王能超-数值分析-第三章

4.9
王能超 编著
二阶龙格-库塔方法
随意考察区间 xn , xn1 内一点 点 xn , xn p 的斜率 到如下计算格式：
xn＋p xn ph,0 p 1 ， 用两个
K1 , K2 的加权平均代替平均斜率 K ，
于是我们就得
yn 1 yn h 1 K1 K 2 K1 f xn , yn K 2 f xn p , yn phK1
校正
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4.16
王能超 编著
改进的亚当姆斯预报-校正系统
我们可以方便地估计出亚当姆斯预报校正系统的截断误差，从而 依据这种估计将该系统 就可改进为如下精度更高的计算方案：

' ' ' ' p y h 55 y 59 y 37 y 9 y n 1 n n n 1 n 2 n 3 / 24 预报 251 改进 mn 1 pn 1 cn pn 270 ' mn 1 f xn 1 , mn 1
y xn1 y xn hf xn , y xn
h
设用 y xn 的近似值 yn 代入上式右端，记所求结果为 yn1 ，这样导 出的计算公式
yn1 yn hf xn , yn , n 0,1,2,
就是众所周知的欧拉（Euler）格式，若初值 yn 是已知的，则依据 1 上式即可逐步算出数值解 y1 , y2 , 。
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4.13
王能超 编著
亚当姆斯格式
亚当姆斯（Adams)方法的设计思想是充分利用计算 yn之前已 1 得到一系列节点 xn , xn1 , 上的斜率值来减少计算量。譬如，我们可 以用 xn , xn1 两点的斜率的加权平均作为区间
xn , xn1 上的平均斜率，
于是可设计出如下二阶亚当姆斯格式 ：
h 2 h yn y 1 n 1
来判断选取的步长是否合适，具体可以分为两种情况来处理： 对于给定精度 ，若 ，则反复将步长折半进行计算直到 为止，取步长折半后的“新值”作为结果；相反的，反复将步长加倍 直到 ，取步长加倍前的“老值”作为结果。 这种通过步长加倍或折半的手续处理步长的方法称为变步长方 法。

' ' ' ' 预报 yn1 yn h 55 yn 59 yn1 37 yn2 9 yn3 / 24
yn' 1 f xn1 , yn1
' ' ' ' yn 1 yn h 9 yn 19 yn 1 5 yn 2 yn 3 / 24 ' yn 1 f xn 1 , yn 1
第三章
常微分方程的差分方法
§ 1 欧拉方法 § 2 改进的欧拉方法 § 3 龙格-库塔方法 § 4 亚当姆斯方法 § 5 收敛性与稳定性 § 6 方程组与高阶方程的情形 § 7 边值问题
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4.1
王能超 编著
引言
科学技术当中常常需要求解常微分方程的定解问题。这类问题的 最简单的形式，是本章着重要考察的一阶方程的初王能超 编著
龙格-库塔法的设计思想
y xn 1 y xn ，根据微分中值定理，存在点 h 用所给方程 y ' f 得 y xn＋1 y xn hf , y ，xn xn1
考察差商
，利
我们称
K f , y 为区间
与梯形求积公式相呼应的这一差分格式称为梯形格式。
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4.7
王能超 编著
改进的欧拉格式
先用欧拉法求得一个初步的近似值，记为 yn1 ，称之为预报值， 然后用它替代梯形法右端的 yn1 再直接计算 f n 1 ，得到校正值 yn1 ， 这样建立的预报－校正系统称为改进的欧拉格式：

4.2 王能超 编著
欧拉格式
微分方程的本质特征是方程中含有导数项，这也是它难于求解 的症结所在。数值解法的第一步就是设法消除其导数值，这项手续 称为离散化。实现离散化的基本途径就用差商代替导数。譬如，若 y xn 1 y xn 在点 xn 列出方程，并用差商 代替 y ' xn ，结果有
yn1 yn hf xn1, yn1
该格式右端含有未知的
yn1 ，它实际上是个关于 yn1 的函数方程。
故称该格式隐式欧拉格式。 隐式欧拉格式也是一阶方法，精度与欧拉格式相当。
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4.5
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两步欧拉格式
1 y xn 1 y xn 1 2h y ' xn f xn , y xn
由此我们可知欧拉格式仅为一阶方法。
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4.4
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隐式欧拉格式
1 y xn 1 y xn 替代方程 设改用后差商 h y ' xn1 f xn1, y xn1
中的导数项
y ' xn1 ，再离散化，即可导出下列格式
上的近似解 y1, y2 ,, yn ,,
，相邻节点间距
h xn1 xn 称为步长。
初值问题的各种差分方法都采用“步进式”，即求解过程顺着节点排列 的次序一步一步地向前推进。描述这类算法，只要给出从已知信息
yn , yn1 , yn2 ,
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计算 yn 的递推公式，这类计算格式统称为差分格 式。
值得注意的是，龙格－库塔法的推导基于泰勒展开法，因而它 要求解具有较好的光滑性。如果解的光滑性差，则该方法得到的解 反而不好。
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4.12
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变步长的龙格-库塔方法
同积分的数值计算一样，微分方程的数值解法也需要选择步长。 同样，我们可以采取步长加倍或折半的办法选择步长，即通过检查 步长折半前后的两种计算结果的偏差：
时，上
，则上述格式称为
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4.10
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三阶龙格-库塔方法
为了进一步提高精度，我们可以考虑用三个点 的斜率值
xn , xn p , xnq
K1 , K2 , K3 加权平均得出平均斜率 K 的近似值，其中，
xn p xn ph, 0 q 1 xn q xn qh, p q 1
' ' ' ' yn 1 yn h 9 y 19 y 5 y y n 1 n n 1 n 2 / 24
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4.15
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亚当姆斯预报-校正系统
仿照改进的欧拉格式的构造方法，将显式和隐式两种亚当姆斯格 式相匹配，可构成下列亚当姆斯预报－校正系统：
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4.3
王能超 编著
欧拉格式的精度
为简化分析，人们常在 yn 为准确即 yn y xn 的前提下估计误 差
y xn1 yn1，这种误差称为局部截断误差。
如果一种数值方法的局部截断误差为 O h p 1 ， 则称它的的精
度是 p 阶的，或称之为 p 阶方法。
于是就可以构造所谓的三阶龙格－库塔格式 ，下列库塔格式是其中 的一种：
yn 1 yn h K1 4 K 2 K 3 / 6 K1 f xn , yn K 2 f xn 1/ 2 , yn hK1 / 2 K f x , y h K 2K n1 n 1 2 3
设改用中心差商
替代方程
中的导数项 ，再离散化，即可导出下列格式
yn1 yn1 2hf xn , yn
无论是显式欧拉格式还是隐式欧拉格式，它们都是单步法，其特 点是计算时只用到前一步的信息 yn ，而该格式却调用了前面两步的 信息 yn1 , yn ，两步欧拉格式因此而得名。 两步欧拉格式具有更高的精度，它是二阶方法。
预报 yn1 yn1 hf xn , yn
h y y f xn , yn f xn 1 , yn 1 n 校正 n 1 2
它有下列平均化形式：
y p＝yn hf xn , yn yc＝yn hf xn＋1 , y p yn 1＝ x p yc / 2 实践表明，改进的欧拉格式明显改善了精度。
' ' yn 1 yn h 3 y y n n 1 / 2
类似的，可导出如下三阶和四阶亚当姆斯格式：
' ' ' yn 1 yn h 23 yn 16 yn 1 5 yn 2 /12 ' ' ' ' yn 1 yn h 55 yn 59 yn 1 37 yn 2 9 yn 3 / 24
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4.6
王能超 编著
梯形公式
y ' f x, y 的两端从
xn1 xn
设将方程
xn到
xn 求积分，即得， 1
y xn1 y xn
y xn1 的差分格式。
f x, y x dx
显然，只要能近似的算出其中的积分项，我们就可以得到计算

xn , xn1上的平均斜率，这样只要对平
均斜率 K 提供一种算法，相应地我们便导出一种计算格式。 龙格－库塔（Runge－Kutta）方法设计思想就是设法在 xn , xn1 内多预报几个点的斜率值，然后把它们加权平均作为平均斜率，以 期望构造出更高精度的计算格式。
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4.14
王能超 编著
隐式亚当姆斯格式
同样，我们也可导出如下隐式的二阶、三阶和四阶亚当姆斯格 式：
' ' yn 1 yn h y y n 1 n /2
' ' ' yn 1 yn h 5 y 8 y y n 1 n n 1 /12
y ' f x, y y x0 y0
本章中我们假定右函数适当光滑以保证初值问题解的存在唯一。
虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但求解从实际问题中归 结出来的微分方程要靠数值解法。
差分法是一类重要的数值方法，这类方法是要寻求 离散节点
x1 x2 xn
若我们用梯形法计算积分项：

xn1
xn
f x, y x
h f xn , y xn f xn 1 , y xn 1 2
再离散化，即可得如下计算公式
h yn 1 yn f xn , yn f xn 1 , yn 1 2
其中有两个待定参数 , p ， 适当选取它们的值，就可使上述格式有 较高的精度。若 p
1 2
，该格式是二阶的 ，故统称满足这一条件
1 2 1 2
的一族格式为二阶龙格－库塔格式。特别地，当 p 1, 述格式即为改进的欧拉格式，如果取 p , 1 变形的欧拉格式，亦称为中点格式。
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4.11
王能超 编著
四阶龙格-库塔方法
继续上述过程，我们可以导出四阶龙格－库塔格式，下列经典 格式是其中的一种：
yn 1 yn h K1 2 K 2 2 K 3 K 4 / 6 K1 f xn , yn K 2 f xn 1/ 2 , yn hK1 / 2 K 3 f xn 1/ 2 , yn hK 2 / 2 K f x , y hK n 1 n 3 4