高考数学 相似三角形的判定及有关性质

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高考数学 相似三角形的判定及有关性质
1.已知:如图,四边形ABCD 是正方形,延长BC 到点E ,连结AE 交CD 于F ,FG ∥AD 交DE 于G .求证:FC =FG .
证明:在正方形ABCD 中,
AB ∥CD , ∴CF AB =EF AE . ∵FG ∥AD ,∴FG AD =EF AE
. ∴CF AB =FG AD
. ∵AB =AD ,∴CF =FG .
2.如图,在平行四边形ABCD 中,过点B 作BE ⊥CD ,垂足为E , 连结AE ,F 为AE 上一点,且∠BFE =∠C .
(1)求证:△ABF ∽△EAD .
(2)若AB =4,∠1=30°,AD =3,求BF 的长.
解:(1)证明:∵AB ∥CD ,∴∠1=∠2,
又∵∠BFE =∠C ,∠BFE +∠BF A =∠C +∠EDA
∴∠BF A =∠ADE ,∴△ABF ∽△EAD .
(2)在Rt △ABE 中,∠1=30°,
由正弦定理得:AE sin90°=AB sin60°
, ∴AE =4sin60°=833
, 又BF AD =AB AE ,∴BF =AB AE ·AD =332
. 3.如图,在▱ABCD 中,E 是AB 延长线上一点,DE
交AC 于G ,交BC 于F .
求证:(1)DG 2=GE ·GF ;
(2)CF CB =AB AE
. 证明:(1)∵CD ∥AE ,
∴DG GE =CG AG . 又∵AD ∥CF ,∴GF DG =CG AG . ∴DG GE =GF DG ,即DG 2=GE ·GF . (2)∵BF ∥AD ,∴AB AE =DF DE
. ① 又∵CD ∥BE ,∴CF CB =DF DE
. ② 由①②可得CF CB =AB AE
. 4.在△ABC 中,AD 为∠BAC 的平分线,求证:AB AC =BD DC
. 证明:过C 作CE ∥AD ,交BA 的延长线于E ,如图所示.
∵AD ∥CE ,∴BA AE =BD DC
. 又∵AD 平分∠BAC ,
∴∠BAD =∠DAC ,
在△BCE 中,由AD ∥CE 知,
∠BAD =∠E ,∠DAC =∠ACE ,
∴∠ACE =∠E ,∴AE =AC .

BD DC =AB AE =AB AC . 故AB AC =BD DC
. 5.如图所示,在△ABC 中,DE ∥BC ,S △ADE S △ABC =49
. 求:(1)AE EC ;(2)S △ADE S △CDE
. 解:(1)∵DE ∥BC ,
∴△ADE ∽△ABC .
S △ADE S △ABC =(AE AC
)2=49, ∴AE AC =23,则AE EC =21
.
(2)如图,作DF ⊥AC ,垂足为F .
则S △ADE =12DF ·AE , S △CDE =12DF ·EC . ∴S △ADE S △CDE =12DF ·AE 12
DF ·EC =AE EC =21. 6.如图,在等腰梯形中,AB ∥CD ,AD =12 cm ,AC 交梯形 中位线EG 于点F ,若EF =4 cm ,FG =10 cm.求此梯形的 面积.
解:如图所示,作高DM 、CN ,则四边形DMNC 为矩形. ∵EG 是梯形ABCD 的中位线,
∴EG ∥DC ∥AB .
∴F 是AC 的中点.
∴DC =2EF =8,AB =2FG =20,MN =DC =8.
在Rt △ADM 和Rt △BCN 中,
AD =BC ,∠DAM =∠CBN ,∠AMD =∠BNC =90°, ∴△ADM ≌△BCN .
∴AM =BN =12
(20-8)=6, ∴DM =AD 2-AM 2=122-62=63,
∴S 梯形=EG ·DM =14×63=84 3 (cm 2).
7.如图,在△ABC 中,AD ⊥BC 于D ,DE ⊥AB 于E ,
DF ⊥AC 于F .
求证:AE ·AB =AF ·AC .
证明:∵AD ⊥BC ,
∴△ADB 为直角三角形,
又∵DE ⊥AB ,由射影定理知,AD 2=AE ·AB .
同理可得AD 2=AF ·AC ,
∴AE ·AB =AF ·AC .
8.如图,在△ABC 中,∠CAB =90°,AD ⊥BC 于D ,
BE 是∠ABC 的平分线,交AD 于F ,交AC 于E ,
求证:DF AF =AE EC
. 证明:∵BE 是∠ABC 的平分线,
∴DF AF =BD AB
, ① AE EC =AB BC , ② 在Rt △ABC 中,由射影定理知,
AB 2=BD ·BC ,即BD AB =AB BC
③ 由①③得:DF AF =AB BC ,
④ 由②④得:DF AF =AE EC .。

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