参考答案：
[3，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】由函数f （x ）=x 3﹣ax 2+1在[0，2]内单调递减转化成f'（x ）≤0在[0，2]内恒成立，利用参数分离法即可求出a 的范围．
【解答】解：∵函数f （x ）=x 3﹣ax 2+1在[0，2]内单调递减， ∴f'（x ）=3x 2
﹣2ax≤0在[0，2]内恒成立． 即 a≥x 在[0，2]内恒成立．
∵t=x 在[0，2]上的最大值为×2=3， ∴故答案为：a≥3． 13. 已知平行六面体
中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都为
，则对角线
的长是________；
参考答案：
14. 圆心在直线
上的圆C 与轴交于两点，，则圆C 的方程
为
． 参考答案：
15. 函数
在区间内单调递减，
则的取值范围是 ．
参考答案：
(－∞，－1]
16. 已知曲线C 的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ，则其直角坐标方程为 ．
参考答案：
x 2+（y+1）2=1
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】先将极坐标方程ρ=2sinθ两边同乘以ρ后，即可化成直角坐标方程． 【解答】解：将极坐标方程ρ=﹣2sinθ两边同乘ρ，化为：ρ2
=﹣2ρsinθ， 化成直角坐标方程为：x 2+y 2+2y=0， 即x 2+（y+1）2=1． 故答案为：x 2+（y+1）2=1．
17. 不等式log sin x 2 x > log sin x x 2在区间( 0，2 π )上的解是 。

参考答案：
( 2，π )
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分）
某慈善机构举办一次募捐演出，有一万人参加，每人一张门票，每张100元，在演出过程中穿插抽奖活动，第一轮抽奖从这一万张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动，第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个数，如果则电脑显示“中奖”，抽奖者获得9000元奖金；否则若电脑显示“谢谢”，则不中奖。

（I）已知小曹在第一轮抽奖中被抽中，求小曹在第二轮抽奖中获奖的概率；
（II）若小叶参加了此次活动，求小叶参加此次活动收益的期望；
（III）若此次募捐除奖品和奖金外，不计其它支出，该机构想获得96万元的慈善款，问该慈善机构此次募捐是否能达到预期目标。

参考答案：
共9个，…………2分
设“小曹在第二轮抽奖中获奖”为事件，
且事件所包含的基本事件有共2个，
∴．
……5分
（Ⅱ）设小叶参加此次活动的收益为，
的可能取值为．………6分，，
．…………9分
∴的分布列为
9009900
………10分
∴．…………11分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，购票者每人收益期望为．
∵有一万人购票，除奖金和奖品外，不计其它支出，
∴该机构此次收益期望为元=万
∴ 该慈善机构此次募捐能达到预期目标………………14分略
19. 已知，复数.
（1）若z为纯虚数，求a的值；
（2）在复平面内，若对应的点位于第二象限，求a的取值范围.
参考答案：
（1）（2）
【分析】
（1）先利用复数的除法得到，根据为纯虚数可得.
（2）先求出，根据其对应的点在第二象限可得横坐标、纵坐标满足的不等式，从而得到的取值范围.
【详解】解：（1）
因为为纯虚数，所以，且，则
（2）由（1）知，，
则点位于第二象限，
所以，得.
所以的取值范围是.
【点睛】本题考查复数的除法、复数的概念及复数的几何意义，属于基础题.
20. 已知函数．
（1）当时，，
①求的单调增区间；
②当时，讨论曲线与的交点个数．
（2）若是曲线上不同的两点，点是弦的中点，过点作轴的垂线交曲线
于点，是曲线在点处的切线的斜率，试比较与的大小．
参考答案：
解：（1）①，则得或，所以的单调增区间为．
②当时, 曲线与曲线的公共点个数即方程根的个数．由
得设，，所以在上不间断的函数在
上递减，在上递境，在上递减，
又因为
所以当时一公共点，解得
当或时两公共点，解得或
当时三公共点，解得
（2）设则，
则
设，，则
①当时，，，则，所以在递增，则
，又因为，所以，，所以；
②当时，，则，所以在递减，则又因为，所以
，所以
综上：当时；当时．
略
21. 设椭圆E1的长半轴长为a1、短半轴长为b1，椭圆E2的长半轴长为a2、短半轴长为b2，若
=，则我们称椭圆E1与椭圆E2是相似椭圆．已知椭圆E：+y2=1，其左顶点为A、右顶点为B．
（1）设椭圆E与椭圆F：+=1是“相似椭圆”，求常数s的值；
（2）设椭圆G：+y2=λ（0＜λ＜1），过A作斜率为k1的直线l1与椭圆G仅有一个公共点，过椭圆E的上顶点为D作斜率为k2的直线l2与椭圆G仅有一个公共点，当λ为何值时|k1|+|k2|取得最小值，并求其最小值；
（3）已知椭圆E与椭圆H：+=1（t＞2）是相似椭圆．椭圆H上异于A、B的任意一点C （x0，y0），求证：△ABC的垂心M在椭圆E上．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）运用“相似椭圆”的定义，讨论s＞2，0＜s＜2，列出等式，解方程可得s；
（2）求得A，D的坐标，可得直线l1与直线l2的方程，代入椭圆G的方程，运用判别式为0，求得|k1|，|k2|，再由基本不等式即可得到所求最小值；
（3）求得椭圆H的方程，设出椭圆H上的任意一点C（x0，y0），代入椭圆H的方程；设△ABC的垂心M的坐标为（x M，y M），运用垂心的定义，结合两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，化简整理，可得M的坐标，代入椭圆E的方程即可得证．
【解答】解：（1）显然椭圆E的方程为=1，
由椭圆E与F相似易得：
当s＞2时?s=4；
当0＜s＜2时?s=1．
则s=4或1；
（2）易得，
可得l1、l2的方程分别为、y=k2x+1，
依题意联立：?（1+2k12）x2+4k12x+4k12﹣2λ=0，
又直线l1与椭圆G相切，则△1=0（又0＜λ＜1），即32k14﹣4（1+2k12）（4k12﹣2λ）=0，即|k1|=，
依题意再联立：?（1+2k22）x2+4k2x+2﹣2λ=0，
又直线l2与椭圆G相切则△2=0（又0＜λ＜1），即16k22﹣4（1+2k22）（2﹣2λ）=0，
即|k2|=，
故|k1k2|=，
即|k1|+|k2|≥2，当且仅当|k1|=|k2|时取到等号，此时λ=，
所以当λ=时|k1|+|k2|取得最小值；
（3）证明：显然椭圆E：=1，由=，可得t=4，
即有椭圆H：=1．
由椭圆H上的任意一点C（x0，y0），于是=1①
设△ABC的垂心M的坐标为（x M，y M），
由CM⊥AB得x M=x0，又AM⊥BC?=﹣1，
将x M=x0代入=﹣1，得x02=2﹣y0y M②
由①②得y0=2y M．
又x0=x M代入（1）得2=1，
即△ABC的垂心M在椭圆E上．
22. 已知函数，.
（1）如果函数在上是单调减函数，求的取值范围；
（2）是否存在实数，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案：
略。