广东省江门市第二中学2019届高三上学期期末考试(1月月考)数学(理)试题+Word版含答案

高三上学期期末测试 数 学（理科）试 题
本试卷4页，23题，满分150分，测试用时120分钟．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.复数Z 满足()(1)1Z i i +-=，则||Z =
A.2
B.1
C.
23 D.2
2 2.已知222{|log (31)},{|4}A x y x B y x y ==-=+=，则A
B =
A.∅
B.1
[2,)3- C.1(,2)3 D.1(,2]3
3.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a
A ．12-
B ．10-
C ．10
D ．12
4.已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωπϕ=+>-<<的最小正周期是π，将函数()f x 图象向
左平移
3
π
个单位长度后所得的函数图象过点(0,1)P ，则函数()sin()f x x ωϕ=+ A.在区间[,]63ππ-上单调递减 B.在区间[,]63ππ
-上单调递增
C.在区间[,]36ππ-上单调递减
D.在区间[,]36
ππ
-上单调递增
5.若a ，b 都是不等于1的正数，则“2log 2log b a >”是“b
a 22>”的
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．非充分非必要条件
6.放烟花是逢年过节一种传统庆祝节日的方式，已知一种烟花模型 的三视图如图中的粗实线所示，网格纸上小正方形的边长为1， 则该烟花模型的表面积为
A.(18π
B.(21π
C.(18π
D.(21π 7.执行如图所示的程序框图，输出S 的值是
A ．0
B ．3
3
C ．3
D ．3-
8.()5
12⎪⎭⎫ ⎝⎛
-+x x a x 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为
A ．40-
B ．20-
C ．20
D ．40
9..在平行四边形ABCD 中，3
π
=∠BAD ，2=AB ，1=AD ，若M ，N 分别是边BC ，CD
的中点，则AN AM ⋅的值是
A.
72 B. 2 C. 3 D. 15
4
10.某市1路公交车每日清晨6：30于始发站A 站发出首班车，随后每隔10分钟发出下一班车.甲、乙二人某日早晨均需从A 站搭乘该公交车上班，甲在6：35-6：55内随机到达A 站候车，乙在6：50-7：05内随机到达A 站候车，则他们能搭乘同一班公交车的概率是 A.
16 B. 14 C. 13 D. 512
11.如图，过抛物线x y 42
=的焦点F 作倾斜角为α的直线l ，l 与抛物线及其准线从上到下依次交于A 、B 、C 点，令
1λ=BF
AF ，
2λ=BF
BC ，则当3
π
α=
时，21λλ+的值为
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
12.设函数()1
222,
2
1130,2
x x f x x x x +⎧-≤⎪
=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数,,,a b c d 满足
()()()()f a f b f c f d ===，则2222a b c d +++的取值范围是
A ．()
2,146 B ．()98,146 C. ()
2,266 D ．()98,266
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
A
B
C
D
13.已知实数x ，y 满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤-≤4531y x x x y ，令y x z ln ln -=，则z 的最小值为__________.
14.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若12+=n n a S ，则=6S _____________．
15.某单位安排甲、乙、丙、丁4名工作人员从周一到周五值班，每天有且只有1人值班，每
人至少安排一天且甲连续两天值班，则不同的安排方法种数为________种.（用数字填写答案）
16.已知P ，A ，B ，C 是半径为2的球面上的点，2===PC PB PA ，
90=∠ABC ，点
B 在A
C 上的射影为
D ，则三棱锥ABD P -体积的最大值是_____________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a b B c =+2
3
cos . （1）求C ；
（2）如图，若b a =，D 为ABC ∆外一点，BC AD //，
2==CD AD ，求四边形ABCD 的面积.
18.如图所示，底面为菱形的直四棱柱1111A BC D ABCD -被过三点11C B D 、、的平面截去一个三棱锥111C CB D -(图一)得几何体111A B D ABCD -(图二)，E 为11B D 的中点． （1）点F 为棱1AA 上的动点，试问平面11FB D 与平面1CEA 是否垂直?请说明理由； （2）设12,60,4AB BAD AA =∠==，当点F 为1AA 中点时，求锐二面角11F B D C --的
余弦值．
A
A 1
D A
1
A 1
D C
B
1
B F
E
(图一) (图二)
19. 随着经济的发展，个人收入的提高．自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整．调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额．依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：
（1）假如小李某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记x 表示总收入，y 表示应纳的税，试写出调整前后y 关于x 的函数表达式；
（2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表： ①先从收入在[3000，5000)及[5000，7000)的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用a 表示抽到作为宣讲员的收入在[3000，5000)元的人数，b 表示抽到作为宣讲员的收入在[5000，7000)元的人数，随机变量Z a b =-，求Z 的分布列与数学期望；
②小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入
比调整前增加了多少？
20．（本小题满分12分）
如图，圆C 与x 轴相切于点)0,2(T ，与y 轴正半轴相交于两点,M N （点M 在点N 的下方），且3MN =． （1）求圆C 的方程；
（2）过点M 任作一条直线与椭圆22
184
x y +=相交于两点A B 、， 连接AN BN 、，求证：ANM BNM ∠=∠．
21. 已知函数2()ax f x x e =（0a <）.
（1）若1a =-，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； （2）若对任意12,[0,2]x x ∈，2
12
2()11
x f x x -≤+恒成立，求实数a 的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4–4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y α
α=⎧⎨
=+⎩
（α为参数）
M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =uu u v uuu v
,P 点的轨迹为曲线C 2
（1）求C 2的方程；
（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3
π
θ=与C 1的异于极点
的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB
.
23．[选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知()|1||1|f x x ax =+--.
（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；
（2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.
理科数学试题答案及评分参考
一. 选择题
（1）D （2）D （3）B （4）B （5）D （6）B （7） A （8）D （9）D （10）A （11）C （12）B 12.【解析】
不妨设，由，得，
结合图象可知，，则
，令，
可知在上单调递减，故，则
，故选B.
16.【解析】如图，
由题意，PA=PB=PC=2，∠ABC=90°，
可知P在平面ABC上的射影G为△ABC的外心，即AC中点，
则球的球心在PG的延长线上，设PG=h，则OG=2﹣h，
∴OB2﹣OG2=PB2﹣PG2，即4﹣（2﹣h）2=4﹣h2，解得h=1．
则AG=CG=，
过B作BD⊥AC于D，设AD=x，则CD=,
再设BD=y，由△BDC∽△ADB，可得,
∴y=，,
二. 填空题 (13) 3ln
2 (14) 63- (15) 24 (16) 8
3
3
三. 解答题
17.（1）在ABC ∆中，由正弦定理得A B B C sin sin 2
3
cos sin =+
………………1分 又()C B A +-=π，所以()C B B B C +=+
sin sin 2
3
cos sin ………………2分 故C B C B B B C sin cos cos sin sin 2
3
cos sin +=+
，………………3分 所以B C B sin 2
3
cos sin =
.………………4分 又()π,0∈B ，所以0sin ≠B ，故2
3
cos =C .…………5分 又()π,0∈C ，所以6
π
=
C .…………6分
（2）因为BC AD //，故6
π
=
∠=∠ACB CAD .………………………7分
在ACD ∆中，因为2==CD AD ，所以6
π
=∠=∠CAD ACD ，故3
2π
=
∠ACD ……8分 所以123
2cos
222222
2
2
=⨯⨯-+=π
AC ，即32=AC .………………………9分 又6π=∠ACB ，BC AC =，所以36sin 21=⋅=∆π
BC AC S ACB ………………………10分
又33
2sin
21=⋅=∆π
AD CD S ACD ………………………11分 所以四边形ABCD 的面积为33+.………………………12分 18. （1）平面111CEA D FB 平面⊥，证明如下：
连接BD AC ,相交于点O ，因为底面ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，
又因为直四棱柱上下底面全等，所以由BD AC ⊥得111D B E A ⊥，………………1分 又因为11,DD BB CD CB ==，所以11CD CB =，
因为E 是11D B 的中点，所以11D B CE ⊥………………………3分
又E CE E A = 1，所以111CEA D B 平面⊥………………………4分
又因为1111D FB D B 平面⊂，平面111CEA D FB 平面⊥………………………5分
（2）连接OE ，易知⊥OE 平面ABCD ，所以OB ，OC ，OE 两两互相垂直，所以分别以
OB ，OC ，OE 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.
则()0,0,0D ，()
0,3,0C ，()4,0,11B ，()4,0,11-D ，()
2,0,3-F 设平面11D CB 的法向量为()1111,,z y x n =，()
4,3,11-=CB
()0,0,211=B D ，由⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅0011111n B D n CB 得⎩
⎨⎧==+-020
431111x z y x 令41=y 则31=z ，01=x ，()
3,4,01=∴n .
设平面11D FB 的法向量为()2222,,z y x n =，()
2,3,11=FB
由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0021121n B D n FB 得⎩
⎨⎧==++020
232222x z y x 令22=y 则32-=z ，02=x ，()
3,2,01-=∴n .………………………10分
所以()()
133
133
53
43163,2,03,4,0=
+⨯+-⋅=
=
， 所以所求锐二面角11F B D C --的余弦值为133
133
5.………………………12分 19. 解：（1）调整前y 关于x 的表达式为
()()(](]8000,50005000,350035001.050004503.035000∈∈≤⎪⎩
⎪
⎨⎧
⨯-+⨯-=x x x x x y ，，， ……………………………………………2分
调整后y 关于x 的表达式为
()(]8000,5000500003.050000∈≤⎩⎨
⎧
⨯-=x x x y ，， ……………………………………………4分 （2）①由频率分布表可知从[)5000,3000
及[)7000,5000的人群中抽取7人，其中[)5000,3000中占3人，[)7000,5000的人中占4人.
A
A F
再从这7人中选4人，所以Z 的取值可能为0，2，4.……………………5分
()()35
18
2,203
72
423======C C C b a P Z P ， ()()()3516
1,33,123
71
4333413=+===+====C C C C C b a P b a P Z P ， ()()35
1
4,043
74
403======C C C b a P Z P . 所以其分布列为
…………………8分 所以()35
36
35143516235180=⨯+⨯+⨯
=Z E ………………………………………9分 ②小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元，按调整前起征点应纳个税为
2951.0250003.01500=⨯+⨯元，
按调整后起征点应纳个税为7503.02500=⨯………………………………………11分 比较两个纳税方案可知，按调整后起征点应纳个税少交220元，即个人的实际收入增加了220元，所以小李的实际收入增加了220元.………………………………………12分
20解：（Ⅰ）设圆C 的半径为r （0r >），依题意，圆心坐标为),2(r .
∵ 3MN =∴ 2
2
2322r ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，解得2254r =．⋅
2分
∴ 圆C 的方程为()4252522
2
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+-y x ．⋅
4分
（Ⅱ）把0=x 代入方程()4252522
2
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-+-y x ，解得1=y 或4=y ，
即点)4,0(),1,0(N M ．⋅
6分
（1）当y AB ⊥轴时，可知ANM BNM ∠=∠=0．
（2）当AB 与y 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为1+=kx y ．
联立方程⎩⎨
⎧=++=8
212
2
y x kx y ，消去y 得，064)21(22=-++kx x k ．⋅
8分
设直线AB 交椭圆于()()1122,,A x y B x y 、两点，则
221214k k x x +-=
+，2
2
1216
k x x +-=． ∴2
1212122112211)
(323344x x x x x kx x kx x kx x y x y k k BN AN +-=
-+-=-+-=
+ 若0AN BN k k +=，即ANM BNM ∠=∠⋅10分
∵021122112)(322
22121=+-+-=+-k k
k k x x x kx ，
∴ ANM BNM ∠=∠．⋅12分
21.解：（1）依题意，()2x
f x x e -=，()2'2x
x f x xe
x e --=-，故()1'1f e
=，
（2分） 又()11f e =
，故所求切线方程为()111y x e e -=-，即1y x e
=；（3分） （2）令()21x
g x x =+，故函数()g x 的定义域为R ，()()())'(()
x x x x g x x --+==++22222
11111． 当x 变化时，()'g x ，()g x 的变化情况如下表：
因为(0)0g =的最小值为(0)0g =；（6分）
因为2'()(+2)e ax
f x ax x =． 因为0a <，令'()0f x =得，10x =，22x a
=-
． （ⅰ）当2
2a
-
≥，即10a -≤<时，在[0,2]上'()0f x ≥，所以函数()f x 在[0,2]上单调递增，所以函数2max [()](2)4e a f x f ==．由24e 1a
≤得，l n 2a ≤-，所以
1ln 2a -≤≤-．（9分）
（ⅱ）当202a <-
<，即1a <-时, 在2
[0,)a
-上'()0f x ≥，在2(,2]a -上'()0f x <，
所以函数()f x 在2[0,)a -上单调递增，在2
(,2]a
-
上单调递减，所以max 2224[()]()e f x f a a =-=，由2241e a ≤得，2
e
a ≤-，所以1a <-．（11分）
综上所述，a 的取值范围是(,ln 2]-∞-.（12分）
22. 解：（I ）设(),P x y ，则由条件知,22x y M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于M 点在1C 上，所以2cos 2
22sin 2
x
y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，
即4cos 44sin x y αα=⎧⎨
=+⎩，从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y α
α
=⎧⎨=+⎩(α为参数).…………………5分
(II)曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=. …………………6分
射线3
πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3
πρ=，…………………7分 射线3
πθ=
与2C 的交点B 的极径为28sin
3
πρ=，…………………8分
所以12AB ρρ=-=. …………………10分
23.【解析】（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,
()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪
=-<<⎨⎪≥⎩
故不等式()1f x >的解集为1{|}2
x x >．…………………5分 （3）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时
|1|1ax -<成立．…………………6分
若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥；…………………7分 若0a >，|1|1ax -<的解集为2
0x a
<<，…………………8分 所以
2
1a
≥，故02a <≤．…………………9分 综上，a 的取值范围为(0,2]．…………………10分。