2019年南开区二模数学答案

17 2018—2019 学年度第二学期南开区九年级模拟
数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） （1）D （2）A （3）B （4）B （5）A （6）C （7）A
（8）C
（9）C
（10）D
（11）D
（12）C
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） （13） 9a
5
（14） -
1
x + 2
（15） y = -x +1（不唯一）
1 （16）
3
（17）
2
（18）（Ⅰ） ；
（Ⅱ）取格点 E 、F 、G 、H 、I ，连接 AE 、EF 、AG 、BH 、AI ，则 AG 与 EF 交于点 R ，BH 与 EF 交于点 S ，延长 RO 与 AI 交于点 T ．矩形 ARST 即为所求．（答案不唯一）
三、解答题：本大题共 7 小题，共 66 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 19．（本小题 8 分） （Ⅰ） x ＜3； 2 分 （Ⅱ） x ≥ 1；
4 分
（Ⅲ）
6 分
（Ⅳ） 1 ≤ x ＜3 ．
8 分
20．（本小题 8 分）
（Ⅰ）20； 1 分 （Ⅱ）10；
2 分
5⨯100 +10 ⨯ 90 + 2 ⨯ 80 + 3⨯ 70
（Ⅲ）观察条形统计图，∵ x =
5 +10 + 2 + 3
= 88.5 ∴一班参赛选手的平均成绩是 88.5 分；
4 分
（IV ）∵在二班样本数据中，A 级占 35%，所占比例最高，
34
∴二班参加竞赛学生成绩的众数是100 分 . 6 分
将二班20 个人成绩等级按照由高到低的顺序排列，其中处于中间位置的两个等级均为
80 + 80
C 级，成绩都是80 分，∴有= 80 =4，
2
∴二班参加竞赛学生成绩的中位数是80 分. 8 分(21) （本小题 10 分）
（I）连接OQ ，
∵QE 是 O的切线，OQ 为 O的半径，
∴ OQ ⊥QE ，即∠OQE = 90︒．
∵ OA ⊥OB ，即∠AOB = 90︒．
∴∠AQB =1
∠AOB =
1
⨯ 90︒= 45︒．2 2
∴ ∠OQB =∠OQE -∠AQB -∠AQE = 90︒- 45︒- 28︒= 17︒
∵OB =OQ ，
∴∠OBQ =∠OQB =17︒． 5 分（II）连接OQ ．
∵QE 是 O的切线，OQ 为 O的半径，
∴ OQ ⊥QE ，即∠OQE = 90︒．
∴ ∠OQA =∠OQE -∠AQE = 90︒- 28︒= 62︒
∵OA =OQ ，
∴∠AOQ = 180︒- 2∠OQA = 180︒- 2⨯ 62︒= 56︒．
∵ OA ⊥OB ，即∠AOB = 90︒．
∴∠BOQ =∠AOB -∠AOQ = 90︒- 56︒= 34︒,
∵OB =OQ ，
180︒-∠BOQ 180︒- 34︒
∴∠OBQ === 73︒．10 分
2 2
（22）（本小题 10 分）
2PC 东
（I ） 过 点 P 作 PC ⊥ AB 于 点 C ．
北
B
由题意得， ∠PAC = 36.8︒ ， ∠CPB = ∠PBC = 45︒ ， 设 PC 为 x 海 里， P C
∴ BC = PC = x 海里， 又∵ AB = 150 海里， ∴ AC = 150 - x 海里， A
∵ tan ∠PAC = PC = AC x 150 - x
= tan 36.8︒ ，
∴ x =
150
1+ tan 36.8︒
≈ 64 ，
答：可疑漂浮物 P 到 A ，B 两船所在直线的距离约为 64 海里． 5 分
（II ） 在 Rt △PBC 中， ∠PBC = 45︒ ，
∴ BP = PC = sin 45︒
2PC ，
B 船需要的时间为： 30
小时，
在 Rt △PAC 中， sin ∠PAC = PC
， AP
AP =
PC
=
PC 海里，
∴
sin ∠PAC sin 36.8︒
∴ A 船需要的时间为： PC 40sin 36.8︒
小时， ∵ ÷
PC = 4 2 sin 36.8︒ > 1 ，
30 40sin 36.8︒ 3
∴ 船 A 先到达 P 处． 10 分
23. （1）595；0.85x ；475；0.75x +100．
4 分
（2）根据题意，有 0.85x ＝0.75x +100，解得 x ＝1000， ∴ 当 x ＝1000 时，小红在甲、乙两商场的实际花费相 7 分
（III ）设小红在甲乙商场购物花费的差值为 y 元则 y = 0.85x - (0.75x +100) 即： y = 0.1x -100
当 y = 0时，解得 x = 1000
2PC
即：当小红累计购物的金额等于1000 元时，两家商场购物一样省钱
∵ 0.1＞0
∴ y 随x 的增大而增大．
∴ 当x＞1000，有y > 0 ，小红选择在乙商场购物更省钱
当x＜1000，有y < 0 ，
∴当小红累计购物的金额超过400 元且小于1000 元时，在甲商场购物更省钱；
10 分24. （I）∵CD=6，
∴点P 与点C 重合，
∴点P的坐标为（3,4）．2分（II）①当点P 在边AD 上时，
由已知得，直线AD 的函数表达式为y =-2x - 2 ，
设P(a,-2a - 2) ，且- 3 ≤a ≤ 1 ，
若点P 关于x 轴对称点Q1 (a,2a + 2) 在直线y =x -1上，
∴ 2a + 2 =a -1 ，解得a =-3，此时P(-3,4) ．
若点P 关于y 轴对称点Q2 (-a,-2a - 2) 在直线y =x -1上，
∴ - 2a - 2 =-a -1 ，解得a =-1，此时P(-1,0) ．
②当点P 在边AB 上时，
设P(a,-4) ，且1 ≤a ≤ 7 ，
若点P 关于x 轴对称点Q3 (a,4) 在直线y =x -1上，
∴ 4 =a -1 ，解得a = 5 ，此时P(5,-4) ．
若点P 关于y 轴对称点Q4 (-a,-4) 在直线y =x -1上，
∴ - 4 =-a -1 ，解得a = 3，此时P(3,-4) ．
综上所述，点P 的坐标为(-3,4) 或(-1,0)或(5,-4)或(3,-4)．8 分
OA 2 + OB 2
（III ） 点 P 的坐标为(- 6 5 5 或( 6 5 ,4) 5
．
10 分
25.
（I ）∵抛物线
∴ c = 4 ．
y = 1 x 2
+ bx + c 2
经过 B (0,4) ，
∵顶点在直线 x = 3 上，
∴ - b
2a
= -b = 3 ， b = -3，
∴ 所求函数关系式为 y = 1 x 2
- 3x + 4 ．
2 分
2
（II ） 在 Rt △AOB 中， OA = 3， OB = 4 ，
∴ AB = = 5 ．
∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C 、D 两点的坐标分别是 C （5,4），D （2,0）．
当 x = 5 时， y = 1 ⨯ 52 - 3⨯ 5 + 4 = 3
≠ 4 ；
2 2 当 x = 2 时， y = 1 ⨯ 22
- 3⨯ 2 + 4 = 0 ．
2
∴点 C 不在所求抛物线上，点 D 在所求抛物线上．
6 分
（3） D 关于对称轴 x = 3的对称点为 D '(4, 0) 设 BD ' 与对称轴交于点 P ，则 P 为所求的点．
设直线 BD ' 对应的函数关系式为 y = kx + 4 ．
则 4k + 4 = 0 解得 k = -1
∴
y = -x + 4 ．
当 x = 3 时， y = 1，即 P (3,1)．
∵ MN ∥ BD ， l BD : y = -2x + 4
∴ l MN
: y = -2x + t ． 得 ON = 1
t ．
2
设抛物线的对称轴交 x 轴于点 F ．则
y x = 3
B
P
A O D D ' x
y x = 3
B
M P
A O N D F
x
S
梯形PFOM =
1 (PF +OM )⋅OF =1 (1+t )⨯ 3 =3t + 3
．2 2 2
S =1
OM ⋅ON =
1
t ⋅
1
t =
1
t2 ，S =
1
NF ⋅PF =
1 ⎛
3 -
1
t
⎫
⋅1 =
3
-
1
t ，
△MON 2 2 2 4 △PNF 2 2 2 ⎪ 2 4
⎝⎭
S =3t + 3
-
1
t2 -
⎛3
-
1
t
⎫
=-
1
t2 +
7
t (0 <t < 4)．即S 存在最大值．2 4 2 4 ⎪ 4 4
⎝⎭
即当t =7
时，S 取得最大值为
49
．此时点M 的坐标为
⎛
0,
7 ⎫
．10 分2 16 4 ⎪
⎝⎭。