人教版九年级数学下册反比例函数知识点归纳及练习(含),文档

反比率函数26.1 知识点 1 反比率函数的定义
一般地，形如 y k
0 ）的函数称为反比率函数，它能够从以下几个方面来理解：
（ k 为常数，k
x
⑴ x 是自变量， y 是 x 的反比率函数；
⑵自变量 x 的取值范围是x 0的一确实数，函数值的取值范围是y 0 ；
⑶比率系数 k0 是反比率函数定义的一个重要构成部分；
⑷反比率函数有三种表达式：
k
① y（k0 ），
x
② y kx1（ k0 ），
③ x y k （定值）（k0 ）；
⑸函数 y k
0 ）与x
k
y 是 x 的反比率函数时， x 也是 y 的反比率函数。

（ k（ k 0 ）是等价的，所以当
x y
（ k 为常数，k0 ）是反比率函数的一部分，当k=0 时，y k k x
，就不是反比率函数了，因为反比率函数y
（ k 0
x ）中，只有一个待定系数，所以，只需一组对应值，就能够求出k 的值，进而确立反比率函数的表达式。

26.2 知识点 2 用待定系数法求反比率函数的分析式
因为反比率函数 y
k
0 ）中，只有一个待定系数，所以，只需一组对应值，就能够求出k 的值，进而确（ k
x
定反比率函数的表达式。

26.3 知识点 3 反比率函数的图像及画法
反比率函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原
点对称，因为反比率函数中自变量函数中自变量x 0 ，函数值y0 ，所以它的图像与x 轴、 y 轴都没有交点，即双
曲线的两个分支无穷凑近坐标轴，但永久达不到坐标轴。

反比率的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。

再作反比率函数的图像时应注意以下几点：
①列表时选用的数值宜对称选用；
②列表时选用的数值越多，画的图像越精准；
③连线时，一定依据自变量大小从左至右（或从右至左）用圆滑的曲线连结，切忌画成折线；
④绘图像时，它的两个分支应所有画出，但切忌将图像与坐标轴订交。

（ 1）图象的形状：双曲线．
越大，图象的曲折度越小，曲线越平直．越小，图象的曲折度越大．
（2）图象的地点和性质：
与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．
当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；
当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而增大．
（3）对称性：图象对于原点对称，即若（a， b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．
图象对于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4． k 的几何意义
如图 1，设点 P（ a， b）是双曲线上随意一点，作PA⊥ x 轴于 A 点， PB⊥y 轴于 B 点，则矩形PBOA 的面
积是（三角形PAO 和三角形PBO 的面积都是）．
如图 2，由双曲线的对称性可知，P 对于原点的对称点Q 也在双曲线上，作QC⊥PA 的延伸线于C，则有三角形PQC 的面积为．
图1图 2
5．说明：
（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比率函数的增减性时，要将两个
分支分别议论，不可以混为一谈．
（2）直线与双曲线的关系：
当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点对于原点成中心对称．（3）反比率函数与一次函数的联系．
26.4 知识点 4 反比率函数的性质
☆对于反比率函数的性质，主要研究它的图像的地点及函数值的增减状况，以下表：
反比率k
0 ）
y（ k
k 的
符号
k 0
k 0
图像
① x 的 取 值 范 围 是 ① x 的 取 值 范 围 是
x
0 ，y 的取值范围是
x
0 ，y 的取值范围是
y
y
性质②当 k
0 时，函数图像 ② 当 k 0 时，函数图像
的两个分支分别在第 的两个分支分别在第 一、第三象限，在每个 二、第四象限，在每个 象限内，y 随 x 的增大而 象限内，y 随 x 的增大而 减小。

增大。

注意：描绘函数值的增减状况时，一定指出“ 在每个象限内 ”不然，抽象地说，当
k 0 时， y 随 x 的增大而减小
“，就会与事实不符的矛盾。

反比率函数图像的地点和函数的增减性，是有反比率函数系数 k 的符号决定的，反过来，由反比率函数图像（双曲线）
的地点和函数的增减性，也能够推测出
k 的符号。

如 y
k k
0 。

在第一、第三象限，则可知
k
x
☆反比率函数 （ k
0 ）中比率系数 k 的绝对值 k 的几何意义。

y
x
以下图，过双曲线上任一点 P （ x ， y ）分别作 x 轴、 y 轴的垂线， E 、 F 分别为垂足，
则
k xy
x y
PF PE S 矩形 OEPF
☆ 反比率函数 y
k 0 ）中， k 越大，双曲线 y
k
k （ k
越远离坐标原点； k 越小，双曲线 y
越凑近坐标原
x
x
x
点。

☆ 双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线
y=x 和直线 y=－ x 。

练习
一、选择题 （每题 3 分，共 30 分）
1、以下函数中 y 是 x 的反比率函数的是（
）
1
B xy=8
2 D y
3
A y
C y
5
x 2
x 5
x
、反比率函数
y ＝ n 5 图象经过点（ 2，3），则 n 的值是（
）．
2
x
A 、－ 2
B 、－1
C 、0
D 、 1
3、函数
与
在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）。

、、若点 A(x 1,1) 、 B(x 2,2) 、C(x 3, － 3) 在双曲线 上，则（
）
4
A 、x 1>x 2>x 3
B 、x 1>x 3 >x 2
C 、x 3>x 2>x 1
D 、x 3>x 1>x 2
5、如图 4，A 、C 是函数 y= 的图象上随意两点，过点 A 作 y 轴的垂线，
y
B A
O 垂足为 B ，过点 C 作 y 轴的垂线，垂足为 D ，记 Rt AOB 的面积为 S 1，
x
C
D
Rt △COD 的面积为 S 2，则（ ）
A 、S 1＞S 2；
B 、S 1＜S 2；
C 、S 1 =S 2；
D 、S 1 和 S 2 的大小关系不可以确立 图 4
6、在反比率函数 y
1 k
的图象的每一条曲线上， y 都随 x 的增大而增大，则 k 的值能够是（
）
x
A ． 1
B ． 0
C ．1
D ．2
7、如图 2，正比率函数 y=x 与反比率 y=
的图象订交于 A 、 C 两点， AB ⊥ x 轴于 B ，CD ⊥x 轴于 D ，
则四边形 ABCD 的面积为（
）
A 、 1
B 、
C 、2
D 、
、已知反比率函数 y ＝ 1 2m 的图象上有 A （x 1
， 1）、 （ 2 ， 2）两点，当 12 1 2
，则 8 x
y B x
y x ＜x ＜ 0 时， y ＜ y m 的取值范围是（
）．
A 、m ＜0
B 、m ＞ 0
C 、m ＜
1
D 、m ＞
1
2
2
9、一次函数 y ＝kx － k ， y 随 x 的增大而减小，那么反比率函数
y ＝ k
知足（
）．
x
A 、当 x ＞ 0 时， y ＞0
B 、在每个象限内， y 随 x 的增大而减小
C 、图象散布在第一、三象限
D 、图象散布在第二、四象限 10、若反比率函数 - 4 的图象经过点（ a ，-a ），则 a 的值为（
）
y
x
A 、2；
B 、±2；
C 、-2；
D 、± 4
二、填空题 （每题 4 分，共 40 分）
11 、已知正比率函数 y k 1x
k 1 ≠
0)与反比率函数 y = k 2 (k 2≠
0)
的图象有一个交点的坐标为 (-2，
-1)，则
= (
x
12、函数 y
(a 2) x a 2 2 是反比率函数，则 a 的值是
13、正比率函数 y
5x 的图象与反比率函数
k 0)
的图象订交于点 A （1， a ），
y(k
x
则 k ＝ ．
、反比率函数
y ＝（ m ＋ 2） x m 2 － 10
的图象散布在第二、四象限内，则 m 的值为
．
14
15、在反比率函数 y
k 1
的图象上有两点 ( x 1， y 1 ) 和 ( x 2， y 2 ) ，若 x 1
0 x 2 时， y 1
y 2 ，
x
则 k 的取值范围是 ．
、如图，点 M 是反比率函数 ＝ a
（a ≠0）的图象上一点，过 M 点作 x 轴、 y 轴的平行线，若 S 暗影
16 y
x
＝5，则此反比率函数分析式为 ．
17、如图，点 A 、 B 是双曲线 y 3
上的点，分别经过 A 、 B 两点向 x
y
轴、 y 轴作
x
垂线段，若 S 暗影
1，则 S 1
S 2
．
A
1
S 1
B
(x > 0)的图象上，且横坐标为
2. 若将
点P 先向右
18、点 P 在反比率函数 y
S 2
x
O
x
平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的像为点 P . 则在第一
象限内，经
17 题图
过点 P 的反比率函数图象的分析式是 ___________．
19. 如图，直线 y ＝kx(k ＞
4
1 1
0)与双曲线 y
交于 A （ x
，），
x
B （x 2，y 2）两点，则 2x 1y 2－ 7x 2y 1＝ ___________．
20、如图 5，A 、B 是函数 y
2
的图象上对于原点对称的随意两点，
x
BC ∥ x 轴， AC ∥ y 轴，则 △ABC 的面积 S =___________
y
A
O
x
B
C
图 5
三、解答题 （共 50 分）
21、（8 分）已知 y y 1 y 2 若 y 1 与 x 2 成正比率关系 ，y 2 与 x 成反比率关
系 ，且当 X=-1 时，ｙ＝ 3．由
ｘ＝ 1 时，ｙ＝－ 5 时， 求ｙ与ｘ的函数关系式？
、（
10分）以下图：已知直线ｙ＝1
x
与双曲线ｙ＝k(k0)交于ＡＢ两点，且点Ａ的横坐标为 4
222x
⑴ 求ｋ的值
⑵若双曲线ｙ＝k
(k0) 上的一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积x
y
A
O x B
23、（8 分）在反比率函数y k
的图像的每一条曲线上，y都随x的增大而减小．在曲线上取一点A，x
分别向 x 轴、y轴作垂线段，垂足分别为B、C，坐标原点为 O，若四边形 ABOC 面积为 6，求 k 的值
24、（24 分）如图，已知反比率函数y＝k
的图象与一次函x
数 y＝ax ＋b 的图象交于 M （2，m）和 N（－ 1，－ 4）两
点．（1）求这两个函数的分析式；
（2）求△ MON 的面积；
（3）请判断点 P（4，1）能否在这个反比率函数的图象上，并说明原因．（4）依据图象写出使反比率函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．
参照答案 1、B 2、D 3、B 4、C 5、C 6、D 7、C 8、D 9、D 10、B 11、(2， 1)
12、-1 , 13、-5 14、-3 ,
15、K ＜-1 16、y= 5 ,
17、4
x
18、y= 6
,
19、4
x
20、4
,
21、 y=-x 2
-
4
x
22、k=8, △AOC 的面积 =15
23、k=6, 4
24、(1) y=
y=2x-2
,
x
(2) =3,
(3)在，
(4)、 x ＜-1 或 0＜ x ＜2。