14.2.1平方差公式 教案 2023-2024学年人教版八年级数学上册

第十四章整式的乘法与因式分解
·14.2.1 平方差公式·
教案
班级：课时：课型：
一、学情分析
学生在前面已经学习了整式乘法内容，经历过用字母表示数量关系的内容，有了一定的符号感.经过一个学期的培养，学生已经具备了自主学习能力和小组合作、交流能力.学生刚学过多项式乘以多项式，已经具备一定及计算能力，对将要学习平方差有了基础铺垫.
二、教学目标
1.经历探索平方差公式的过程,会推导平方差公式；
2.理解探索平方差公式的几何意义；
3.掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的运算．
三、重点难点
【教学重点】
平方差公式的推导和应用．
【教学难点】
理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式.
四、教学过程设计
第一环节【创设情境引入新课】
以前，狡猾的灰太狼，把一块长为ɑ 米的正方形土地租给懒羊羊种植.今年，他对懒羊羊说：“我把你这块地一边减少5米，另一边增加5米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”懒羊羊听了，觉得好像没有吃亏，就答应了.懒羊羊回去羊村，把这件事跟大伙一说，喜羊羊马上就说懒羊羊吃亏了.过了一会儿沸羊羊也说懒羊羊确实吃亏了.这是为什么呢？
设计意图：通过有趣的情境激发学生学习的兴趣.
第二环节【合作交流探索新知】
师：1.面积变了吗？
引导学生计算出原来和现在的面积：
原来的面积为a2，
现在的面积为(a+5)(a-5).
引导学生用多项式乘以多项式计算：
(ɑ+5)(ɑ-5)
=ɑ2-5ɑ+5ɑ-25
=ɑ2-25.
计算后得到：土地的面积比原来减少了25 平方米，所以懒洋洋吃亏了.
2.计算下列多项式的积：
（1）(x+1)(x-1)=x2-1；
（2）(m+2)(m-2)=m2-4；
（3）(2x+1)(2x-1)=4x2-1.
师：算式左边和右边分别有什么特征？
生：左边：两个二项式的积，有一项完全相同，另一项互为相反数.
右边：相同项的平方减去相反项的平方.
猜想：(a+b)(a-b)=a2-b2.
验证：(ɑ+b)(ɑ-b)
=ɑ2-ɑb+ɑb-b2
=ɑ2-b2.
验证后得到：
平方差公式：(ɑ+b)(ɑ-b)=ɑ2-b2.
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.
3.你能用图形的面积说明平方差公式吗？
（教师演示动画）
通过图形变化得到：(ɑ+b)(ɑ-b)=a2-b2.
设计意图：在学生已掌握的多项式乘法法则的基础上,探索具有特殊形式的多项式乘法──平方差公式，这样更加自然、合理.
第三环节【应用迁移巩固提高】
例1.判断下列式子是否能用平方差公式进行计算：
（1）(2x+1)(2x-1)；（2）(-x+3)(x-3)；
（3）(-x+y)(x+y)；（4）(y+5)(y-2).
例2.运用平方差公式计算：
（1）(3x+2)(3x-2)；（2）(-x+2y)(-x-2y)；
（3）(-2y-3x)(2y-3x).
例3.计算：（1）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)；
（2）102×98.
设计意图：本环节结合新课知识对例题进行讲解，让学生进一步掌握平方差公式.
【答案】
例1.（1）能；（2）不能；（3）能；（4）不能.
例2.解：（1）(3x+2)(3x-2)
=(3x)2-22
= 9x2-4；
（2）(-x+2y)(-x-2y)
=(-x)2-(2y)2
=x2-4y2；
（3）(-3x+2y)(-3x-2y)
=(-3x)2-(2y)2
= 9x2-4y2.
例3.解：（1）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
=y2-4-(y2+4y-5)
=y2-4-y2-4y+5
=-4y+1；
（2）102×98
=(100+2)(100-2)
= 1002-22
= 10000-4
= 9996.
第四环节 【随堂练习 巩固新知】
1.下列各式中，能用平方差公式计算的是(
) A.(2x -3y )(-2x +3y )
B.(-3x +4y )(-4y -3x )
C.(x -y )(x +2y )
D.(x +y )(-x -y )
2．下列计算正确的是( )
A ．(x +3)(x -3) = x 2-6
B ．(3x +2y )(3x -2y ) = 3x 2-2y 2
C ．(m -n )(-m -n ) = m 2-n 2
D ．(34a +43b )(43b -34a ) = 169
b 2-916
a 2
3.计算：
（1）(m +3)(m -3) = ；
（2）(43y -32)(32+43
y ) = ；
（3）(-3x +2y )(-3x -2y ) = ；
4.填空：
(- 21x +2y )( ) = 41
x 2-4y 2；
(-4ɑ-1)( ) = 1-16ɑ2.
5.方程(x +6)(x -6)-x (x -9) = 0的解是_______.
设计意图：通过学生对简单习题的求解，让学生初步接触该课题的知识，巩固好基础，以便求解下一环节的习题.
【答案】
1.B
2.D
3.m 2
-9； 169y 2 -94；9x 2-4y 2 4.-21x -2y ；-1+4ɑ 5.x = 4
第五环节 【当堂检测 及时反馈】
1. （2020春•沙坪坝区校级期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A ．(x +1)(x -1)
B ．(-x +y )(x -y )
C ．(x -y )(-y -x )
D ．(x 2-y 2)(x 2+y 2)
2．（2019秋•玉环市期末）计算(-x +y )(x +y )的结果是（ ）
A．x2-y2B．-x2+y2
C．-x2-y2D．x2+y2
3．（2019秋•定州市期末）若(2a+3b)()= 9b2-4a2，则括号内应填的代数式是（）
A．-2a-3b B．2a+3b
C．2a-3b D．3b-2a
4．（2019秋•孟津县期末）已知a+b=-3，a-b= 1，则a2-b2的值是（）
A．8B．3 C．-3D．10
5．（2019秋•叙州区期末）若m2-n2=5，则(m+n)2(m-n)2的值是（）
A．25B．5 C．10D．15
6．如图①，在边长为ɑ的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形(ɑ＞b)，把剩下的部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两个图形的面积，可以验证的公式是()
A．ɑ2+b2=(ɑ+b)(ɑ-b)
B．ɑ2-b2=(ɑ+b)(ɑ-b)
C．(ɑ+b)2=ɑ2+2ɑb+b2
D．(ɑ-b)2=ɑ2-2ɑb+b2
7．（2020春•淮阴区期中）若2a+b=-3，2a-b= 2，则4a2-b2=．
8．（2019秋•宁都县期末）计算：
2020×2018-20192=．
9.计算：99×101×10001.
10.(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16).
设计意图：本环节的练习层次较高，主要考察学生对本课的掌握程度，以此反馈本课的学习质量，便于教师调整教学.
【答案】
1.B
2.B
3.D
4.C
5.A
6.B
7.-6 8.-1
9.解：原式=(100-1)(100+1)×10001
=(1002-1)×10001
=(10000-1)(10000+1)
= 100000000-1
= 99999999.
10.解：原式=(x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) =(x4-y4)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16)
=(x8-y8)(x8+y8)(x16+y16)
=(x16-y16)(x16+y16)
=x32-y32.
第六环节【拓展延伸能力提升】
1.科学探究
给出下列算式: 32-12= 8 = 8×1；
52-32= 16 = 8×2；
72-52= 24 = 8×3；
92-72= 32 = 8×4.
(1)观察上面一系列式子，你能发现什么规律？
.
(2)用含n的式子表示出来(n为正整数).
(3)计算20052-20032=. 此时n=.
2.(1)填空：
(ɑ-b)(ɑ+b)= __________；
(ɑ-b)(ɑ2+ɑb+b2)= __________；
(ɑ-b)(ɑ3+ɑ2b+ɑb2+b3)= ___________．
(2)猜想：
(a-b)(a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1)= ______(其中n为正整数，且n≥2)．
(3)利用(2)猜想的结论计算：29-28+27-…+23-22+2.
设计意图：本环节主要考察学生能否灵活运用本课知识求解综合性较高的习题，了解学生的掌握程度，展现了教学有梯度的理念.
【答案】
1.（1）连续两个奇数的平方差是8 的倍数
（2）(2n+1)2-(2n-1)2= 8n
（3）8016；1002
2.（1）ɑ2-b2；ɑ3-b3；ɑ4-b4
（2）a n-b n
（3）∵[（2-（-1）]（29﹣28+27﹣…+23﹣22+2﹣1）
= 210﹣110，
∴29﹣28+27﹣…+23﹣22+2﹣1
=（210﹣110）÷3
= 341，
∴29﹣28+27﹣…+23﹣22+2
=341+1
= 342．
第七环节【总结反思知识内化】
课堂小结：
两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差.
平方差公式：(ɑ+b)(ɑ-b)=ɑ2-b2.
平方差公式的逆用：ɑ2-b2=(ɑ+b)(ɑ-b).
设计意图：通过知识小结，使学生梳理本节课所学内容，理解本课核心知识，提高学习质量.
第八环节【布置作业夯实基础】。