安平县第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

安平县第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设等比数列{a n }的公比q=2，前n 项和为S n ，则=（ ）
A ．2
B ．4
C ．
D ．
2． 如果向量满足，且，则的夹角大小为（ ） A ．30° B ．45° C ．75° D ．135°
3． 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}，则集合{0，1}可以表示为（ ） A ．M ∪N
B ．（∁U M ）∩N
C ．M ∩（∁U N ）
D ．（∁U M ）∩（∁U N ）
4． 在ABC ∆中，2
2
tan sin tan sin A B B A =，那么ABC ∆一定是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
5． （理）已知tan α=2，则=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 已知直线mx ﹣y+1=0交抛物线y=x 2于A 、B 两点，则△AOB （ ）
A ．为直角三角形
B ．为锐角三角形
C ．为钝角三角形
D ．前三种形状都有可能
7． 已知随机变量X 服从正态分布N （2，σ2），P （0＜X ＜4）=0.8，则P （X ＞4）的值等于（ ） A ．0.1 B ．0.2 C ．0.4 D ．0.6 8． 已知函数()cos()3
f x x π
=+，则要得到其导函数'()y f x =的图象，只需将函数()y f x =
的图象（ ）
A ．向右平移
2π个单位 B ．向左平移2π
个单位 C. 向右平移23π个单位 D ．左平移23
π
个单位
9． 已知直线l ：2y kx =+过椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的上顶点B 和左焦点F ，且被圆
224x y +=截得的弦长为L ，若5
L ≥
e 的取值范围是（ ）
（A ） ⎥⎦
⎤
⎝⎛
550， （ B ）
05⎛
⎝
⎦
， （C ） ⎥⎦⎤ ⎝⎛5530， （D ） ⎥⎦⎤ ⎝⎛5540， 10．设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集是（ ）
A ．{}|303x x x -<<>或
B ． {}
|3003x x x -<<<<或
C ．{}|33x x x <->或
D ． {}|303x x x <-<<或 11．函数f （x ）
=
，则f （﹣1）的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12
．已知向量=（1，n
），=（﹣1，n ﹣2
），若
与共线．则n 等于（ ） A ．1
B
．
C ．2
D ．4
二、填空题
13．若命题“∀x ∈R ，|x ﹣2|＞kx+1”为真，则k 的取值范围是 ． 14．在△ABC 中，若角A
为锐角，且=（2，3
），=（3，m ），则实数m 的取值范围是 ．
15．设不等式组
表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2
的概率是 ．
16．已知函数f （x ）
=，点O 为坐标原点，点An （n ，f （n ））（n ∈N +
），向量=（0，1），θn
是向量
与i
的夹角，则
+
+…
+= ．
17．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为 ． ①函数y=2x 3+3x ﹣1的图象关于点（0，1）成中心对称； ②对∀x ，y ∈R ．若x+y ≠0，则x ≠1或y ≠﹣1； ③若实数x ，y 满足x 2+y 2=1
，则
的最大值为
；
④若△ABC 为锐角三角形，则sinA ＜cosB ．
⑤在△ABC 中，BC=5，G ，O 分别为△ABC
的重心和外心，且
•
=5，则△ABC 的形状是直角三角形．
18．过抛物线y 2=4x 的焦点作一条直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的横坐标为2，则|AB|等
于 ．
三、解答题
19．如图：等腰梯形ABCD ，E 为底AB 的中点，
AD=DC=CB=AB=2，沿ED 折成四棱锥A ﹣BCDE ，使
AC=
．
（1）证明：平面AED ⊥平面BCDE ； （2）求二面角E ﹣AC ﹣B 的余弦值．
20．（本小题满分12分）已知等差数列｛n a ｝满足：n n a a >+1（*
∈N n ），11=a ，该数列的
前三项分别加上1，1，3后成等比数列，且1log 22-=+n n b a . （1）求数列｛n a ｝，｛n b ｝的通项公式； （2）求数列｛n n b a ⋅｝的前项和n T .
21．数列{a n }满足a 1=
，a n ∈（﹣
，
），且tana n+1•cosa n =1（n ∈N *
）．
（Ⅰ）证明数列{tan 2a n }是等差数列，并求数列{tan 2
a n }的前n 项和；
（Ⅱ）求正整数m ，使得11sina 1•sina 2•…•sina m =1．
22．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，求抛物线的方程．
23．（本小题满分12分）
如图长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，
BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝4，D1F＝8，过点E，F，C的平面α与长方体的面相交，交线围成一个四边形．
（1）在图中画出这个四边形（不必说明画法和理由）；
（2）求平面α将长方体分成的两部分体积之比．
24．设函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）当a=时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数g（x）=x2﹣2bx﹣，若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．
安平县第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：由于q=2，
∴
∴
；
故选：C ．
2． 【答案】B
【解析】解：由题意故，即
故两向量夹角的余弦值为=
故两向量夹角的取值范围是45°
故选B
【点评】本题考点是数量积表示两个向量的夹角，考查利用向量内积公式的变形形式求向量夹角的余弦，并进而求出两向量的夹角．属于基础公式应用题．
3． 【答案】B 【解析】解：全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}，
∴∁U M={0，1}， ∴N ∩（∁U M ）={0，1}， 故选：B ．
【点评】本题主要考查集合的子交并补运算，属于基础题．
4． 【答案】D 【解析】
试题分析：在ABC ∆中，2
2
tan sin tan sin A B B A =，化简得
22sin sin sin sin cos cos A B
B A A B
=，解得 sin sin sin cos sin cos cos cos B A
A A
B B A B =⇒=，即s i n 2s i n 2A B =，
所以22A B =或22A B π=-，即A B =或2
A B π
+=
，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故选D ．
考点：三角形形状的判定．
【方法点晴】本题主要考查了三角形形状的判定，其中解答中涉及到二倍角的正弦、余弦函数公式、以及同角三角函数基本关系的运用，其中熟练掌握三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中得出sin 2sin 2A B =，从而得到A B =或2
A B π
+=是试
题的一个难点，属于中档试题． 5． 【答案】D
【解析】解：∵tan α=2，∴ =
=
=
．
故选D ．
6． 【答案】A
【解析】解：设A （x 1，x 12），B （x 2，x 22
），
将直线与抛物线方程联立得
， 消去y 得：x 2
﹣mx ﹣1=0，
根据韦达定理得：x 1x 2=﹣1，
由=（x 1，x 12），
=（x 2，x 22），
得到=x 1x 2+（x 1x 2）2=﹣1+1=0，
则
⊥
，
∴△AOB 为直角三角形． 故选A
【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有韦达定理，平面向量的数量积运算，以及两向量垂直时满足的条件，曲线与直线的交点问题，常常联立曲线与直线的方程，消去一个变量得到关于另外一个变量的一元二次方程，利用韦达定理来解决问题，本题证明垂直的方法为：根据平面向量的数量积为0，两向量互相垂直．
7． 【答案】A
【解析】解：∵随机变量ξ服从正态分布N （2，o 2
），
∴正态曲线的对称轴是x=2 P （0＜X ＜4）=0.8，
∴P （X ＞4）=（1﹣0.8）=0.1， 故选A ．
8． 【答案】B
【解析】
试题分析：函数()cos ,3f x x π⎛⎫
=+
∴ ⎪⎝
⎭()5'sin cos 36f x x x ππ⎛⎫⎛⎫
=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以函数 ()cos 3f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，所以将函数函数()y f x =的图象上所有的点向左平移2π个单位长度得到
5cos cos 326y x x πππ⎛⎫⎛
⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故选B.
考点：函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换.
9． 【答案】 B
【解析】依题意，2, 2.b kc ==
设圆心到直线l 的距离为d ，则L =解得216
5
d ≤。

又因为
d =，所以2116,15k ≤+解得2
14k ≥。

于是222
222211c c e a b c k ===++，所以240,5
e <≤解得0e <≤故选B ． 10．【答案】B
【解析】
试题分析：因为()f x 为奇函数且()30f -=，所以()30f =，又因为()f x 在区间()0,+∞上为增函数且()30f =，所以当()0,3x ∈时，()0f x <，当()3,x ∈+∞时，()0f x >，再根据奇函数图象关于原点对称
可知：当()3,0x ∈-时，()0f x >，当(),3x ∈-∞-时，()0f x <，所以满足()0x f x ⋅<的x 的取值范围是：()3,0x ∈-或()0,3x ∈。

故选B 。

考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性。

11．【答案】A
【解析】解：由题意可得f （﹣1）=f （﹣1+3）=f （2）=log 22=1 故选：A
【点评】本题考查分度函数求值，涉及对数的运算，属基础题．
12．【答案】A
【解析】解：∵向量=（1，n ），=（﹣1，n ﹣2），且与共线． ∴1×（n ﹣2）=﹣1×n ，解之得n=1
故选：A
二、填空题
13．【答案】[﹣1，﹣）．
【解析】解：作出y=|x﹣2|，y=kx+1的图象，如图所示，直线y=kx+1恒过定点（0，1），结合图象可知k∈[﹣
1，﹣）．
故答案为：[﹣1，﹣）．
【点评】本题考查全称命题，考查数形结合的数学思想，比较基础．
14．【答案】．
【解析】解：由于角A为锐角，
∴且不共线，
∴6+3m＞0且2m≠9，解得m＞﹣2且m．
∴实数m的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量共线的条件，是基础题．
15．【答案】．
【解析】解：到坐标原点的距离大于2的点，位于以原点O为圆心、半径为2的圆外
区域D：表示正方形OABC，（如图）
其中O为坐标原点，A（2，0），B（2，2），C（0，2）．
因此在区域D内随机取一个点P，
则P点到坐标原点的距离大于2时，点P位于图中正方形OABC内，
且在扇形OAC的外部，如图中的阴影部分
∵S正方形OABC=22=4，S阴影=S正方形OABC﹣S扇形OAC=4﹣π•22=4﹣π
∴所求概率为P==
故答案为：
【点评】本题给出不等式组表示的平面区域，求在区域内投点使该到原点距离大于2的概率，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识点，属于基础题．
16．【答案】．
【解析】解：点An（n，）（n∈N+），向量=（0，1），θn是向量与i的夹角，
=，=，…，=，
∴++…+=+…+=1﹣=，
故答案为：．
【点评】本题考查了向量的夹角、数列“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．【答案】：①②③
【解析】解：对于①函数y=2x3﹣3x+1=的图象关于点（0，1）成中心对称，假设点（x0，y0）在函数图象上，则其关于①点（0，1）的对称点为（﹣x0，2﹣y0）也满足函数的解析式，则①正确；
对于②对∀x，y∈R，若x+y≠0，对应的是直线y=﹣x以外的点，则x≠1，或y≠﹣1，②正确；
对于③若实数x，y满足x2+y2=1，则=，可以看作是圆x2+y2=1上的点与点（﹣2，0）连线
的斜率，其最大值为，③正确；
对于④若△ABC为锐角三角形，则A，B，π﹣A﹣B都是锐角，
即π﹣A﹣B＜，即A+B＞，B＞﹣A，
则cosB＜cos（﹣A），
即cosB＜sinA，故④不正确．
对于⑤在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，
取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD=AD，
∵=|，
由
则，
即
则
又BC=5
则有
由余弦定理可得cosC＜0，
即有C为钝角．
则三角形ABC为钝角三角形；⑤不正确．
故答案为：①②③
18．【答案】6．
【解析】解：由抛物线y2=4x可得p=2．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
∵线段AB的中点M的横坐标为2，∴x1+x2=2×2=4．
∵直线AB过焦点F，
∴|AB|=x1+x2+p=4+2=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了抛物线的过焦点的弦长公式、中点坐标公式，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）证明：取ED的中点为O，
由题意可得△AED为等边三角形，
，，
∴AC2=AO2+OC2，AO⊥OC，
又AO⊥ED，ED∩OC=O，AO⊥面ECD，又AO⊆AED，
∴平面AED⊥平面BCDE；…
（2）如图，以O为原点，OC，OD，OA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则E（0，﹣1，0），A（0，0，），C（，0，0），B（，﹣2，0），
，，，
设面EAC的法向量为，
面BAC的法向量为
由，得，∴，
∴，
由，得，∴，
∴，
∴，
∴二面角E﹣AC﹣B的余弦值为．…
2016年5月3日
20．【答案】（1）12-=n a n ,n
n b 21=；（2）n n
n T 2323+-=. 【解析】
试题分析：（Ⅰ1）设d 为等差数列{}n a 的公差，且0>d ，利用数列的前三项分别加上3,1,1后成等比数列，
求出d ，然后求解n b ；（2）写出n
n n T 21
2...232321321-+
+++=
利用错位相减法求和即可． 试题解析：解：（1）设d 为等差数列{}n a 的公差，0>d ，
由11=a ，d a +=12，d a 213+=，分别加上3,1,1后成等比数列，] 所以)24(2)2(2
d d +=+ 0>d ，∴2=d
∴122)1(1-=⨯-+=n n a n
又1log 22--=n n b a ∴n b n -=2log ，即n
n b 21
=
（6分）
考点：数列的求和． 21．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵对任意正整数n ，a n ∈（﹣
，
），且tana n+1•cosa n =1（n ∈N *
）．
故tan2a n+1==1+tan2a n，
∴数列{tan2a n}是等差数列，首项tan2a1=，以1为公差．
∴=．
∴数列{tan2a n}的前n项和=+=．
（Ⅱ）解：∵cosa n＞0，∴tana n+1＞0，．
∴tana n=，，
∴sina1•sina2•…•sina m=（tana1cosa1）•（tana2•cosa2）•…•（tana m•cosa m）
=（tana2•cosa1）•（tana3cosa2）•…•（tana m•cosa m﹣1）•（tana1•cosa m）
=（tana1•cosa m）==，
由，得m=40．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22．【答案】
【解析】解：由题意可知过焦点的直线方程为y=x﹣，联立，
得，
设A（x1，y1），B（x2，y2）
根据抛物线的定义，得|AB|=x1+x2+p=4p=8，
解得p=2．
∴抛物线的方程为y2=4x．
【点评】本题给出直线与抛物线相交，在已知被截得弦长的情况下求焦参数p的值．着重考查了抛物线的标准方程和直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．
23．【答案】
【解析】解：
（1）交线围成的四边形EFCG （如图所示）． （2）∵平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ， 平面A 1B 1C 1D 1∩α＝EF ， 平面ABCD ∩α＝GC ， ∴EF ∥GC ，同理EG ∥FC . ∴四边形EFCG 为平行四边形， 过E 作EM ⊥D 1F ，垂足为M ， ∴EM ＝BC ＝10，
∵A 1E ＝4，D 1F ＝8，∴MF ＝4. ∴GC ＝EF ＝EM 2＋MF 2＝
102＋42＝116，
∴GB ＝
GC 2－BC 2＝
116－100＝4（事实上Rt △EFM ≌Rt △CGB ）．
过C 1作C 1H ∥FE 交EB 1于H ，连接GH ，则四边形EHC 1F 为平行四边形，由题意知，B 1H ＝EB 1－EH ＝12－8＝4＝GB .
∴平面α将长方体分成的右边部分由三棱柱EHG -FC 1C 与三棱柱HB 1C 1­GBC 两部分组成． 其体积为V 2＝V 三棱柱EHG -FC 1C ＋V 三棱柱HB 1C 1­GBC ＝S △FC 1C ·B 1C 1＋S △GBC ·BB 1 ＝12×8×8×10＋1
2
×4×10×8＝480， ∴平面α将长方体分成的左边部分的体积V 1＝V 长方体－V 2＝16×10×8－480＝800. ∴V 1V 2＝800480＝53
， ∴其体积比为53（3
5也可以）．
24．【答案】
【解析】解：函数f （x ）的定义域为（0，+∞），（2分）
（Ⅰ）当a=1时，f （x ）=lnx ﹣x ﹣1，∴f （1）=﹣2，，
∴f ′（1）=0，∴f （x ）在x=1处的切线方程为y=﹣2（5分）
（Ⅱ）
=
（6分）
令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，或x＞2；令f'（x）＞0，可得1＜x＜2
故当时，函数f（x）的单调递增区间为（1，2）；单调递减区间为（0，1），（2，+∞）.
（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）可知函数f（x）在（1，2）上为增函数，
∴函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=（9分）
若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，等价于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，
e]上的最小值（*）（10分）
又，x∈[0，1]
①当b＜0时，g（x）在[0，1]上为增函数，与（*）矛盾
②当0≤b≤1时，，由及0≤b≤1得，
③当b＞1时，g（x）在[0，1]上为减函数，，
此时b＞1（11分）
综上，b的取值范围是（12分）
【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查恒成立问题，解题的关键是将对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，转化为g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值．。