专题01 特殊平行四边形的四种中点问题(原卷版)九年级数学上(北师大版,成都专用)

专题01 特殊平行四边形的四种中点问题
【基础知识点】
1.菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
2.矩的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.
3.直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
类型一、利用中点求长度
例1.如图，某花木场有一块四边形ABCD 的空地，其各边的中点为E 、F 、G 、H ，测得对角线AC ＝11米， BD ＝9米，现想用篱笆围成四边形EFGH 场地，则需篱笆总长度是（ ）
A ．20米
B ．11米
C ．10米
D ．9米
【变式训练1】在四边形ABCD 中，8AC BD ==，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则22EG FH +的值为（ ）
A ．18
B ．36
C ．48
D ．64
【变式训练2】如图，已知矩形ABCD 的对角线AC 的长为10cm ，连结矩形各边中点E 、F 、G 、H 得四边形EFGH ，则四边形EFGH 的周长为（ ）cm ．
A ．20
B ．
C ．
D ．25
【变式训练3】如图，点O为四边形ABCD内任意一点，E，F，G，H分别为OA，OB，OC，OD的中点，则四边形EFGH的周长为（）
A．9B．12C．18D．不能确定
类型二、利用中点求面积
例1.如图，四边形ABCD中，点E、F、G分别为边AB、BC、CD的中点，若△EFG的面积为4，则四边形ABCD 的面积为（）
A．8B．12C．16D．18
【变式训练1】定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做和美四边形，对角线交点作为和美四边形的中心．
（1）写出一种你学过的和美四边形______；
（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是（）
A．矩形B，菱形C．正方形D．无法确定
（3）如图1，点O 是和美四边形ABCD 的中心，E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、
的中点，连接OE OF OG 、、OH 、，记四边形AEOH BEOF CGOF DHOG 、、、的面积为1234S S S S 、、、，用等式表示1234S S S S 、、、的数量关系（无需说明理由）
（4）如图2，四边形ABCD 是和美四边形，若4,2,5AB BC CD ===,求AD 的长．
【变式训练2】如图，在四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，6BD =，E ，F ，G ，H 分别是四边的中点，则四边形EFGH 的面积为__________．
【变式训练3】如图，四边形ABCD 中，E ．F ．G ．H 依次是各边的中点，O 是四边形ABCD 内一点，若四边形AEOH.四边形BFOE.四边形CGOF 的面积分别为10．12．14，则四边形DHOG 的面积=______.
例1.如图，四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，4BD =，各边中点分别为1A 、1B 、1C 、1D ，顺次连接得到四边形1111D C B A ，再取各边中点2A 、2B 、2C 、2D ，顺次连接得到四边形2222A B C D ，……，依此类推，这样得到四边形n n n n A B C D ，则四边形n n n n A B C D 的面积为（ ）
A ．162n -
B ．182n -
C ．412n --
D ．不确定
【变式训练1】如图1，1A ，1B ，1C ，1D 分别是四边形ABCD 各边的中点，且AC BD ⊥，
6AC =，10BD =．
（1）试判断四边形1111D C B A 的形状，并证明你的结论；
（2）如图2，依次取11A B ，11B C ，11C D ，11D A 的中点2A ，2B ，2C ，2D ，再依次取22A B ，22B C ，22C D ，22D A 的中点3A ，3B ，3C ，3D ……以此类推，取11n n A B --，11n n B C --，11n n C D --，11n n D A --的中点n A ，n B ，n C ，n D ，根据信息填空：
①四边形1111D C B A 的面积是__________；
②若四边形n n n n A B C D 的面积为1516
，则n =________； ③试用n 表示四边形n n n n A B C D 的面积___________．
例1.通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式就是方程思想，已学过的《勾股定理》及《一次函数》都与它有密切的联系，最近方程家族的《一元二次方程》我们也学习了它的求解方法和应用。

如图1，矩形ABCD 中，9,12,AB AD G ==在CD 上，且5DG =，点P 从点B 出发，以1个单位每秒的速度在BC 边上向点C 运动，设点P 的运动时间为x 秒。

（1）APG ∆的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出34y =时x 的值；
（2）在点P 从点B 向C 运动的过程中，是否存在使AP GP ⊥的时刻？若存在，求出x 的值，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，M N 、分别是AP PG 、的中点，在点P 从B 向C 运动的过程中，线段MN 扫过的图形是什么形状_________________，并直接写出它的面积___________________。

【变式训练1】如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD、AC的中点，依次连接E，G，F，H．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）当AB=CD时，EF与GH有怎样的位置关系？请说明理由；
（3）若AB=CD，△ABD=20°，△BDC=70°，则△GEF= °．
【变式训练2】如图，BD、AC是四边形ABCD的对角线，点E、F、G、H分别是线段AD、DB、BC、AC上的中点
（1）求证：线段EG、FH互相平分；
？证明你得到的结论．
（2）四边形ABCD满足什么条件时，EG FH。