2.5 第2课时 图形面积问题
六年级下册数学整理和复习图形与几何第2课时平面图形的认识与测量(2)PPT
2 m ＝100.48（米） 答：这条道路的面积是188.4平方米，
外沿周长是100.48米。
6.草地上有一间房子，占地形状是边长4米的正方形。
一只羊被拴在房子的外墙角处，已知栓羊的绳子长6
米，这只羊能吃到草的面积是多少平方米？
如图，羊能吃到草的面积由三个扇形组成。
2m
3.14×62×－34 ＋3.14×(6－4)2×－12
6
6 a
h b
10.5
周长：6×2＋10.5＋7.5＝30（m）
面积： （6＋10.5）×6÷2 ＝16.5×6÷2 ＝49.5（m2）
1.计算下面各图形的周长和面积。（单位：m）
周长： 3.14×6÷2＋6+5×2
6
＝9.42＋ 6 +10
＝25.42（m）
面积： 3.14×(6÷2)2÷2 ＋5×3
平面图形的面积计算公式 圆的面积＝圆周率×半径的平方 把一个圆分成若干份，剪拼成一个近似的长方形， 这个长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于 圆的半径。
r
πr
平面图形的面积计算公式
长方形的面积＝长×宽 S＝ab 正方形的面积＝边长×边长 S＝a2
平行四边形的面积＝底×高 S＝ah 三角形的面积＝底×高÷2 S＝ah÷2
x cm
梯形面 积减扇 形面积
扇形面积 减三角形 面积
(10＋x)×10÷2＝107 10＋x＝21.4 x＝11.4
答：x的值是11.4。
课后作业
01 课后练习第6题。 02 相关练习。
a
把正方形看作长和宽相等的长方形。 a
平行四边形的面积＝底×高
通过割补、平移转化为长方形。
部编版三年级数学下册第五单元第2课时《面积单位》(授课课件)
边长1分米的正方形，面积是1平方分米。
用手比画1平方 分米的大小。
你能自己用手比画比画吗？看一看，再想一想，我 们身边哪些物体一个面的面积大约是1平方分米。
边长1米的正方形，面积是1平方米。
1平方米到底多大呢？
活动：请同学们伸开双臂，比画一下1米有多长， 然后四个同学合作，比划1平方米有多大。
找一找，我们身边哪些物体一个面的面积大约是1平方米？
夯实基础 1．填一填。 (1)边长是1 cm的正方形的面积是( 1 cm2 )。 (2)边长是1 dm的正方形的面积是( 1 dm2) 。 (3)边长是1 m的正方形的面积是( 1 m2 ) 。 (4)用12个面积是1平方厘米的小正方形拼成一个长
方形，这个长方形的面积是( 12 )平方厘米。
2．在括号里填上合适的面积单位。
米 厘米
分米
平方厘米 平方分米 平方米
（选题源于教材P65第5题）
3．用四个1平方厘米的正方形，拼成下面的图形。它
们的面积各是多少？它们的周长各是多少？
（选题源于教材P65第6题）
面积：1×4=4（平方厘米） 面积：1×4=4（平方厘米）
周长：1×10=4（厘米）
周长：1×10=4（厘米）
面积：1×4=4（平方厘米） 面积：1×4=4（平方厘米）
4．判断。(对的画“√”，错的画“×”) (1)1平方米比1米大。 (2)1本书厚3平方厘米。 (3)李明房间的面积是18米。 (4)边长为1分米的正方形的面积是4分米。 (5)学校操场的面积大约是1500平方分米。
(× ) (× ) (× ) (× ) (× )
5. 求下面各图形的面积和周长。(每个小正方形的面 积为1cm2)
（3）
小
人教九年级数学上册-几何图形面积问题(附习题)
点有最低（高）点，也就是说，当x=
有最小（大）值
4ac 4a
b2
。
b 2a
时，二次函数
利用二次函数图象解决最值问题时需要注意哪 些问题？
用总长为60m的篱笆围城一个矩形场地，矩形 面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时， 场地的面积S最大？
l
S
分析：
何时取最大值呢？
①已知矩形场地的周长是60m，一边长是lm，则另一边长
22.3 实际问题与二次函数 第1课时 几何图形面积问题
新课导入
问题:从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的 关系式是h＝30t－5t2 (0≤t≤6). 小球运动的时间是 多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多 少？
(1)能建立二次函数模型解决与几何图形相关的实际问题. (2)会用二次函数的图象和性质解决实际问题.
菜园的面积最大,为
225 2
m2
.
综合应用
3.如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边 上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方 形EFGH的面积最小？
解：令AB长为1，设DH=x，正方形EFGH的面
积为y，则DG=1-x.
y
12
4
1 2
x(1
x
)
2
x
1 2
2
1 2
(0
BD=10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面
积最大？
解：设AC=x,四边形ABCD面积为y, 则BD=(10-x).
y 1 x(10 x) 1 ( x 5)2 25 .
2
2
2
当x＝5时, y有最大值 25 .
第2课时 《估测图形的面积》
面积与面积单位教学内容：青岛版小学数学三年级下册第50页，信息窗1红点；自主练习1至4题；新课堂第五单元信息窗1第1课时教学目标：1．通过直观操作等活动，使学生理解面积的意义，认识面积单位，建立面积单位的正确表象。
2．经历用不同方式比较图形面积的过程，体会建立统一面积单位的重要性；经历面积单位产生的过程。
3．培养学生观察分析、综合比较、抽象概括、推理的能力。
4．在不同的学习活动中体会数学和生活的紧密联系，激发进一步学习和探索的能力。
教学重点：理解面积的意义，认识常用的面积单位，初步建立面积单位的表象。
教学难点：建构1平方厘米、1平方分米、1平方米的面积单位概念。
教具：多媒体课件、常用的面积单位模型，1平方厘米、1平方分米、1平方米大小的纸片。
学具：学具袋（内有直径2厘米圆形纸片20个、边长1厘米的小正方形若干、边长2厘米的正方形纸片20个，厨房长方形、餐厅正方形纸片各一张，测量记录表一张）、信封（内有两张大小不同的两张卡纸，边长1分米的正方形）、A4纸一张教学过程：一、创设情景，提出问题1．谈话引入：同学们，老师刚刚搬了新家，想看看老师的新房子吗？（想！）课件展示新房图片：漂亮吗？想不想更全面的了解一下房子的构造？我们来看一下房子的平面图：（课件展示课本情境图）2．观察画面：看到这张平面图，你能提出什么数学问题呢？（学生根据画面可能提出：一共有几个房间？什么形状？餐厅有多大？哪个房间最大？厨房和餐厅哪个大？……）3. 揭示课题：同学们所说的这个“大”指的是餐厅、卧室的什么？（面积你能说说什么是面积吗？(学生根据自己的生活经验试说面积的含义，或者到讲台上指一指餐厅的面积) 究竟什么是面积呢？这节课我们就一起来探究面积的有关知识。
（板书课题：面积）二、自主学习，小组探究。
1.感知物体的面积（1）看一看：拿出信封里的两张大小不同的纸片，观察一下有什么不一样？预设：它们的大小不同。
（2）摸一摸：摸一摸两张纸的大小指的是哪些地方？学生演示摸纸的过程。
苏教版数学五年级上册2.5《不规则图形的面积》教案
苏教版数学五年级上册2.5《不规则图形的面积》教案一. 教材分析苏教版数学五年级上册2.5《不规则图形的面积》一课，是在学生已经掌握了长方形、正方形、三角形等规则图形的面积计算方法的基础上进行教学的。
本节课通过学生自主探究、合作交流，引导学生利用转化的方法，将不规则图形转化为规则图形，从而求出不规则图形的面积。
这一内容不仅有助于提高学生分析问题、解决问题的能力，还能培养学生的空间想象力和抽象思维能力。
二. 学情分析五年级的学生在数学学习方面已有了一定的基础，对规则图形的面积计算方法有一定的了解。
但学生在解决不规则图形面积问题时，往往还停留在直观的、具体的水平，缺乏对问题本质的认识。
因此，在教学本节课时，教师要注重引导学生从直观到抽象，从具体到一般的认识过程，让学生在探究、交流中体会转化方法的应用，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：学生会运用转化的方法，将不规则图形转化为规则图形，求出不规则图形的面积。
2.过程与方法：学生通过自主探究、合作交流，培养空间想象力和抽象思维能力。
3.情感态度与价值观：学生体验数学与生活的联系，增强对数学的兴趣和信心。
四. 教学重难点1.重点：学生能运用转化的方法，求出不规则图形的面积。
2.难点：学生能理解并掌握转化方法在解决不规则图形面积问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：教师通过创设生活情境，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与学习。
2.启发式教学法：教师提出问题，引导学生独立思考、合作交流，培养学生解决问题的能力。
3.实践活动法：学生通过动手操作，加深对不规则图形面积计算方法的理解。
六. 教学准备1.教具：不规则图形卡片、规则图形卡片、剪刀、直尺等。
2.学具：每位学生准备一份不规则图形卡片，剪刀、直尺等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过创设一个生活情境，如菜市场卖菜的场景，引导学生发现不规则图形（如蔬菜）的面积计算问题。
学生积极参与，提出自己的计算方法。
【新教材】第二章 2.5.1 第2课时 直线与圆的方程的应用
第2课时直线与圆的方程的应用学习目标1. 理解并掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用.2.会用“数形结合”的数学思想解决问题．知识点一解决实际问题的一般程序仔细读题(审题)→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案．知识点二用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，如点、直线，将平面几何问题转化为代数问题．第二步：通过代数运算，解决代数问题．第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论．1．一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方程是()A．x2＋y2＝25B．x2＋y2＝25(y≥0)C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)D．随建立直角坐标系的变化而变化答案 D2．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为()A．4 B．3 C．2 D．1答案 C解析圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)到直线x＋y＝1的距离d＝|－1|12＋12＝22<1，所以直线x＋y＝1与圆x2＋y2＝1相交．故选C.3．已知点A(3,0)及圆x2＋y2＝4，则圆上一点P到点A距离的最大值和最小值分别是________．答案5, 1解析圆的半径为2，圆心到点A的距离为3，结合图形可知，圆上一点P到点A距离的最大值是3＋2＝5，最小值是3－2＝1.4．如图，圆弧形拱桥的跨度AB＝12 m，拱高CD＝4 m，则拱桥的直径为________ m.答案13解析设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得，|OB|2＝|OD|2＋|BD|2，即r2＝(r－4)2＋62，解得r＝132，所以拱桥的直径为13 m.一、直线与圆的方程的应用例1 一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2＋y 2＝9， 港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)， 则轮船航线所在直线l 的方程为x 7＋y4＝1，即4x ＋7y －28＝0，圆心(0,0)到l ：4x ＋7y －28＝0的距离d ＝2842＋72＝2865，因为2865>3，所以直线与圆相离．故轮船不会受到台风的影响．反思感悟解决直线与圆的实际应用题的步骤(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知．(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素．(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知．(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．跟踪训练1(1)设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离是________．答案722－2解析从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，即|2＋3＋2|12＋(－1)2－2＝722－2.(2)如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________米．答案251解析如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系．设圆心为C，圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2(r>0)，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)．将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，则圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0>0)，将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝51，所以当水面下降1米后，水面宽为2x0＝251(米)．二、坐标法的应用例2用坐标法证明：若四边形的一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则该四边形的对角线互相垂直．已知：四边形ABCD，AB2＋CD2＝BC2＋AD2.求证：AC⊥BD.证明如图，以AC所在的直线为x轴，过点B垂直于AC的直线为y轴建立直角坐标系，设顶点坐标分别为A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)，D(x，y)，∵AB2＋CD2＝BC2＋AD2，∴a2＋b2＋(x－c)2＋y2＝b2＋c2＋(x－a)2＋y2，∴(a－c)x＝0，∵a≠c即a－c≠0，∴x＝0，∴D在y轴上，∴AC⊥BD.反思感悟(1)坐标法建立直角坐标系应坚持的原则①若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴．②充分利用图形的对称性．③让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称．④关键点的坐标易于求得．(2)通过建立坐标系，将几何问题转化为代数问题，通过代数运算，求得结果．所以本例充分体现了数学建模和数学运算的数学核心素养．跟踪训练2如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且AB⊥CD，E为垂足．利用坐标法证明E是CD的中点．证明 如图所示，以O 为坐标原点，以直径AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设⊙O 的半径为r ，|OE |＝m ，则⊙O 的方程为 x 2＋y 2＝r 2，设C (m ，b 1)，D (m ，b 2)．则有m 2＋b 21＝r 2，m 2＋b 22＝r 2， 即b 1，b 2是关于b 的方程m 2＋b 2＝r 2的根， 解方程得b ＝±r 2－m 2， 不妨设b 1＝－r 2－m 2，b 2＝r 2－m 2，则CD 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫m ，r 2－m 2－r 2－m 22， 即(m ，0)．故E 是CD 的中点．1．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上的点到直线l 的距离的最小值为( )A. 2B. 3 C ．1 D ．3 答案 A解析 由题意知，圆C 上的点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l 的距离减去圆的半径，即|1－1＋4|12＋(－1)2－2＝ 2.2．已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值是( ) A ．8 B ．－4 C ．6 D ．无法确定 答案 C解析 因为圆上两点A ，B 关于直线x －y ＋3＝0对称， 所以直线x －y ＋3＝0过圆心⎝⎛⎭⎫－m2，0， 从而－m2＋3＝0，即m ＝6.3．一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为( ) A ．2.4米 B ．3.5米 C ．3.6米 D ．2.0米答案 B解析 以半圆所在直径为x 轴，过圆心且与x 轴垂直的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．易知半圆所在的圆的方程为x2＋y2＝3.62(y≥0)，由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，此时x＝0.8或x＝－0.8，代入x2＋y2＝3.62，得y≈3.5(负值舍去)．4．圆过点A(1，－2)，B(－1,4)，则周长最小的圆的方程为__________________．答案x2＋y2－2y－9＝0解析当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小．即AB中点(0,1)为圆心，半径r＝12|AB|＝10.则圆的方程为x2＋(y－1)2＝10，即x2＋y2－2y－9＝0.5．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过点A与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为________．答案25 4解析∵点A(1,2)在圆x2＋y2＝5上，∴过点A与圆O相切的切线方程为x＋2y＝5，易知切线在坐标轴上的截距分别为5，52，∴切线与坐标轴围成的三角形的面积为254.1．知识清单：(1)直线与圆的方程的应用．(2)坐标法的应用．2．方法归纳：数学建模、坐标法． 3．常见误区：不能正确进行数学建模．1．y ＝|x |的图象和圆x 2＋y 2＝4在x 轴上方所围成的图形的面积是( ) A.π4 B.3π4 C.3π2 D ．π 答案 D解析 数形结合，所求面积是圆x 2＋y 2＝4面积的14.2．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋2a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦长为4，则实数a 的值是( ) A ．－1 B ．－2 C ．－3 D ．－4 答案 B解析 圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋2a ＝0，即 (x ＋1)2＋(y －1)2＝2－2a ， 故弦心距d ＝|－1＋1＋2|2＝2，再由弦心距，半弦长和半径的关系可得2－2a ＝2＋4， ∴a ＝－2.3．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 答案 B解析 如图，圆心M (3，－1)与定直线x ＝－3的最短距离为|MQ |＝3－(－3)＝6.又因为圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.4．若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为( ) A ．2 B ．1 C. 3 D. 2 答案 B解析 x 2＋y 2表示圆上的点(x ，y )与(0,0)间距离的平方， 又点(0,0)在圆内，所以由几何意义可知最小值为14－52＋122＝1.5．已知点A (－1,1)和圆C ：(x －5)2＋(y －7)2＝4，一束光线从点A 经x 轴反射到圆C 上的最短路程是( )A ．62－2B ．8C ．4 6D ．10 答案 B解析 点A 关于x 轴的对称点A ′(－1，－1)，A ′与圆心(5,7)的距离为(5＋1)2＋(7＋1)2)＝10. ∴所求最短路程为10－2＝8.6．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是________． 答案 6 2解析 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0可化为(x －2)2＋(y －2)2＝18， 圆心为(2,2)，半径为3 2.圆心(2,2)到直线x ＋y －14＝0的距离为|2＋2－14|2＝52>32，所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2r ＝6 2.7．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为__________________．答案x＋y－2＝0解析由题意知，点P(1,1)在圆x2＋y2＝4内，则过点P截得的弦最短的直线将圆面分成的两部分面积之差最大，则所求直线与圆心O和P(1,1)的连线垂直，∴该直线斜率为－1，由点斜式方程，得y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.8．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为________h.答案 1解析如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则台风中心经过以B(40,0)为圆心，30为半径的圆内时城市B处于危险区，即B处于危险区时，台风中心在线段MN上，可求得|MN|＝20，所以时间为1 h.9．如图，AB为圆的定直径，CD为直径，自D作AB的垂线DE，延长ED到P，使|PD|＝|AB|，求证：直线CP必过一定点．证明以线段AB所在的直线为x轴，以AB中点为原点，建立直角坐标系，如图，设圆的方程为x2＋y2＝r2，直径AB位于x轴上，动直径为CD.令C(x0，y0)，则D(－x0，－y0)，所以P(－x0，－y0－2r)．所以直线CP的方程为y－y0＝－2r－y0－y0－x0－x0(x－x0)，即(y0＋r)x－(y＋r)x0＝0.所以直线CP过直线：x＝0，y＋r＝0的交点(0，－r)，即直线CP过定点．10．如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的B 处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)解 如图，以O 为坐标原点，东西方向为x 轴建立平面直角坐标系，则A (40,0)，B (0,30)， 圆O 方程为x 2＋y 2＝252. 直线AB 方程为x 40＋y30＝1，即3x ＋4y －120＝0.设O 到AB 距离为d ， 则d ＝|－120|5＝24<25，所以外籍轮船能被海监船监测到． 设监测时间为t ， 则t ＝2252－24228＝0.5(h)．答 外籍轮船能被海监船监测到，持续时间为0.5 h.11．若方程1－x 2＝kx ＋2有唯一解，则实数k 的取值范围是( ) A ．k ＝±3 B ．k ∈(－2,2) C ．k <－2或k >2D ．k <－2或k >2或k ＝±3 答案 D 解析 方程1－x 2＝kx ＋2有唯一解等价于y ＝1－x 2与y ＝kx ＋2有唯一公共点．由图象(图略)知选D.12．已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝9－x 2，y ≠0}，n ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，若M ∩N ≠∅，则实数b 的取值范围是( ) A ．[－32，32] B ．[－3,3] C ．(－3,32] D ．[－32，3)答案 C解析 数形结合法，注意y ＝9－x 2，y ≠0等价于x 2＋y 2＝9(y >0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝9在x 轴之上的部分(如图所示)．结合图形不难求得， 当－3<b ≤32时，直线y ＝x ＋b 与半圆x 2＋y 2＝9(y >0)有公共点．13．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，点A (－2,0)及点B (3，a )，从点A 观察点B ，要使视线不被圆C 挡住，则a 的取值范围为________________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，－524∪⎣⎡⎭⎫524，＋∞ 解析 由题意知，AB 所在直线与圆C 相切或相离时，视线不被挡住， 直线AB 的方程为y ＝a5(x ＋2)，即ax －5y ＋2a ＝0，所以d ＝|3a |a 2＋(－5)2≥1，即a ≥524或a ≤－524.14．某圆拱桥的水面跨度是20 m ，拱高为4 m ．现有一船宽9 m ，在水面以上部分高3 m ，通行无阻．近日水位暴涨了1.5 m ，为此，必须加重船载，降低船身，当船身至少降低____ m 时，船才能安全通过桥洞．(结果精确到0.01 m) 答案 22解析 以水位未涨前的水面AB 的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，设圆拱所在圆的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2， ∵圆经过点B (10,0)，C (0,4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 100＋b 2＝r 2，(4－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－10.5，r ＝14.5.∴圆的方程是x 2＋(y ＋10.5)2＝14.52(0≤y ≤4)，令x ＝4.5，得y ≈3.28，故当水位暴涨1.5 m 后，船身至少应降低1.5－(3.28－3)＝1.22 (m)，船才能安全通过桥洞.15．若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A ．[2－3，1] B ．[2－3，2＋3] C.⎣⎡⎦⎤33，3 D ．[0，＋∞)答案 B解析 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0可化为(x －2)2＋(y －2)2＝18， 则圆心为(2,2)，半径为3 2.由圆上至少有三个不同的点到直线l 的距离为22， 可得圆心到直线l 的距离d ≤32－22＝2， 即|2a ＋2b |a 2＋b 2≤2，则a 2＋b 2＋4ab ≤0.①若b ＝0，则a ＝0，不符合题意，所以b ≠0，则①式可化为1＋⎝⎛⎭⎫a b 2＋4ab ≤0.②又直线l 的斜率k ＝－ab，所以②式可化为1＋k 2－4k ≤0，解得2－3≤k ≤2＋ 3.16．如图所示，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝43.(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？解 (1)如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy .由条件知，A (0,60)，C (170,0)，直线BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－43. 又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB ＝34. 设点B 的坐标为(a ，b )，则k BC ＝b －0a －170＝－43， k AB ＝b －60a －0＝34， 解得a ＝80，b ＝120.所以BC ＝(170－80)2＋(0－120)2＝150.因此新桥BC 的长为150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m ，OM ＝d m(0≤d ≤60)．由条件知，直线BC 的方程为y ＝－43(x －170)， 即4x ＋3y －680＝0.由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ，即r ＝|3d －680|42＋32＝680－3d 5. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ r －d ≥80，r －(60－d )≥80， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 680－3d 5－d ≥80，680－3d 5－(60－d )≥80，解得10≤d ≤35. 故当d ＝10时，r ＝680－3d 5最大，即圆面积最大． 所以当OM ＝10 m 时，圆形保护区的面积最大．。
湘教版九年级上册数学习题课件2.5.2图形面积问题
第2课时 图形面积问题
几何图形中面积、体积的计算方法： 三角形的面积＝____底__×__高__÷__2___； 矩形的面积＝__长__×__宽________； 梯形的面积＝__(_上__底__＋__下__底__)_×_高__÷__2_______； 正方形的面积＝___边__长__×__边__长___； 长方体的体积＝____长__×__宽__×_高_______．
9．一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图，它的长为8 m，宽 为5 m，如果地毯中央长方形图案的面积为18 m2，问花边有多宽？
解：设花边宽为x m，则有(8－2x)(5－2x)＝18，解得x1＝1，x2 ＝5.5.当x＝5.5时，8－2x＝－3(舍去)，∴x＝1，即花边宽1 m
10．(2014·新疆)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100 米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求 羊圈的边长AB，BC各为多少米？
解：(1) 设AB的长为x米，则长为(21－3x)米，根据题意，得 x(21－3x)＝36.解得x＝3或x＝4.∵墙外可用宽度为3.25 m，∴x只 能取3.答：边AB的长为3 m
(2)不能．理由：花圃的面积为(21－3x)x＝－3(x－3.5)2＋36.75 ，∴当AB长为3.5 m时，有最大面积，为36.75平方米，但由于墙 外可用宽度为3.25 m<3.5 m．即花圃的面积不能达到36.75 m2
解：根据题意，有A(－6，0)，C(0，8)，OA＝6，OC＝8，设 经过x秒后，△POQ面积为8个平方单位，则有(6－x)·2x÷2＝8， 解得x1＝2，x2＝4，当x＝2时，OP＝6－x＝4，OQ＝4，符合题 意，当x＝4时，OP＝6－x＝2，OQ＝8，符合题意．∴经过2秒或 4秒后，△POQ的面积为8个平方单位
2020年秋九年级数学上册 第2章 2.5 一元二次方程的应用 第2课时 图形面积问题同步练习
2.5 一元二次方程的应用第2课时图形面积问题知识点 1 面积问题图2－5－11．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图2－5－1)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为( )A．(x＋1)(x＋2)＝18B．x2－3x＋16＝0C．(x－1)(x－2)＝18D．x2＋3x＋16＝02．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300 cm3，则原正方形铁皮的边长为( )A．10 cm B．13 cm C．14 cm D．16 cm图2－5－23．如图2－5－2是一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，它的长为8 m，宽为5 m，如果地毯中央长方形图案的面积为18 m2.那么花边的宽为________m.4．如图2－5－3，利用一面墙(墙的长度不限)，另三边用58 m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地，求矩形的长和宽．图2－5－35．如图2－5－4，要在一个长为10 m、宽为8 m的院子中沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的30%，试求这个花圃的宽度．图2－5－4知识点 2 动点问题6．教材练习第2题变式如图2－5－5，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，图2－5－5BC＝6 cm.动点P，Q分别从点A，B同时开始运动，点P的速度为1 cm/s，点Q的速度为2 cm/s，点Q运动到点C后停止运动，点P也随之停止运动．经过几秒后，能使△PBQ的面积为15 cm2？( )A．2 s B．3 s C．4 s D．5 s7．如图2－5－6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速运动，其速度均为2 cm/s，几秒后△PCQ的面积是△ABC面积的一半？图2－5－68．如图2－5－7，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米．图2－5－79．在△ABC中，∠B＝60°，AB＝24 cm，BC＝16 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以4 cm/s的速度运动，点Q从点C开始沿CB边向点B以2 cm/s的速度运动．它们同时出发，求几秒后，△PBQ的面积是△ABC面积的一半．10．2016·百色如图2－5－8，在直角墙角AOB(OA⊥OB，且OA，OB长度不限)中，要砌20 m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且矩形地面AOBC的面积为96 m2.(1)求矩形地面的长；(2)有规格为0.80 m×0.80 m和1.00 m×1.00 m的地板砖单价分别为55元/块和80元/块．若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙)，用哪一种规格的地板砖费用较少？图2－5－811．如图2－5－9①，要设计一幅宽20 cm，长30 cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？分析：由横、竖彩条的宽度比为2∶3，可设每个横彩条的宽为2x cm，则每个竖彩条的宽为3x cm.为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形ABCD.(1)结合以上分析完成填空：如图②：用含x的代数式表示：AB＝________cm；AD＝________cm；矩形ABCD的面积为________cm2.(2)列出方程并完成本题的解答．图2－5－9详解详析1．C [解析] 根据题意，可知剩余的长方形空地的长为(x－1)m，宽为(x－2)m，所以可列出方程为(x－1)(x－2)＝18，故选C.2． D [解析] 设原正方形铁皮的边长是x cm，则做成的没有盖的长方体盒子的长、宽均为(x－3×2)cm，高为3 cm，根据题意列方程得(x－3×2)×(x－3×2)×3＝300，解得x1＝16，x 2＝－4(不合题意，舍去)．即原正方形铁皮的边长是16 cm.故选D.3．1 [解析] 设花边的宽为x m ，则地毯的长为(8－2x )m ，宽为(5－2x )m ，根据题意列方程得(8－2x )(5－2x )＝18，解得x 1＝1，x 2＝5.5(不符合题意，舍去)．故花边的宽为1 m.4．解：设垂直于墙的一边长为x m ，则平行与墙的一边长为(58－2x )m. 依题意得x (58－2x )＝200， 解得x 1＝25，x 2＝4，58－2x 1＝8，58－2x 2＝50.答：矩形的长为25 m ，宽为8 m 或矩形的长为50 m ，宽为4 m. 5．解：设这个花圃的宽度为x m ，依题意，得 (10－2x )(8－x )＝10×8×(1－30%)， 解得x 1＝12(不合题意，舍去)，x 2＝1. 答：这个花圃的宽度为1 m.6．B [解析] 设经过t s 后，能使△PBQ 的面积为15 cm 2， 则BP ＝(8－t )cm ，BQ ＝2t cm ，由三角形的面积计算公式列方程得12×(8－t )×2t ＝15，解得t 1＝3，t 2＝5(当t ＝5时，BQ ＝10，不合题意，舍去)．故经过3 s 后，能使△PBQ 的面积为15 cm 2. 7．解：设t s 后△PCQ 的面积是△ABC 面积的一半，则可得此时PC ＝AC －AP ＝(12－2t )cm ，CQ ＝BC －BQ ＝(9－2t )cm ，∴△PCQ 的面积为12·PC ·CQ ＝12(12－2t )(9－2t )cm 2.∵△PCQ 的面积是△ABC 面积的一半，△ABC 的面积＝12×12×9＝54(cm 2)，∴12(12－2t )(9－2t )＝27，解得t ＝9或t ＝1.5.∵0≤t ≤4.5， ∴t ＝1.5，则1.5 s 后△PCQ 的面积是△ABC 面积的一半． 8．设AB ＝x 米，则BC ＝(100－4x )米． 根据题意得x (100－4x )＝400，整理得x 2－25x ＋100＝0，解得x 1＝20，x 2＝5. 当AB ＝20米时，BC ＝20米，符合题意； 当AB ＝5米时，BC ＝80米>25米，故舍去． 答：羊圈的边长AB ，BC 都为20米．9．解：设x s 后，△PBQ 的面积是△ABC 面积的一半，则12(24－4x )(16－2x )×32＝12×12×24×16×32，解得x ＝2或x ＝12(舍去)． 答：2 s 后，△PBQ 的面积是△ABC 面积的一半．10．解： (1)设矩形地面的长为x m ，则宽为(20－x )m ，由题意，得x (20－x )＝96， 解得x 1＝12，x 2＝8(舍去)． 答：矩形地面的长为12 m.(2)需要规格为0.80 m×0.80 m 的地板砖96÷(0.8×0.8)＝150(块)， 则总费用为55×150＝8250(元)；需要规格为1.00 m×1.00 m 的地板砖96÷(1.0×1.0)＝96(块)， 则总费用为80×96＝7680(元)．∵7680＜8250，∴用规格为1.00 m×1.00 m 的地板砖费用较少．11． (1)(20－6x ) (30－4x ) (24x 2－260x ＋600)(2)根据题意，得24x 2－260x ＋600＝(1－13)×20×30，整理，得6x 2－65x ＋50＝0，解得x 1＝56，x 2＝10(不合题意，舍去)，则2x ＝53，3x ＝52.答：每个横、竖彩条的宽度分别为53 cm ，52 cm.。
五年级上册数学第六单元课件-多边形的面积--人教版
底/cm 38 高/cm 21 面积/cm2 798
70 6.2 21.5 18 15 26 9.8 5.2 1050 161.2 210.7 93.6
0.9 0.4 0.36
四、课堂小结
1.已知平行四边形的底和高，可以直接利用公式计算平行 四边形的面积。
2.已知平行四边形的面积、高，求底：a=S ÷h 已知平行四边形的面积、底，求高：h=S ÷ a
6m
（6+3）×4 ÷2=18 （ m2 ）
3m
（7+3）×3 ÷2=15 （ m2 ）
18+15=33（ m2 ）
7m
3m
我会分割
分割成两个长方形
4m 6m
7m
6 ×4=24（m2）
4m
3×3=9（ m2 ）
24+9=33（ m2 ）
3m
3m
6m
3×4=12（m2）
3m
7×3=21（m2）
12+21=33( m2 ）
7m
我会分割
补上一个小正方形
4m
3m
3m
6m 3m
7m
6 ×7= 42（m2） 3×3= 9（m2） 42-9= 33（ m2 ）
例题精选
例题： 粉刷一面墙，粉刷面积是多少平方米？如果每 平方米需用0.15千克涂料，一共要用多少千克涂料？
10 ×2 ÷ 2=10（m2）
10 ×5=50（m2） 10+50=60（ m2 ） 60×0.15=9（千克）
高是4 m，它的面积是多少？
S=ah
……先写字母带入公式
6m
= 6×4 ……代入数求值
= 24（m2）……加单位名称
北师大版五年级数学上册总复习——数与代数(第2课时)
？米
86.1÷3 = 28.7 (m)
5. 一根 6.4 m 长的彩带，每 1.4 dm 剪一段做蝴蝶结， 这根彩带可以做多少个这样的蝴蝶结？
6.4 m = 64 dm 64÷1.4 ≈45.7（个） 答：这根彩带可以做 45 个
这样的蝴蝶结。
【课本P110 练习 第15题】
6. 一只蝴蝶 0.5 时飞行 3.9 km，一只蜜蜂的飞行速度
多少元？ 总价÷数量＝单价 （20－10.5）÷2.5
＝ 9.5÷2.5
解决问题要先读懂题 目，选择恰当的运算 列式计算，最后要对 答案进行检验。
＝ 3.8（元） 答：每千克香蕉3.ห้องสมุดไป่ตู้元。
4. 先说一说。再列式计算。【课本P110 练习 第14题】
一共52.9元
86.1m
花了30.5元
？元
(52.9－30.5)÷4 =22.4 ÷4 = 5.6 (元)
0
15
0. 2 8 4.2 0 28 14 0 14 0 0
先算一算，再说一说每一步的意思。 6.12÷3 ＝ 2.04 4.2÷0.28＝ 15
同学们，小数除法容易出错， 我们在计算时，要细心些哦！
回顾与交流
1. 关于倍数与因数，学习了哪些内容？举例与同伴说一说。
2. 对分数你有了哪些新的认识？尝试整理一下，并与同伴交流。
4.2÷0.28
4. 整理自己经常出错的题目，说一说小数除法计算中应该注意的问题。
5. 解决下面问题，并与同伴说一说你是如何解决的。 李奶奶用20元买了2.5kg香蕉，还剩10.5元，每千克香蕉多少元？
解决下面问题，并与同伴说一说你是如何解决实际问题的。
李奶奶用 20 元买了 2.5 kg 香蕉，还剩 10.5 元，每千克香蕉
秋九年级数学上册 第2章 一元二次方程 2.5 一元二次方程的应用 第2课时 图形面积和动点几何问题
第2课时 图形面积和动点几何问题知|识|目|标1．通过讨论、探究，会用一元二次方程解决图形面积问题．2．在理解直角三角形面积计算的基础上，能够建立一元二次方程解决与动点有关的几何问题．目标一 能利用一元二次方程解决图形面积问题例1 教材例3针对训练如图2－5－2，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一块长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a 米．(1)用含a 的式子表示花圃的面积；(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的38，求出此时通道的宽． 图2－5－2【归纳总结】利用图形的面积建立一元二次方程模型的步骤(1)设元；(2)用未知数表示各边的长度；(3)利用面积公式列一元二次方程；(4)解一元二次方程；(5)针对实际情况舍去负根和超X围的根，从而得出结果．目标二利用一元二次方程解决动点几何问题例2 教材补充例题在矩形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t s(t>0)．(1)填空：BQ＝________ cm，PB＝________ cm(用含t的代数式表示)．(2)当t为何值时，PQ的长度等于5 cm?(3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26 cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【归纳总结】利用一元二次方程解决动点问题的方法(1)构造直角三角形法，利用勾股定理建立一元二次方程．(2)等线段法，利用三角形全等构造两线段相等，建立一元二次方程；(3)等面积法，利用三角形面积(或三角形高)的变化建立面积等式．实现将几何问题转化为代数问题，从而加以解决．知识点利用一元二次方程解几何图形问题常用的等量关系有：(1)勾股定理；(2)面积的等量关系．[点拨] 在建立一元二次方程模型解几何图形实际问题的过程中，必须检验方程的根的实际意义，所求得的根应该保证几何图形的存在．如图2－5－3，某农场有一块长40 m ，宽32 m 的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140 m 2，求小路的宽．图2－5－3解：解法1：设小路的宽为x m ，则东西方向小路的面积为40x m 2，南北方向小路的面积为32x m 2. 则40×32－40x －32x ＝1140，解得x ＝3518. 所以小路的宽为3518m. 解法2：设小路的宽为x m ，将4块种植地平移为一个矩形，其长为(40－x )m ，宽为(32－x )m.根据矩形面积公式，得(40－x )(32－x )＝1140，整理得x 2－72x ＋140＝0.解得x 1＝2，x 2＝70.答：小路的宽应是2 m 或70 m.以上两种解法正确吗？若不正确，出现错误的原因是什么？请给出正确的答案．详解详析【目标突破】例1 解：(1)由图可知，花圃的面积为(40－2a)(60－2a)平方米．(2)由已知可列方程：60×40－(40－2a)(60－2a)＝38×60×40，解得a 1＝5，a 2＝45(舍去)．答：此时通道的宽为5米．例2 解：(1)2t (5－t)(2)由题意得(5－t)2＋(2t)2＝52，解得t 1＝0(不合题意，舍去)，t 2＝2.∴当t ＝2时，PQ 的长度等于5 cm .(3)存在．∵矩形ABCD 的面积是5×6＝30(cm 2)，五边形APQCD 的面积等于26 cm 2，∴△PBQ 的面积为30－26＝4(cm 2)，∴(5－t)×2t×12＝4， 解得t 1＝4(不合题意，舍去)，t 2＝1.即当t ＝1时，五边形APQCD 的面积等于26 cm 2.备选题型 用一元二次方程解决存在性问题例 用一根长22 cm 的铁丝，能不能恰好折成一个面积为32 cm 2的矩形？试分析你的结论．解：设折成的矩形的长为x cm ，则宽为(11－x)cm ，矩形的面积为x(11－x)cm 2，依题意，得x(11－x)＝32，化简为x 2－11x ＋32＝0， Δ＝b 2－4ac ＝(－11)2－4×1×32＝121－128＝－7＜0，因此方程无实数根，则用长为22 cm 的铁丝不能折成一个面积为32 cm 2的矩形．【总结反思】[反思] 解：两种解法都不正确，解法1多减去了两条小路交叉重叠的小正方形的面积，因此正确的方程是40×32－40x －32x ＋x 2＝1140；解法2没有考虑方程的根是否符合实际意义，因为x＜32，显然x＝70不符合题意．正确的答案为x＝2，即小路的宽为2 m.。
湘教版数学九年级上册_课时作业：第2课时_图形面积和动点问题
2.5第2课时图形面积和动点问题一、选择题1．王叔叔从市场上买了一块长80 cm、宽70 cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000 cm2的无盖长方体工具箱，根据题意可列方程为()A．(80－x)(70－x)＝3000B．80×70－4x2＝3000C．(80－2x)(70－2x)＝3000D．80×70－4x2－(70＋80)x＝30002．如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551平方米，则修建的路宽应为()A．1米B．1.5米C．2米D．2.5米3．如图，将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′.若两个三角形重叠部分的面积为 1 cm2，则它移动的距离AA′的值为()A．0.5 cm B．1 cm C．1.5 cm D．2 cm4．如图，在△ABC中，AC＝50 cm，BC＝40 cm，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2 cm/s的速度匀速移动，同时另一点Q由点C开始以3 cm/s的速度沿着射线CB 匀速移动，当△PCQ的面积等于300 cm2时，运动时间为()A．5 s B．20 s C．5 s或20 s D．不确定二、填空题5．如图，用长度为32米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为16米)，围成一个面积为120平方米的长方形花圃．若设BC的长为x米，则根据条件能得到一个关于x的一元二次方程，该方程的一般形式为______________．(不用写出x的取值范围)6．如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿AD方向以 2 cm/s的速度向点D运动．E为AC边上一点．设△ABP 的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t s，则t＝________时，S1＝2S2.三、解答题7．如图①，要设计一幅宽20 cm、长30 cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3.如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？分析：由横、竖彩条的宽度比为2∶3，可设每个横彩条的宽为2x cm，则每个竖彩条的宽为3x cm.为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形ABCD.(1)如图②，用含x的代数式表示：AB＝________cm，AD＝________cm，矩形ABCD的面积为_______________cm2；(2)列出方程并完成本题解答．8.图是一幅长20 cm 、宽12 cm 的图案，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2.设竖彩条的宽度为x cm ，图案中三条彩条所占面积为y cm 2.(1)试用含有x 的代数式表示y ，并确定x 的取值范围；(2)若图案中三条彩条所占面积是图案面积的25，求横、竖彩条的宽度．9．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6 cm ，BC ＝3 cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以2 cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以1 cm/s 的速度移动，如果P ，Q 两点同时出发，点P 运动到C 时，P ，Q 两点同时停止运动．(1)几秒钟后，△APQ 是等腰三角形？(2)几秒钟后，△BPQ 的面积是四边形CQP A 的面积的1310．李明准备进行如下试验操作：把一根长40 cm 的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm 2，李明应该怎么剪这根铁丝？(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2，你觉得他的想法正确吗？请说明理由．方案设计某小区计划在一块长100 m 、宽60 m 的矩形荒地上修建一个配绿化带的活动区，要求整体布局既是轴对称图形，又是中心对称图形，且绿化率不低于35%(绿化率＝绿化面积总面积×100%)．(1)甲方案：如图①所示，设计两条互相垂直且宽度都为a m 的十字活动区域，周边四块为绿化带(图中阴影部分)，若绿化面积为2100 m 2，求a 的值；(2)乙方案：如图K －16－10②所示(单位：m)，场地正中央设计菱形绿化带(图中阴影部分)，周边为活动区域，请通过计算说明该方案是否符合要求．详解详析[课堂达标] 1．[答案] C2．[解析] A 设修建的路宽为x m ．依题意，得(30－x)(20－x)＝551， 解得x 1＝1，x 2＝49(不合题意，舍去)．3．[解析] B 设AC 交A′B′于点H.∵∠A ＝45°，∠AA′H ＝90°，∴△A′HA 是等腰直角三角形．设AA′＝x cm ，则阴影部分的底A′H 的长为x cm ，高A′D ＝(2－x)cm ，∴x·(2－x)＝1，∴x 1＝x 2＝1，即AA′＝1 cm .4．[解析] C 设运动时间为t s ，则AP ＝2t ，CQ ＝3t ，∴PC ＝50－2t.∵12·PC·CQ ＝300，∴12·(50－2t)·3t ＝300，解得t ＝20或t ＝5，∴运动时间为20 s 或5 s 时，△PCQ 的面积等于300 cm 2.故选C .5．[答案] x 2－32x ＋240＝0[解析] 依题意得12(32－x)x ＝120.整理，得x 2－32x ＋240＝0.6．[答案] 6[解析] ∵在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝16 cm ，AD 为BC 边上的高， ∴AD ＝BD ＝CD ＝8 2 cm .又∵AP ＝2t cm ，则S 1＝12AP·BD ＝12×2×8 2t ＝8t ，PD ＝(8 2－2t)cm .∵PE ∥BC ，∴∠AEP ＝∠C ＝45°，∠APE ＝∠ADC ＝90°， ∴∠PAE ＝∠AEP ＝45°，∴PE ＝AP ＝2t cm ，∴S 2＝PD·PE ＝(8 2－2t)·2t.∵S 1＝2S 2，∴8t ＝2(8 2－2t)·2t ，解得t ＝6或t ＝0(舍去)．故答案是6.7．[解析] 读懂题中的分析，利用已有的数量关系与面积公式列方程． 解：(1)(20－6x)(30－4x) (20－6x)(30－4x) (2)根据题意，得(20－6x)(30－4x)＝(1－13)×20×30.整理，得6x 2－65x ＋50＝0，解得x 1＝56，x 2＝10(不合题意，舍去)，则2x ＝53，3x ＝52.答：每个横、竖彩条的宽度分别为53 cm ，52 cm .8．解：(1)根据题意可知，横彩条的宽度为32x cm ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x>0，20－2x>0，12－32x>0，解得0＜x ＜8.y ＝20×32x ＋2×12·x －2×32x·x ＝－3x 2＋54x ，即y ＝－3x 2＋54x(0＜x ＜8)．(2)根据题意，得－3x 2＋54x ＝25×20×12，整理，得x 2－18x ＋32＝0， 解得x 1＝2，x 2＝16(舍去)，∴32x ＝3.答：横彩条的宽度为3 cm ，竖彩条的宽度为2 cm . 9．解：设运动时间为t s ，则AP ＝2t ，BP ＝6－2t ，BQ ＝t. (1)∵∠B ＝90°，∴∠APQ ＞90°. ∵△APQ 是等腰三角形，∴AP ＝PQ ，即2t ＝（6－2t ）2＋t 2，解得t 1＝12－6 3，t 2＝12＋6 3＞3(不合题意，舍去)．答：(12－6 3)s 后，△APQ 是等腰三角形．(2)△BPQ 的面积是四边形CQPA 的面积的13，即△BPQ 的面积等于△ABC 面积的14.∵S △BPQ ＝12BP·BQ ＝12(6－2t)t ＝3t －t 2，S △ABC ＝12AB·BC ＝9，∴3t －t 2＝94，即t 2－3t ＋94＝0，解得t 1＝t 2＝32.答：32s 后，△BPQ 的面积是四边形CQPA 的面积的13.11．解：(1)设剪成的较短的铁丝长为x cm ，则较长的铁丝长为(40－x)cm . 由题意，得⎝⎛⎭⎫x 42＋⎝⎛⎭⎫40－x 42＝58， 解得x 1＝12，x 2＝28， 当x ＝12时，40－12＝28(cm )，当x ＝28时，40－28＝12(cm )＜28 cm (舍去)．答：李明应该把铁丝剪成12 cm 和28 cm 的两段．(2)正确．理由：设剪成的较短的铁丝长为m cm ，则较长的铁丝长为(40－m)cm ， 由题意，得⎝⎛⎭⎫m 42＋⎝⎛⎭⎫40－m 42＝48. 整理，得m 2－40m ＋416＝0. ∵Δ＝(－40)2－4×416＝－64＜0， ∴原方程无实数根，∴这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2，即李明的想法正确． [素养提升]解：(1)依题意有(100－a)(60－a)＝2100， 解得a 1＝30，a 2＝130(不合题意，舍去)． 答：a 的值是30.(2)100－5×2＝100－10＝90(m )， 60－5×2＝60－10＝50(m )， 90×50÷2＝2250(m 2)， 100×60＝6000(m 2)， 22506000×100%＝37.5%. ∵37.5%＞35%， ∴该方案符合要求．。
总复习第二课时图形与几何-五年级上册数学教材详解+分层训练
总复习2 图形与几何1.估一估下列图形的面积。
（每个方格的面积1cm2）叶子面积约为（）cm2,花朵面积约为（）cm2。
2.画出下面图形的对称轴。
3.在括号里填上合适的面积单位。
（1）一个足球场的面积约是1( )。
（2）电视机屏幕的面积约是0.6( )。
（3）安徽省的面积约是14万( )。
4.把表格填写完整。
5.一个等腰直角三角形，两条直角边的和是8.6分米，它的面积是多少平方分米？6.有一块平行四边形花池底长30米，高25米。
如果每平方米花池造价25元，这块花池共需要造价多少元？7.一个梯形花坛（如图），在校园改造中上底增加了2米，下底减少了2米，请计算一下新建成的花坛的面积是多少平方米？8.下面是一块用木板制作的指示牌，制作这样一块指示牌，至少需要多少平方厘米木板？素养提升我最强9.如图，是一张长方形卡纸和一张三角形卡纸重叠在一起的图形。
已知长方形卡纸的面积比三角形卡纸的面积小16cm2，你能算出线段DE的长度吗？(单位：cm)参考答案总复习2 图形与几何基础知识我最行1.估一估下列图形的面积。
（每个方格的面积1cm2）叶子面积约为（6）cm2,花朵面积约为（10）cm2。
2.画出下面图形的对称轴。
3.在括号里填上合适的面积单位。
（1）一个足球场的面积约是1( 公顷 )。
（2）电视机屏幕的面积约是0.6( m2 )。
（3）安徽省的面积约是14万( km2 )。
4.把表格填写完整。
5.一个等腰直角三角形，两条直角边的和是8.6分米，它的面积是多少平方分米？8.6÷2＝4.3（分米）（4.3×4.3÷2）＝9.245平方分米。
答：它的面积是9.245平方分米。
6.有一块平行四边形花池底长30米，高25米。
如果每平方米花池造价25元，这块花池共需要造价多少元？30×25×25=18750（元）答：这块花池共需要造价18750元。
7.一个梯形花坛（如图），在校园改造中上底增加了2米，下底减少了2米，请计算一下新建成的花坛的面积是多少平方米？（4+2+10-2）×5÷2=35（平方米）答：新建成的花坛的面积是35平方米。
2.5.1 直线与圆的位置关系(第2课时)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第一册)
圆的最值
1
解：（1）x 和 y 满足以(－1，0)为圆心，以 为半径的圆
2
（x－2）2＋（y－3）2表示圆上的点（x,y）到点 M(2，3)的距离，
1
1
因为|CM|＝3 2，因此最大值为 3 2＋ ，最小值为 3 2－ .
2
2
y
（2） 可认为是圆上的点与坐标原点连线的斜率，由图形知当过原点的直线与圆
因为 > 0,所以 =
2
2
= 14.52
+ + 10.5
2
= 14.52 .
14.52 − (−2)2 − 10.5 ≈ 14.36 − 10.5 = 3.86(m).
直线与圆的位置关系应用
例2.一个小岛的周围有环岛暗礁, 暗礁分布在以小岛中心为圆心, 半径为20km的圆形区域内. 已知
小岛中心位于轮船正西40km处, 港口位于小岛中心正北30km处. 如果轮船沿直线返港, 那么它是
离为 1 即可．设圆心(0，0)到直线 12x－5y＋c＝0 的距离为 d，则 r－d>1，所以
|c|
d<r－1＝1.即 <1，解得－13<c<13.
13
圆的最值
总结
当直线与圆相交时，设圆心到直线的距离为 d(d＞0)，圆的半径为 r，则圆上
的点到直线的最大距离为 r＋d，劣弧上的点到直线的最大距离为 r－d.
人教A版2019选修第一册
第 二 章 直线和圆的方程
2.5.1 直线与圆的位置关系
学习目标
1.能正确理解直线与圆的方程，培养数学抽象的核心素养；
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，培养数学运算、逻辑推
2022五年级数学上册第2单元多边形的面积第2课时三角形的面积教案苏教版
三角形的面积【教学内容】：苏教版五年级上册第二单元内容【教学目标】：1、探索并掌握三角形的面积公式，能正确计算三角形的面积，并能应用公式解决简单的实际问题。
2、使学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动，进一步体会转化方法的价值，发展学生的空间观念和初步的推理能力。
3、让学生在探索活动中获得积极的情感体验，进一步培养学生学习数学的兴趣。
【教学重点】：探索并掌握三角形的面积公式，能正确计算三角形的面积。
【教学难点】：理解三角形面积公式的推导过程。
【教学准备】：每小组各两个完全一样的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形，每小组各一个长方形、正方形和平行四边形的纸模型；一条红领巾；多媒体课件。
【教学过程】：一、激情导课1、师：同学们，我们来玩一个游戏好吗？（好）。
请大家拿出信封内的长方形、正方形和平行四边形，听好了，既然是游戏当然就有游戏规则，请想一想，如何在每个图形上折一次，使折痕两边的形状、大小完全一样，先思考或讨论有几种折法，再开始折，并用彩色笔画出折痕。
2、小组学生代表上台汇报操作结果。
3、师根据汇报有选择地在黑板上贴出以下四种折法：4、让学生观察后提问。
师：这三个图形分别折成了两个形状、大小完全一样的什么图形？生：这三个图形分别折成了两个形状，大小完全一样的三角形。
师：如果我们知道长方形长为30厘米，宽为20厘米，它的面积是多少？每个三角形的面积是多少？你是怎样求出来的？生1：长方形的面积是30×20=600（平方厘米）每个三角形的面积是600÷2=300（平方厘米）师：如果我们知道正方形边长为30厘米，它的面积是多少？每个三角形的面积又是多少呢？为什么？生2：正方形的面积是30×30=900（平方厘米）每个三角形的面积是900÷2=450（平方厘米）师：如果我们知道平行四边形的底为40厘米，高为20厘米，它的面积是多少？每个三角形的面积呢？为什么？生3：平行四边形的面积是40×20=800（平方厘米）每个三角形的面积是800÷2=400（平方厘米）5、引出课题。
21.3 第2课时 面积问题(含答案)-2021-2022学年九年级数学上册课时作业(人教版)
2021－2022学年九年级数学上册课时作业(人教版)第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程第2课时面积问题分点训练知识点1几何图形的面积问题1. 从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48 m2，则原来这块木板的面积是( )A. 100 m2B. 64 m2C. 121 m2D. 144 m22. 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长. 设原正方形的空地的边长为x m，则可列方程为( )A. (x＋1)(x＋2)＝18B. x2－3x＋16＝0C. (x－1)(x－2)＝18D. x2＋3x＋16＝03. 餐桌桌面是长为160 cm，宽为100 cm的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边等宽，小刚设四周垂下的边宽为x cm，则应列方程是( )A. (160＋x)(100＋x)＝2×160×100B. (160＋2x)(100＋2x)＝2×160×100C. (160＋x)(100＋x)＝160×100D. 2(160x＋100x)＝160×1004. 要将一幅长90 cm，宽40 cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积占整个挂图的面积的60％，设金色边的宽度为x cm，根据题意列方程为.5. 一幅长20 cm，宽12 cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2.设竖彩条的宽度为x cm，若图案中三条彩条所占面积是图案面积的25，求横竖彩条的宽度.知识点2营销中的利润问题6. 原来商场将每件进价为80元的某商品按每件100元出售，一天可出售100件，经调查发现该商品每降低2元销售量可增加10件，设后来该商品每件降价x元，则可获利元.7. 某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至每件32.4元.若该商品两次调价的降价率相同，则这个降价率为；经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件.若该商品原来每月销售500件，那么两次调价后，每月可销售商品件.8. 某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品每降价1元，那么商场每月可以多售出5件.(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元?(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元?强化提升9. 如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分种植草坪.要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为( )A. 5米B. 3米C. 2米D. 2米或5米10. 如图，过点A(2，4)分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是点M，N，若点P从点O出发，沿OM做匀速运动，1分钟可到达M点，同时点Q从M点出发，沿MA做匀速运动，1分钟可到达点A，若线段PQ 的长度为2，则经过的时间为.11. 某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批良种西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克，为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种良种西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克，另外每天的房租等固定成本共24元，该经营户要想每天盈利200元，应将每千克良种西瓜降价多少元?12. 如图，用长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.(1)现要围成面积为45 m2的花圃，则AB的长是多少米?(2)现要围成面积为48 m2的花圃，能行吗?若不能行，请说明理由.13. 在直角墙角AOB(OA∶OB，且OA，OB长度不限)中，要砌20 m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96 m2.(1)求地面矩形的长；(2)有规格为0.80×0.80和1.00×1.00(单位：m)的地板砖单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙)，用哪一种规格的地板砖费用较少?14. 如图，要建造一个四边形花圃ABCD，要求AD边靠墙，CD∶AD，AD∶BC，AB∶CD＝5∶4，且三边的总长为20米.设AB的长为5x米.(1)请求出AD的长(用含字母x的式子表示)；(2)若该花圃的面积为50平方米，且周长不大于30米，求AB的长.参 考 答 案1. B 【解析】设原来的正方形木板的边长为x ．x (x －2)＝48，x 1＝8或x 2＝－6(舍去)，8×8＝64，故选A ．2. C 【解析】设原正方形的边长为x m ，由题意得(x －1)(x －2)＝18，故选C ．3. B 【解析】依题意得，桌布面积为160×100×2，桌面的长为(160＋2x )，宽为(100＋2x )，则面积为(160＋2x )(100＋2x )＝2×160×100．故选B ．4. (90＋2x )(40＋2x )×60％＝90×40 【解析】设金色纸边的宽度为x cm ，那么挂图的面积就应该为(90＋2x )(40＋2x )，根据题意，得(90＋2x )(40＋2x )×60%＝90×40．5. 解：由题意得20×32x ＋2×12x －2×32x ·x ＝25×20×12，整理得x 2－18x ＋32＝0. 解得x 1＝2，x 2＝16＞12(舍去)，∶32x ＝3. 答：横彩条的宽度为3 cm ，竖彩条的宽度为2 cm. 6. (100－80－x )(100＋2x ·10) 7. 10％ 880 【解析】设降价率为x ，由题意列方程得40(1－x )2＝32.4，解得x 1＝0.1，x 2＝1.9(舍去)．故这个降价率为10%．500＋4032.40.2×10＝880件． 8. 解：(1)(360－280)×60＝4800(元).(2)设每件商品应降价x 元，依题意得(360－280－x )(60＋5x )＝7200，解得x 1＝8，x 2＝60，为减少库存，则x ＝60. 答：每件商品应降价60元.9. C 【解析】设道路的宽为x ，根据题意得20x ＋32x －x 2＝20×32－540，整理得(x －26)2＝576，x －26＝24或x －26＝－24，解得x 1＝50(舍去)或x 2＝2，所以道路宽为2米．10. 0.4分钟 【解析】∶A (2，4)，∶OM ＝AN ＝2，AM ＝ON ＝4，∶P 点1分钟可到达M 点，Q 点1分钟可到达A 点，∶P 点的运动速度是2个单位每分钟，Q 点的运动速度是4个单位每分钟，设经过t 分钟，则PM＝2－2t，MQ＝4t，在Rt∶PQM中，PM2＋MQ2＝PQ2，即(2－2t)2＋16t2＝4，20t2－4t＝0，解得t＝0.4或0(舍去)，即经过0.4分钟，线段PQ的长度为2．11. 解：设每千克良种西瓜降价x元，则有(3－x－2)·(200＋400.1x)－24＝200，x1＝0.2，x2＝0.3，均符合题意. 答：要想每天盈利200元，应将每千克良种西瓜降价0.2元或0.3元.12. 解：(1)设AB的长为x m，依题意得(24－3x)x＝45，解得x1＝3，x2＝5，∶0＜24－3x≤10，∶143≤x＜8，∶x＝5，∶AB的长为5 m.(2)假如能行，设AB的长为y m，由题意得(24－3y)y＝48，即(y－4)2＝0，∶y1＝y2＝4. ∶143≤y＜8，∶y＝4不合题意，舍去，∶不能围成面积为48 m2的花圃.13. 解：(1)设地面矩形的长是x m，则依题意得x(20－x)＝96，解得x1＝12，x2＝8(舍去)，答：地面矩形的长是12米；(2)规格为0.80×0.80所需的费用：96÷(0.80×0.80)×55＝8250(元).规格为1.00×1.00所需的费用：96÷(1.00×1.00)×80＝7680(元).因为8250≥7680，所以采用规格为1.00×1.00所需的费用较少.14. 解：(1)作BH∶AD于H，则AH＝3x，由BC＝DH＝20－9x得AD＝AH＋HD＝20－6x.(2)由2(20－9x)＋3x＋9x≤30得x≥53，由12[(20－9x)＋(20－6x)]·4x＝50得3x2－8x＋5＝0，∶x1＝53，x2＝1(舍去)，∶5x＝253. 答：AB的长为253米.。